成人高考专升本《高等数学二》公式大全

1、数列极限的四则运算法则 如果limxnA,limynB,那么

nnnlim(xnyn)limxnlimynABnn nlim(xnyn)limxnlimynAB

nnxnAxnlimn lim(B0)lim(xn.yn)lim(xn).lim(yn）A.BnnnnylimyB nn

n推广：上面法则可以推广到有．限．多个数列的情况。例如，若an，bn，cn有极限，则：

lim(anbncn)limanlimbnlimcn

nnnn特别地，如果C是常数，那么

lim(C.an)limC.limanCA

nnn2、函数极限的四算运则

如果limf(x)A,limg(x)B,那么

limf(x)limg(x)limf(x)limg(x)ABlimf(x)limg(x)limf(x)limg(x)AB

f(x)limf(x)Alim(Blimg(x)0)g(x)limg(x)B

推论设limf1(x),limf2(x),limf3(x),......limfn(x),limf(x)都存在，k为常数，n为正整数，则有：

lim[f1(x)f1(x)....fn(x)]limf1(x)limf2(x)....limfn(x)

lim[kf(x)]klimf(x)3、无穷小量的比较：

lim[f(x)]n[limf(x)]n

设,是同一过程中的两个无穷小,且lim0,lim0.

(1)如果lim0,就说是比高阶的无穷小,记作o();(2)如果limC(C0),就说是与同阶的无穷小; 1,则称与是等价的无穷小量;记作~; （3）特殊地如果lim(4)如果limC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小. k,则称是比低阶的无穷小量. (5)如果lim常用等级无穷小量的比较：当x0时,1

sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,ln(1x)~x,ex1~x,11cosx~12x. 2sinx11x重要极限lim1.lim(1)xe.lim(1x)e对数列有lim(1)nex0x0x0nxxn

第二章节公式

1.导数的定义：

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)Δf＝lim ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)

ΔxΔxΔx→0

＝lim Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

.

Δx2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

＝f′(x0)．

Δx3．导函数(导数)

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即

f′(x)＝y′＝lim

Δx→0

f(x＋Δx)－f(x)

. Δx4．几种常见函数的导数

(1)c′＝0(c为常数)，(2)(x)′＝nx11

(4)(lnx)′＝，(logax)′＝logae=

nn－1

(n∈Z)，(3)(a)′＝alna(a＞0,a1), (e)′＝e

xxxxxx1(a＞0,a1) xlna (5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx (7) (tanx)'11, (8) (cotx)'22cosxsinx(9) (arcsinx)'11x2(1x1), (10) (arccosx)'11x2(1x1)

(11) (arctanx)'11, (12) (arccotx)'221x1x5．函数的和、差、积、商的导数

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′

u′＝u′v－uv′，(ku)′＝cu′(k为常数)．

vv2

2

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+ uvw′ 微分公式：

（1）d(c)o(c为常数）（2）d(xa)axa1dx(a为任意实数）

(3)d(loga)x11dx(a0,a1),d(lnx)dxxlnax

（4）d(ax)axlnadx(a0,a1)d(ex)exdx

(5)d(sinx)cosxdx

(7) d(tanx)(6)d(cosx)sinxdx

11, (8)dxd(cotx)dx

cos2xsin2x(9) (arcsinx)'11x2dx, (10) (arccosx)'11x2dx

(11) d(arctanx)11, (12) dxd(arccotx)dx

1x21x26．微分的四算运则

d(u±v)＝du±dv， d(uv)＝v du＋udv

uvduudvd()(v0) d(ku)＝kdu(k为常数)． vv2洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

limxaf(x)‘f(x)f''(x)limlimA(或）g(x)xag'(x)xag''(x)

7.导数的应用：

f'(x)=0 的点为函数f(x)的驻点，求极值；

(1)xx0时，f'(x)0xx0时f(x)'0则f(x0)为f(x)的极大值，x0为极大值点;,,; (2)xx0时，f'(x)0xx0时f(x)'0则f(x0)为f(x)的极大值，x0为极小值点;,,; (3)如果f'(x)在x0的两端的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是极值点。 ;

f''(x)=0 的点为函数f(x)的拐点，求凹凸区间；

f''(x)0的x取值范围内，曲线yf(x)为凸的（下凹） f''(x)0的x取值范围内，曲线yf(x)为凹的（上凹）

第三章知识点概况

不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作f(x)dx，并称

为积分符号，函数

f(x)为被

3

积函数，

f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。

因此f(x)dxF(x)C不定积分的性质：

(1)[f(x)dx]'f(x)或df(x)dxf(x)dx

(2)F'(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C(3)[f(x)(x)....(x)]dxf(x)dx(x)dx....(x)dx(4)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数且k0)基本积分公式：

(1)0dxC(4)adx(8)x

(2)xdxa1a11(3)dxlnxCxC(a1)xa1

1xaC(a0,a1)(5)exdxexC(6)sinxdxcosxC(7)cosxdxsinxClna

1dxtanxC2cosx

111(10)dxarcsinxCdxcotxC(11)dxarctanxC222sinx1x 1-x

(9)

换元积分（凑微分）法：

1.凑微分。对不定积分g(x)dx，将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx[(x)]'(x)dx

2.作变量代换。令

u(x),则dud(x)'(x)dx代入上式得：g(x)dx凑微分f[(x)]'(x)dx变换带量f(u)du3.

用公式积分，，并用u(x)换式中的u常用的凑微分公式主要有：

f(u)du公式F(u)C回代F[(x)]C

（1）f(axb)dx（3）f(x)11f(axb)d(axb)（2）f(axkb)xk1dxf(axkb)d(axkb) aka11111dx2f(x)d(x) （4）f()2dxf()d()

xxxxx1（5）f(ex)exdxf(ex)d(ex) （6）f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x（7）f(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx) （8）f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx)

（9）f(tanx)11dxf(tanx)d(tanx)（10）f(cotx)dxf(cotx)d(cotx) cos2xsin2x11x11x22（11）f(arcsinx)dxf(arcsinx)d(arcsinx)

（12）f(arccosx)dxf(arccosx)d(arccosx)

4

（13）f(arctanx)（14）1dxf(arctanx)d(arctanx) 1x2'(x)dxd(ln(x))((x)0) (x)分部积分法：d(uv)vduudv两边对x积分得uvvduudv移项得udvuvvdu或vduuvudv适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

axax（1）eP(x)dx设uP(x),dvedx （2）P(x)sinaxdx设uP(x),dvsinaxdx

（3）（4）P(x)cosaxdx设uP(x),dvcosaxdx P(x)lnxdx设ulnx,dvP(x)dx

（5）P(x)arcsinxdx设uarcsinx,dvP(x)dx（6）P(x)arctanxdx设uarctanx,dvP(x)dxaxax （7）esinbxdx其中u,v为任意选取，ecosbxdx其中u,v为任意选取，上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。

一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分:

baf(x)dxlimf(i)△xi此式子是个常数

ni1（△0）bn(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有

baf(x)dxf(t)dt

a（2）在定积分的定义中，我们假定abaf(x)dx-f(x)dx

baaaf(x)dx0

（3）对于定义在[a,a]上的连续奇（偶）函数f(x)，有

aaf(x)dx0 f(x)为奇函数 f(x)dx2f(x)dx f(x)为偶函数

a0aa（1）kf(x)dxkf(x)dx(k为常数）（2）[f(x)g(x)]dx定积分的性质：

aabbbaf(x)dxg(x)dx

ab（3）f(x)dxf(x)dxf(x)dx(c为a,b的内外点）aacbcb（5）（4）如果在区间[a,b]上总有f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx（单调性）1dxbaaaabbb（6）设M和m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有m(ba)f(x)dxM(ba)ab（7）积分中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得下式成立：f(x)dxf()(ba)ab定积分的计算：

一、变上限函数

fxdxfxa,ba,bfxa,ba设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为 ftdt这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

axx5

定义了一个以x为自变量的函数x，我们把x称为函数fx在区间a,b上变上限函数 记为

如果上限x在区a,b间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在a,b上

xftdtaxbax

推理：'(x)[xaf(t)dt]'f(x)

'(x)[

b(x)a(x)f(t)dt]'f[b(x)]b'(x)f[a(x)]a'(x)

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度vtvt0作直线运动，那么在时间区间a,b上所经过的路程s为

svtdtab

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数st，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

图 5-11

即

vtdtsbsa

ab的原函数st，再求st在区间a,b上的增量sasb即可。

bvtdtstvtstvta由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数vt'b如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分

fxdx的一般方法：

a'Ffxa,bFxfx设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即xfx，则

fxdxFbFa

ab这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成

baf(x)dxF(x)baF(b)F(a)

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数

值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 定积分的换元公式：

baf(x)dxf[(t)'(t)dt计算要领是：

作代换x(t)，要求当t从变到时，x严格单调地从a变到b,且x(t)在[,]上有连续导数'(t)定积分的分部积分法：

bbauv'dxuvbavu'dx

a6

5.4.2定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线yf(x)和直线xa,xb,y0所的求法前面已经介绍，此处不再叙述.

(2)求由两条曲线yf(x),yg(x)，

y yf(x) 围成曲边梯形的面积

a o xxdx b x (f(x)g(x))及直线

xa,xb所围成平面的面积A（如图5.8所示）.

下面用微元法求面积A. ①取x为积分变量，x[a,b].

yg(x) 图5.8

②在区间[a,b]上任取一小区间[x,xdx]，该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高f(x)g(x)，底边为dx的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素

dA[f(x)g(x)]dx.

③写出积分表达式，即

A[f(x)g(x)]dx.

ab⑶求由两条曲线x(y),x(y)，((y)(y))及直线yc,yd所围成平 面图形（如图5.9）的面积.

这里取y为积分变量，y[c,d]， 用类似 (2)的方法可以推出：

y d y+dy y x(y) o x(y) x c

A[(y)(y)]dy.

cd第四章知识点多元函数微分学

§4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念

1. 二元函数的定义：zf(x,y)(x,y)D 定义域：D(f)

2. 二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） Z=ax+by+c表示一个平面；

zR2x2y2表示球心在原点、半径为R的上半个球面； x2y2，表示开口向上的圆锥面； 22，表示开口向上的旋转剖物面。

zzx㈡.

y二元函数的极限和连续：

7

1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

（点(x0,y0)可除外）1.在点(x0,y0)的某个领域内有定义。

2、limf(x,y)Axx0则称zf(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。

yy02. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。

2limf(x,y)f(x0,y0)则称zf(x,y)在(x0,y0)处连续。xx0

yy0㈢.偏导数：

定义:设函数zf(x,y),在点(x,y)的某个邻域内有定义，当自变量x000在处取得改变量△x（△x0),而yy保持不变时，得到一个改变量。0f(x(x,y)对x的偏导数：fx00limx00x,y)f(x,y)000x

(x,y)对y的偏导数：fy00limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

(x,y),f(x,y)分别为函数f(x,y)在(x,y)处对x,y的偏导数。fx00y0000zf(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：

f(x,y)f(x,y)xxxzzx

f(x,y)(x,y)fy㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

zyzy

y8

若zf(xx,yy)f(x,y)AxByo()

其中，A、B与x、y无关，o（）是比较高阶的无穷小量（AxBy是函数zf(x,y)处的全微分

则:dzdf(x,y)AxBy是zf(x,y)

3. 全微分与偏导数的关系

(△x)2(△y)2,则称

在点(x,y)处的全微分。

(x,y),f(x,y)连续，定理：若fx(x,y)D.y

则：zf(x,y)在点(x,y)处可微且

(x,y)dxf(x,y)dydzfxy

㈤.复全函数的偏导数：

1.设：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)

zfu(x,y),v(x,y)

zzuzv则：xzyuuzxuyvzx

vy

v2. 设yf(u,v),uu(x),vv(x) yf[u(x),v(x)]

㈥.隐含数的偏导数：

dydxyududxyvdvdx1.设F(x,y,z)0,zf(x,y),且Fz0

z则xFxFzz,yFy Fz9

2.

0设F(x,y)0,yf(x),且Fy

dy则dxFx Fy㈦.二阶偏导数：

z(x,y)z\"fxxxxx22(xz)x

zf(x,y)z\"yyyyy22y(yz()y

z)x

2zf(x,y)z\"xyxyxy2zf(x,y)z\"yxyxyx(xz)y

(x,y)f(x,y)(x,y)和f(x,y)为x,y的连续函数时，则：fxy结论：当fxyyxyx

（八）隐函数的导数和偏导数

y'F'(x,y)xF'y(x,y)对于方程F(x,y）0所确定的yf(x)，可以求出y对x的导数

zxF(x,y,z)xF(x,y,z)yz..............yF(x,y,z)yF(x,y,z) z(九).二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义：

设z(x,y)在(x0,y0)某一个邻域内有定义，

10

若z(x,y)z(x0,y0),或z(x,y)z(x0,y0)

则称z(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值,

称(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值点。

☆ 极大值和极小值统称为极值，

极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件：

若zf(x,y)在点(x0,y0)有极值，且在(x0,y0)两个一阶偏导数存在，则：

fx(x0,y0)0fy(x0,y0)0

1使fx(x0,y0)fy(x0,y0)0的点(x0,y0)，2定理的结论是极值存在的必要条件，

而非充分条件。 2例：zyx21

zx2x00解出驻点zy2y0x0y00

z(0,0)1

当x0,y0时，z(0,y)y211 当x0,y0时，z(x,0)x211

∴驻点不一定是极值点。

3. 极值的充分条件：

设：函数yf(x,y)在(x0,y0)的某个领域内

11

称为zf(x,y)的驻点。

有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，

若：pf(x,y)xy002f(x,y)f(x,y)xx00yy00

f(x,y)0时，xx00当：p0且(x,y)0时，ff(x,y)为极大值。00当：p0,f(x0,y0)不是极值。 f(x,y)为极小值。xx0000当：p0,不能确定。

求二元极值的方法：

1求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，解出驻点。

2求出p,根据极值的充分条件，判断驻点是否是极值点。 3若驻点是极值点，求出

二倍角公式：(含万能公式) ①sin22sincos2tg1tg2

12

极值。

1tg2②cos2cossin2cos112sin

1tg22222tg21cos22tg1cos222sin③tg2 ④ ⑤ cos1tg221tg22第五章排列与组合

（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自完成，此事即可完成。 （2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取(1mn)个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列，计算公式：

Pnmn(n1)(n2)......[n(m1)]规定Pn!,0!1 n(nm)!n!n组合：从n个不同元素里，任取(1mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总

nC或（）数记为nn，计算公式：

mCmnn(n1)(n2)......[n(m1)]m!mnnmnn2n!m!(nm)!规定C0n1

组合的性质：CC(m＞),Cmn1CmnCm1n

PnmC•P或CnmnmmmPmnPm m第六章概率论

符号 样本空间 不可能事件 基本事件 事件 13

概率论 集合论 全集 空集 集合的元素 子集 A A的对立事件 事件A发生导致 事件B发生 A与B两事件相等 事件A与事件B 至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与事件B互不相容 A的余集 A是B的子集 集合A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同元素 A=B A-B 由于随机事件都可以用样本空间

中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表

示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。 各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组 n个事件，如果满足下列条件： （1） （2）

；

，

则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。 10.事件运算的运算规则： （1）交换律

14

（2）结合律 （3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为

。 概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1 性质2.若

，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。 推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 条件概率、乘法公式、事件的性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的性

一般地说, P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生

在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互。试验序列概型

在相同的条件下，重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在

n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量 1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果

，变量X都有一个确定的实数值

与之对应，则称X为定义

在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数

分布函数F(x)有以下性质：

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称为随机变量X的分布函数。

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即 （5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。 离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则

随机变量的数字特征 1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

。

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质 ①若C为常数，则E(C)=C ②若a为常数，则E(aX)=aE(X) ③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果

存在，则称

为X的方差，记作DX，即

，

方差的算术平方根称为均方差或标准差，

对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为

则X的方差为

（2）方差的性质 ①若C为常数，则D(C)=0 ②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④

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