明山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2． 将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ） A．
B．
C．2
D．3
03． 已知三棱锥SABC外接球的表面积为32，ABC90，三棱锥SABC的三视图如图 所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A．4 B．42 C．8 D．47
4． 如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A
D
O B
C
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A．
1 B．
11111 C． D． 2242【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 5． 有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适． ②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ） A．0
6． 已知双曲线
B．1
C．2
D．3
与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为
（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=
钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．
B．
C．
7． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+ C．y=﹣x|x| D．y=
D．
8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．8+2 B．8+8 C．12+4 D．16+4
9． 设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ） A．y2=4x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x
B．y2=2x或y2=8x D．y2=2x或y2=16x
10．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．
B．
C．
有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）
D．
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＜θ＜
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）
），则φ的值不可能是（ ）
11．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣
的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，A．
B．π
C．
D．
12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A．123 B．163 C．203 D．323
二、填空题
13．如图，在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧
AEF,则线段A1P长度的取值范围是_________. 面BCC1B1内一点，若AP1平行于平面
14．若函数f（x）=
，则f（7）+f（log36）= ．
15．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式
f(log3x)3log3x1的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
16．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
ym17．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．
3x2y60【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思
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想与运算求解能力． 18．设双曲线
﹣
=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积
是 ． 三、解答题
19．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现． 落在上述区域的概率？
20．（本小题满分12分）
已知直三棱柱ABCA1B1C1中，上底面是斜边为AC的直角三角形，E、F分别是A1B、AC1的中点.
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）
22
（2）试求方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率．
（1）求证：EF//平面ABC； （2）求证：平面AEF平面AA1B1B.
21．已知函数f（x）=
．
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（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当
22．已知曲线C的参数方程为
（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=
的直线l 与曲线C分别
时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．
交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）． （Ⅰ）写出曲线C的普通方程； （Ⅱ）求B、C两点间的距离．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=
，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长； （2）若∠BPC=
，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
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24．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点． （Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．
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明山区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
2． 【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表， 当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为； 当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或； 当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或， 故这些可能的“特征值”的最大值为． 故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
3． 【答案】A 【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几
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何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图. 4． 【答案】C
【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
1，扇形2OAC的面积为，所求概率为P2111． 25． 【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
22
②相关指数R来刻画回归的效果，R值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
6． 【答案】D
x【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e， xxx
∴f′（x）=e+（x﹣3）e=（x﹣2）e，
令f′（x）＞0， 即（x﹣2）e＞0，
x
∴x﹣2＞0， 解得x＞2， 故选：D．
∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．
7． 【答案】C 【解析】解：A.B.
时，y=
在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；
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∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；
；
22
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣0=0；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D.
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
8． 【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为
；
，
根据三视图得出侧棱长度为∴该几何体的表面积为2×（2×故选：D
=2，
+2×2+2×2）=16
，
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
9． 【答案】 C
2
【解析】解：∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），
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∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=
=
，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
22
因此，抛物线C的方程为y=4x或y=16x．
故选：C．
方法二：
2
∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），∴焦点F（，0），
=，
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
2
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 22
所以抛物线C的方程为y=4x或y=16x．
故答案C．
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【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
10．【答案】D 【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立
2222
，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆
422
∴△=k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，
有公共点，
，
]．
整理，得k解得﹣
2
， ．
≤k≤
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
11．【答案】C
【解析】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣因为两个函数都经过P（0，所以sinθ=
，
），
＜θ＜
）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
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又因为﹣所以θ=
＜θ＜，
，
所以g（x）=sin（2x+sin（所以或
﹣2φ）=﹣2φ=2kπ+﹣2φ=2kπ+
，
﹣2φ），
，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z， ，k∈Z，此时φ=kπ﹣
，k∈Z，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档
12．【答案】C 【解析】
考点：三视图．
二、填空题
13．【答案】【解析】
32,5， 24第 12 页，共 19 页
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题. 14．【答案】 5 ．
【解析】解：∵f（x）=
，
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∴f（7）=log39=2， f（log36）=故答案为：5．
15．【答案】(0,3)
【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且
+1=
，
∴f（7）+f（log36）=2+3=5．
F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(l3ox)g3lo3xg1，即
F(l3ox)gF(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).
16．【答案】12 【解析】
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键． 17．【答案】[3,6]. 【
解
析
】
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18．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
222
可得c=a+b=13，
=1的a=2，b=3，
，∠F1MF2=90°，
﹣
又||MF1|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2在△F1AF2中，由勾股定理得： |F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2
=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，
22
即4c=4a+2|MF1||MF2|， 2
可得|MF1||MF2|=2b=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9． 故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域， 其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
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点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=
；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
2222
若方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根，则有△=（2p）﹣4（﹣q+1）＞0， 22
解可得p+q≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π， 22
即方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率，P2=
．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接A1C，∵直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形， 故点F在A1C上，且F为A1C的中点，
在A1BC中，∵E、F分别是A1B、AC1的中点，∴EF//BC. 又EF平面ABC，BC平面ABC，∴EF//平面ABC.
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考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 21．【答案】
【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=
=sin（2x﹣周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣
∈，即
+kπ，k∈Z}…5分
+kπ，x≠
+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
sinxcosx﹣ +
sin2x﹣ ）…3分
﹣
+kπ≤x≤
所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=
，2x﹣
∈，…9分
时取最大值，
）∈（﹣，1），当x=
时函数f（x）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．
22．【答案】
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【解析】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为2
（y为参数），消去参数t得，y=4x．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为代入抛物线方程得 可得∴
∴|BC|=|t1﹣t2|=
，t1t2=14．
=，
（t为参数），
=8．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2， ∴∠PCB=∵∠ACB=
，PC=
，
，
=5，
，∴∠ACP=
222
在△PAC中，由余弦定理得：PA=AC+PC﹣2AC•PC•cos
整理得：PA=；
，∠PCB=θ，
（2）在△PBC中，∠BPC=∴∠PBC=
﹣θ，
=sin（
由正弦定理得：∴PB=
sinθ，PC=
=﹣θ），
=．
sin（
，
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin则当θ=
时，△PBC面积的最大值为
﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点 ∴BC⊥AC …
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又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O， ∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1 … 而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC … （Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E， ∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB … 又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形 … ∴A1D∥EO1 …
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC ∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．
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