Ｗ册 二次函数 ●■ 一 、＿， 二——＿’ ＼ 抛物线与 轴交点 如果抛物线ｙ＝ ２＋６ ＋ｃ与 轴有公共点，公共点的横坐标是 。，那么当 。时，函数的值是０，因此 。就是方程 ＋ ＝０ 的一个根． 分析Ｙ轴上点的坐标的特 点是横坐标为０， 轴上点的坐 求抛物线ｙ＝ｘｚ一３ｘ＋２与Ｙ轴、 轴的交点坐标． 标的特点是纵坐标为０． ，解令 ＝０，则ｙ＝２，抛物线，，： ２＿３ ＋２与Ｙ轴的交点坐标是 点拔 令函数Ｙ为０，则 （０２）． 竺 ＋６ 三 数 二 令 ：０，则 ｚ一３ ＋２：０，解得 。：ｌ， ：：２，抛物线ｙ ｚ一３ ＋２与 ’ 主 轴的交． 坐 为（１ 一 、 轴的交点的横坐标． 霉二次函数与一元二次方程的关系 分析判定抛物线与 轴是； 二次函数的图像与ｘ轴的位置关系有三种：没有交点，有一个 否有交点可以转化为一元二次 交点，有两个交点・这对应着一元二次方程根的三种情况： 有实 方程是否有实数根的问题 数根，有两个相等实数根，有两个不相等实数根． 燕拨①若一元二次方程有 两个不相等的实数根，则抛物线与 下列抛物线与 轴无交点的是（ Ａ．ｙ＝ｘ －３ｘ＋２ Ｃ．ｙ＝ｘ －３ｘ－４ ）． 轴有两个交点；②若一元二次方 程有两个相等的实数根，则抛物线 Ｂ．ｙ＝ｘ２－３ｘ一２０ Ｄ．ｙ＝ｘ２－３ｘ＋３ 与 轴有一个交点；③若一元二次 方程没有实数根．则抛物线与 轴 无交点． 解Ｄ． Ｍａｎｙ ａ｜ｈｉｅ ｗｏｒｄ ｉｓ ｓｐｏｋｅｎ ｉｎ ｊｅｓｔ． 耋分析观察图像可知抛物 二次函数与一元二次不等式的关系 已知抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５的部分图像如图，则抛物线的 ．满足ｙ＜Ｏ的 的取值范围是 １ Ｖ ｌ Ｉ Ｉｌ ＩＩ ｌ ｌ线与 轴交于点（１，０），抛物线的 对称轴为直线 ＝ 对称轴为ｘ＝３，根据抛物线的对 称性．可知抛物线与 轴的另一 个交点为（５，Ｏ）． 』一Ｌ 一上一 一Ｊ—ｌ● ● Ｉ＿＿Ｊ一－ Ｌ—ＬＪ一０＿ｉ ● ｉ ｉ ●Ｊ～ ｌ Ｉ ｌ ］二［］二工互 ＿一＿Ｔ—ｔｌ—Ｌ＿Ｊ一上一Ｌｊ—ＬＪ～＿１一十一ｒ１一ｔ－＿１一 ｝ 十÷ Ｉ一＊一＋Ｉ Ｉｌ － 一＋一卜 一 ＩＩＪ Ｉｌ Ｉ ～Ｉ ｌ ］二［］二工主 一１一Ｊｒｌ—ｒ］一Ｔ一厂１一ｒ］～—Ｌ＿Ｊ一＿Ｌ—ＬＪ—Ｌ＿Ｊ一 Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ １ ＇ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ ｌ Ｉ Ｉ 』一 ２＿ｌ０ Ｊ监 一Ｌ』一Ｌ＿ｊ芝 箍Ｉ主Ｉ量Ｉ 一 －＿＋｛Ｉ、弋— 一 ＪＩ＋ － Ｉ＿一 一＋Ｉ ｒ一卜广ＩＬ ＿ ＪＩ 一— ＋｝Ｉ －＿ ＿｛ＪＩ ～ 一一÷＿４ Ｉ一＿ｔ—ｒ１一． Ｉ ｌ Ｉｒ—ｒ１一ｔ Ｉ ｌ ｌ Ｉ－＿１～ ｌＩ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ｌ Ｉ 解３ ｌ＜ｘ＜５． 点拔 二次函数与方程有 鞠 二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（Ⅱ≠０）的图像如图所示，根据图 着紧密的联系．即当函数值一定 像解答下列问题： 时，二次函数就变成了一元二次 方程．所以二次函数的相关特征 （１）写出方程 ＋ｂｘ＋ｃ＝Ｏ的两个根． （２）写出不等式似２＋ｂｘ＋ｃ＞Ｏ的龠 （３）写出Ｙ随 的增大而减小 Ｆ即为方程的特定值或特定关系， 这些特定关系与二次函数的图 ３ 像特征也是相互联系的． （１）ｂ２－４ａｃ与 轴交点的个 数有关． 的自变量 的取值范围． （４）若方程 ＋ｂｘ＋ｃ＝ｋ有两个 不相等的实数根，求ｋ的取值范围． 一 １①６２－４ａｃ＝０￣＝￣与 轴有一个 交点．即为顶点： 解（１）ｘｌ＝ｌ，ｘｚ＝３（２）ｌ＜ｘ＜３ （４）ｋ＜２ １ Ｄ ／１ ２ —２ ：／５１ ． ４ ： （３）ｘ＞２ －②６ 一４Ⅱｃ＞Ｏ甘与 轴有两个 交点． ２ ｌ ： ／ ＼ 提示：由图可求出此二次函数解 析式为 ＝一 ２＋８ 一６． ③６２－４ａｃ＜０￣￣与 轴无交点． （２）ａ＋ｂ＋ｃ是指当ｘ＝ｌ时对 应的Ｙ值． （３）Ⅱ一ｂ＋ｃ是指当 一１时对 镳 二次函数ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ的图像如图所示，试确定点 应的Ｙ值． （詈， ・）所在的象限． ，解 由图像可知， ０，一 ｂ＜ｏ６＜０，ｃ＞０， ．． ＞０．口＋６＜０． Ｄ 厂 ｌ ・．‘抛物线与 轴有两个交点．．Ｉ．ｂ￣－４ａｅ＞Ｏ． ・。・点ｌ点ｆ ，～ｂ’ —ｂ２１在第四象限 —４ｏＬ＇Ｊ征弟 象限 ．｛ Ｏ ２７ ．．－许多真话都是在玩笑中说出来的。——乔纳森・斯威夫特 ・ ・用豳数观点看一元二次方程专题训练 … ， ， 一～一一一一 …： 季 １．抛物线ｙ＝ 一３ｘ＋２与Ｙ轴的交点坐标是 ，单位，则得到抛物线ｙ＝ｘ 一 ＋９． ｌ 。与 轴的交点坐标是 － 一Ｉ Ｉ ＩＩ ｌＩ Ｉ ｌ ｌ ｌ 一一上一Ｉ＿＝一 —Ｌ一一 —ｌ一』一Ｌ一一Ｌ—Ｉ一』一Ｌ— ｆ Ｉ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ Ｉ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ：－Ｊ１￣Ｖ－－ １－： —ｒ１一ｒ—Ｉ一－ｒ—ｒ１一ｒ—Ｉ一＿ｒ—ｒ Ｌ－Ｊ—Ｌ—Ｉ一＿Ｌ—ＬＪ—Ｌ—Ｉ—Ｊ—Ｌ． ．一２．抛物线ｙ＝一２ｘ ＋５ｘ一３与Ｙ轴的交点坐标是 ．Ｉ ｌ ｌ ． — 一 Ｉ ｌ Ｉ Ｉｌ Ｉ Ｉ ｌ Ｉ Ｉ一卜＿ 一｝－Ｉ－＿卜一卜 一 一１．・－卜一卜一 与 轴的交点坐标是 Ｉ Ｉ ｌｊ ｌ Ｉ ｌ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ Ｉ Ｉ ｌ 。］一ｒ—ｌ‘ 一 广广１—１－－Ｉ－＿ｒ一广］一ｒ－ｔ－＿ｒ一广。 Ｊ—Ｌ—ｌ 一 一ＬＬ一一 一Ｉ一 一Ｌ．Ｊ— —Ｉ一．Ｌ—Ｌ－． ． ， Ｉ ｒ） 、ｒ１—１Ｉ Ｉ Ｉ＿一ｒ１一ｒ－ ｌ ｌ Ｉ １一ｒ—ｒ＿Ｉ Ｉ Ｉ Ｉｒ—ｒ Ｉ ｌＪ＿ 、Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ● ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．＿－＿．＿， ．－．＿．．－．．．－－＿＿＿。－。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一３．若抛物线ｙ＝ｘＺ－ｘ一２经过点Ａ（３，ａ）和点 Ｂ（ｂ，０），贝０Ａ——，８ ． 时，ｙ＜Ｏ， ４．二次函数ｙ￣－－Ｘ ＋ 一５．当 且Ｙ随 的增大而减小． ５．如图，二次函数 ＝ ＋ ．一一 —ＩＦ１ ｌ ３ ： ６Ｌ 一 一 一 一 ．｛一｛．一 Ｉ＼ｉ Ｉ ｌ／ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ Ｊ— —ｒｊ 一厂 一１－■广 一厂］一１－一Ｉ一．－ｆ一厂 Ｌ一 Ｊ Ｉ一＿Ｌ—Ｌ－Ｊ—Ｌ—Ｉ一 一Ｌ． 一一 一Ｌ４ Ｉ—ｒ１一ｒ—Ｉ ｉ Ｉ Ｉ ｌ一１一ｒ１一ｒ—Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ一’一ｒ— ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ Ｉ ｌＩ ＩＩ Ｉ ｌ １ １．二次函数），＝似 ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图像如图 所示，则下列结论：①ａ＞Ｏ；②ｃ＞０；③６。一 ｂｘ＋ｃ的图像与 轴的 交点的横坐标为１，２， 写出符合下列结论的 的取值范围： ＼ ２ ４ａｃ＞Ｏ，其中正确的个数是（ ）． （１）当ｙ＜０时， 的取值 范围是 ｜。 ｜ Ｄ ＼ ——； ． Ａ．０个 Ｃ．２个 （２）当ｙ＝Ｏ时， 的取值范围是—（３）当ｙ＞Ｏ时， 的取值范围是—则 ＝ 图像——． Ｂ．１个 Ｄ．３个 ６．抛物线 慨 ＋ｃ与 轴交点的横坐标为一１， ７．一次函数ｙ＝２ｘ一３与二次函数ｙ＝ｘ２－２ｘ＋ｌ的 交点（“有”或者“无”），如 １２．根据下列表格中二次函数ｙ＝戳 ＋ｂｘ＋ｃ的 自变量 与函数值Ｙ的对应值，判断方程 似 ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ ≠０，ａ，６，Ｃ为常数）的一个 解 的范围是（ ）． ６．１８ －０．Ｏ１ ６．１９ Ｏ．０２ ６．２０ ０．０４ 果有，那么交点个数是 ８．抛物线ｙ＝一３ ＋２，当ｘ＜Ｏ时，经过第—— 象限． ｖ：ｎ ＋６ ＋ｃ ６．１７ －０．Ｏ３ ９．抛物线 ＝（ 一２）（ ＋５）与坐标轴的交点分别 为Ａ，Ｂ，Ｃ，则ＡＡＢＣ的面积为 Ａ．６＜ｘ＜６．１７ Ｂ．６．１７＜ｘ＜６．１８ Ｃ．６．１８＜ｘ＜６．１９ Ｄ．６．１９＜ｘ＜６．２Ｏ １０．已知，抛物线的部分图像如图，则抛物线 的对称轴为直线 ＝——，满足ｙ＜Ｏ ，将抛物线 个 的 的取值范围是——ｙ＝ｘ 一 ＋５向——一平移——、 、 、 ５８ 、，……………一 ｍｅ ｏｌ ！ｓ ！ｆ＿…ｒｏｍ ｉｎｃ …………………………一一 １３．小明从二次函数 似２＋６ ＋ｃ的图像中观察 １８．已 Ｃ２￣－１ｌｘ一３． 得出了下面五条信息：①ａ＜０，②ｃ＝０， ③函数的最小值为一３， （１ （２ 油． 、Ｙ轴的交点坐标． ④当ｘ＜０时，ｙ＞０， （ 当０＜ｘｌ ２＜２时， ｙ ＞ｙ２．你认为其中正 确的有（ Ａ．２ Ｃ．４ ２ ｉ ）个． Ｂ．３ Ｄ．５ ＼＼＼ ／ Ｌ ／ １４．对于二次函数ｙ＝ｘ 一２，当自变量ｘ＜０ 时，函数图像在（ Ａ．第一、二象限 Ｃ．第三、四象限 ）． Ｂ．第二、ｉ象限 Ｄ．第一、四象限 ）． １９．已 １５．抛物线忙 ２＿３卅２与谛 的交点为 ，与Ｘ轴的 交点为 ，Ｃ，则ＧＡ ＢＣ的面积是（ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ：似 ＋ｂｘ＋ｃ经过Ａ，Ｂ，Ｃ三 １６．下列抛物线与 轴无交点的是（ Ａ．ｙ＝ｘ２－３ｘ＋２ ）． 占 图像如图所示． 解析式，写出抛物线的顶 ２ ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ当ｘ＜０时的 Ｂ．ｙ＝ｘ２－３ｘ一２０ （１ Ｃ．ｙ＝ｘＺ－３ｘ一４ Ｄ．ｙ＝ｘ２－３ｘ＋３ １７．利用函数的图像求下列方程的解． （１） ＋ 一１２＝０； （２）２ｘ２－ｘ一３＝０． （２ （３ ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ，写出 为何值 ２ …一２ ４ ｜ ５ ， ｜ 真正的礼貌来自真诚。——塞缪尔－斯迈尔斯 一一／．， ５９ 警巩固提高（３０分钟） 臻 辩穗褥嚣锈琵帮《冁芬ｌ诼｜磷ｌ瓣器鹚爨｜魏鹣 鞭ｌ稿 １．请你写出一个ｂ的值，使得函数ｙ ＋２ｂｘ 在第一象限内Ｙ的值随着 的值增大而增 大，则ｂ可以是 ６．二次函数的图像如图所示： （１）求它的解析式． （２）根据图像说明， 为何值时，ｙ＞０７ （３）根据图像说明， 为何值时， ０７ ， ２．抛物线ｙ＝ ＋ｂｘ＋ｃ上部分点的横坐标 ， 纵坐标Ｙ的对应值如下表： 【－３ －２ —１ ０ １ 一２ ＼ ５ ｝ｙ －６ ０ ４ ６ ６ ７Ｉ抛物线 １ ， ．０１ ▲ 一２ 容易看出，（一２，０）是它与 轴的一个交点， 则它与 轴的另一个交点的坐标为 ３．二次函数ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ图像上部分点的对应 值如下表： ２＋（， １） ＋， 与Ｙ轴交于（０，３）点． （１）求出ｍ的值并画出这条抛物线．’ （２）求它与 轴的交点和抛物线顶点的坐标． （３） 取什么值时，抛物线在 轴上方？ （４） 取什么值时，Ｙ的值随 值的增大而 减小？ ｌ －３ －２ 一ｌ ０ １ ２ ３ ４ 『 ｙ ６ Ｏ －４ －６ －６ －４ ０ ６ 则使ｙ＜Ｏ的 的取值范围为 ４．已知函数ｙ＝ｘ２－２ｘ一２的图像如图所示．根据 其中提供的信 息，可求得使Ｙ≥ １成立的 的取值 范围是（ ）． 一） ｖ 乙２ 一： ８．已知抛物线），＝ ＋６ ＋ｃ的对称轴是经过点 （２，０）且与Ｙ轴平行的直线，抛物线与 轴相交于点Ａ（１，０），与Ｙ轴相交于点 Ｂ（０，３），其在对称轴左侧的图像如图所示． ． ． ． Ａ ． Ａ．一１≤ ≤３ 芝一一１１ ｝主 ／３ ４ －Ｂ．一３≤ ≤１ Ｃ． ≥一３ ３’ （１）求抛物线所对应的函数关系式，并写出 抛物线的顶点坐标． （２）画出抛物线在对称轴右侧的图像。并根 Ｄ． ≤一１或 ≥３ ５．已知抛物线 ＝僦 ＋ｂｘ＋ｃ（０＞０）的对称轴为 直线 ＝一１，与 轴的一个交点为（ ，０），且 据图像写出当戈为何值时．ｙ＜０． ０＜ｘｌ＜ｌ，下列结论：①９０—３ｂ＋ｃ＞０；②６＜０； ③３叶ｃ＞０．其中正确结论的个数是（ ）． Ａ．０ Ｃ．２ 曰 Ｂ．１ Ｄ．３ １ ３ ４ ’ 、、Ｎｏｎｅ ｂｕｔ ｔｈｅ ｗｅ１１一ｂｒｅｄ ｍａｎ ｋｎｏｗｓ ｈ。ｗ ｔｏ ｃｏｎｆｅｓｓ ａ ｆａｕＩｔ，ｏｒ ａｃｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｈｉｍｓｅｌｆ ｉｎ ａｎ ｅ１ＴＯｒ． 、６Ｏ ．、————・——－—・—・— ———－—————————————————・————— …———————————————————————————————・—————————－— —－———————————————————————————————－—————．—－—－—－－－．—．．—－—－．． ９。在直角坐标平面内．二次函数图像的顶点 为Ａ（１，一４），且过点Ｂ（３，０）． （１）求该二次函数的解析式． 厂●一●Ｌ厂 一一 一 ●Ｌ（２）将该二次函数图像向右平移几个单位， ］●一●Ｊ可使平移后所得图像经过坐标原点？并 直接写出平移后所得图像与 轴的另 一一 一 １●一●＿一 一 Ｔ●一●－『●一一 一 ●●ｒ，一一 一 ●Ｌ一 一个交点的坐标． ｒ一广一Ｉ一］一 一。 一一广一广一Ｉ一＿１一］ Ｉ ＩＩ Ｉ Ｉ ｌ ｌ ＩＩ Ｉ 厂一厂一Ｉ一］一１一’ 一厂一广一Ｉ一］一］ Ｌ—Ｌ—ｌ—Ｊ—Ｊ一． ．一Ｌ—Ｌ—ｌ—Ｊ—Ｊ Ｉ Ｉｌ Ｉ ｌ Ｉ ｌ ＩＩ Ｉ Ｌ—Ｌ－ｊ一＿Ｊ—Ｊ一． ．一Ｌ—Ｌ—Ｉ一＿Ｊ一．—Ｊ １ Ｉ ｌＩ Ｉ Ｉ ｌ Ｉ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ ｌ ＩＩ ＩＬ一一 ．—Ｊ一—４一—Ｌ一． －一 －一 一一Ｉ一— 一—Ｊ ｉｉ ｉ ｉ Ｏ ｌ● ● Ｉ Ｉ１ ● Ｉ Ｉ●一 ｒ—ｒ１—１— 一 。一ｒ一广一Ｉ一１—１ Ｉｌ ｆ Ｉ Ｉ ｌ Ｉｆ ｌ Ｉｒ一厂一ｆ一］一１一 。一ｒ一广一ｌ一］一］ ｌ ｌ １ 『 ｌ Ｉ ｌＩ ｌ Ｉ—Ｌ＿＝一ｊ—ｊ一． ．一Ｌ—Ｌ一 一 — Ｌ１＿Ｌ一：一 — 一． ．一Ｌ—Ｌ一 一 — １０．已知二次函数图像的顶点是（一１，２），且过 点（０，号） ＿（１）求二次函数的表达式，并在图中画出它 的图像． （２）求证：对任意实数ｍ，点Ｍ（ｍ，一ｍ ）都 不在这个二次函数的图像上． 唯有良好教养的人才知道如何承认缺点和错误。一一本杰明・富兰克林 ／ ，／ ， ／， ， ６１
