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第二类曲面积分的新计算方法
作者：张平
来源：《新教育时代·教师版》2018年第03期
摘 要：本文给出了第二类曲面积分的一种新计算方法，从全微分的角度重新审视面积元素，利用面积元素之间的转换关系来计算第二类曲面积分。 关键词：第二类曲面积分 全微分 面积元素 一、引言
由于第二类曲面积分[1～5]的概念抽象难懂，致使许多学生难以掌握其求法。本文另辟蹊径，利用全微分来转换面积元素，大大降低了计算难度。 二、结论
定理1： ，其中 为三元可微函数， 是由 确定的隐函数 ， 是 在 面的投影区域。 证明：全微分 ，且面积元素 ，则有 例1： ，其中 为曲面 的上侧。 解法一：令 ，则 ，由定理1知 原式 ，
解法二：补辅助面： ，下侧。由高斯公式得 原式 ，
显然，解法一的思路要优于解法二，大大简化了第二类曲面积分的计算量。 定理2： ，其中 为三元可微函数， 是由柱面 围成， 是 在 面的投影区域。 证明：由柱面 得 ，则 ，故
例2[3]： ，其中 是柱面 被平面 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。 解法一：令 ，则 ，由定理2知
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原式 ， ；
解法二： 在 面投影 ，在 面投影 ，在 面的投影 ，故 原式
从例2可以看出，解法一的计算过程明显比解法二简单。 参考文献
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