2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试
数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A．5x2﹣3x＝0
B．3（x﹣2）2＝27
C．（x﹣1）2＝16
D．x2+2x＝8
2．对于二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是直线x＝1，最小值是﹣2 B．对称轴是直线x＝1，最大值是﹣2 C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是﹣2 D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是﹣2
3．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长是（ ） A．20或8
B．8
C．20
D．12
4．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
5．把抛物线y＝2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ） A．y＝2（x+2）2+1 C．y＝2（x﹣2）2﹣1 6．下列说法正确的是（ ） A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB，则点B的坐标为（ ） A．（1，
）
B．（1，﹣
）
C．（0，2）
D．（2，0）
B．y＝2（x+2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2+1
8．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A＝20°，∠B＝70°，则∠ACB的度数为 （ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．
二．填空题（共6小题）
B． C． D．
11．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝ ．
12．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 13．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2020的值为 ．
14．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于 ．
15．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 ．
16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是 ．
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三．解答题（共7小题）
17．解下列方程3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
19．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E． （1）若∠A＝25°，求弧DE的度数； （2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．
20．为落实房地产，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2018年市共投资4亿元人民币建设了廉租房16万平方米，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若在近三年内
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每年投资的增长率相同．
（1）求每年市投资的增长率；
（2）若近三年内的建设成本不变，问2021年建设了多少万平方米廉租房？
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，且满足：（1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1；（2）抛物线的顶点在直线y＝2x上． 问：（1）直接写出A、B两点的坐标． （2）求此抛物线的解析式．
22．已知，如图，AB为⊙O的直径，点C是半圆上一点，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF． （1）求证：∠OCF＝∠ECB； （2）当AB＝10，BC＝2
，求CF的值．
23．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C．
（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若OA•OB＝6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△PAC的面积为15，求P点的坐标．
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2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试数学试卷
参和试题解析
一．选择题（共10小题） 1．
【分析】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【解答】解：A、5x2﹣3x＝0，符合一元二次方程的一般形式，故A正确； B、C、D均不是一元二次方程的一般形式，故B、C、D错误． 故选：A． 2．
【分析】由二次函数的解析式可求得其最值及对称轴，可得答案． 【解答】解：
∵y＝﹣3（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y有最大值﹣2， 故选：D． 3．
【分析】先求出方程的解，根据三角形三边关系定理得出菱形的边长为5，求出即可． 【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0得：x＝2或5，
当AB＝AD＝2，BD＝6时，AB+AD＜BD，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当AB＝AD＝5，BD＝6时，此时符合三角形三边关系定理， 所以菱形ABCD的周长是5+5+5+5＝20， 故选：C． 4．
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
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【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 5．
【分析】先得到抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1． 故选：A． 6．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可． 【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误； 经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误； 相等的圆心角所对的弧不一定相等， 故选：A． 7．
【分析】作BC⊥x轴于点C，根据旋转的概念和三角函数值解答即可． 【解答】解：作BC⊥x轴于点C，
∵点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB， ∴OB＝OA＝2，∠BOC＝60°，
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∴OC＝1，BC＝，
），
∴点B的坐标为（1，故选：A． 8．
【分析】根据圆周角定理得到∠O＝2∠C，由三角形的内角和得到∠A+∠O＝∠C+∠B，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵∠O＝2∠C， ∵∠A+∠O＝∠C+∠B， ∴∠ACB＝∠B﹣∠A＝50°， 故选：A． 9．
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图， ∴对称轴是x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小， 于是y1＞y2＞y3． 故选：A． 10．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图， CD＝x，则AD＝2﹣x， ∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
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∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2， ∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2， ∴y＝故选：A．
二．填空题（共6小题） 11．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（3，6）代入函数y＝x2﹣mx+m﹣2列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值． 【解答】解：根据题意，得 6＝9﹣3m+m﹣2，即6＝7﹣2m， 解得，m＝； 故答案是：． 12．
【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点， ∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0， 解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0， 故答案为：k≤3，且k≠0． 13．
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把﹣2a2+4a+2015变形为﹣2（a2﹣2a）+2015，然后利用整体代入的方法计算．
，
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【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， 即a2﹣2a＝1， ∴﹣2a2+4a+2020 ＝﹣2（a2﹣2a）+2020 ＝﹣2×1+2020 ＝2018． 故答案为：2018． 14．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝65°，根据旋转变换的性质计算即可． 【解答】解：∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB＝65°，
由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝65°， ∴∠ADC＝∠CAB＝65°， ∴∠CAD＝50°， ∴∠CAE＝15°， ∴∠BAE＝50°， 故答案为：50°． 15．
【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，则OC＝3，由于OC为△ABE的中位线，则BE＝2OC＝6，再根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图， ∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2， ∵OC2+AC2＝OA2，
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∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5， ∴OC＝5﹣2＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， 在Rt△BCE中，CE＝故答案为：2 16．
【分析】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF＝EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+
．
．
＝
＝2
．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°， ∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG， ∴∠EDG＝∠FEH， 又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS）， ∴HF＝EG，
∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC， ∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°， ∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1， ∴EG＝∴HF＝
CG＝，
个单位， ，
，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+
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故答案为：1+
．
三．解答题（共7小题） 17．
【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根． 【解答】解：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0 （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0 （x﹣2）（2x﹣6）＝0 x﹣2＝0或2x﹣6＝0 ∴x1＝2，x2＝3． 18．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝即 19．
【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案； （2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．
，所以三角形的形状为等腰直角三角形．
，A1B＝
，
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【解答】解：（1）连接CD， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝65°， ∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°， ∴∠BCD＝50°， ∴∠DCE＝40° ∴
的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F， ∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6， ∴AB＝2
＝5，AE＝6﹣2＝4．
∵AB与AF均是⊙C的割线， ∴AD•AB＝AE•AF，即2∴BD＝AB﹣AD＝2 20．
【分析】（1）设每年市投资的增长率为x，根据该市2018年及2020年的投资额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2021年建设的廉租房的面积＝2021年市的投资额÷每万平方米廉租房的价格，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每年市投资的增长率为x， 依题意，得：4（1+x）2＝9，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）． 答：每年市投资的增长率为50%．
（2）9×（1+50%）×（16÷4）＝54（万平方米）． 答：2021年建设了54万平方米廉租房． 21．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），再求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标；
﹣
•AD＝4×8，解得AD＝
＝
．
，
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（2）先确定抛物线的顶点坐标为（1，2），设顶点式y＝a（x﹣1）2+2，然后把A点坐标代入求出a即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）； 即A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵抛物线的顶点在直线y＝2x上， ∴抛物线的顶点坐标为（1，2）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
把A（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2． 22．
【分析】（1）延长CE交⊙O于点G，连接BG．利用圆周角的性质进行解答即可．
（2）连接AC，作OH⊥CF于H．证明△ACB∽△CHO，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点G，连接BG． ∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E， ∴BC＝BG， ∴∠G＝∠2， ∵BF∥OC， ∴∠1＝∠F， 又∵∠G＝∠F， ∴∠1＝∠2． 即∠OCF＝∠ECB．
（2）解：连接AC，作OH⊥CF于H． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，BC＝2∴AC＝
， ＝
＝4
，
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∵OH⊥CF， ∴FH＝CH，
∵∠ACB＝∠CHO＝90°，∠A＝∠F＝∠1， ∴△ACB∽△CHO， ∴∴
＝＝
， ， ， ．
∴CH＝2∴CF＝4 23．
【分析】（1）当m≠﹣4时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点． （2）根据抛物线y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．
（3）可设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），根据S△PAC的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标． 【解答】解：（1）∵m≠﹣4，
∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0， ∴当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0， 解得x1＝m+1，x2＝﹣3，
∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C， ∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0， ∵OA•OB＝6， ∴3（m+1）＝6， 解得m＝1，
∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6， 当x＝0时，y＝6， ∴点C的坐标为（0，6）；
（3）设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6）， P在y轴左边，则
（3﹣a）（a2+a﹣6）+×3×6﹣（﹣a）（a2+a﹣6+6）＝15，
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解得a＝﹣5，a＝2（舍去）． P在y轴右边，则
（a+a+3）×6+（a+3）（a2+a﹣6）﹣a（a2+a﹣6+6）＝15， 解得a＝﹣5（舍去），a＝2（舍去）． 故P点的坐标为（﹣5，﹣14）．
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