双曲线直线题(含答案)

班级 姓名

1. 已知：如图，直线y1kx与双曲线y交于A、B两点，且点A的坐标为（6,m）． 3xyk（1）求双曲线y的解析式；

xk（2）点C（n,4）在双曲线y上，求△AOC的面积； x（3）在（2）的条件下，在x轴上找出一点P, 使△AOC 的面积等于△AOP的面积的三倍。请直接写出所有符 ．．．．合条件的点P的坐标．

BCAOx11．解：（1）∵点A(6,m)在直线yx上，

3 yCAOBDExk1∴m62． ∵点A(6,2)在双曲线y上， x3k∴2， k12．

612∴双曲线的解析式为y．

x （2）分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，

垂足分别为点D，E．（如图5） ∵点C(n,4)在双曲线y ∴412上， x12上， x图5 12，n3，即点C的坐标为(3,4)． n ∵点A，C都在双曲线y ∴SAOESCOD1126． 2 ∴SAOC=S四边形COEASAOE=S四边形COEASCOD=S梯形CDEA，

11 ∴SAOC=(CDAE)DE=(42)(63)=9．

22 （3）P(3,0)或P(-3,0)．

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2．已知一次函数ykxb的图象与直线y3x 平行且经过点2,3，与x 轴、y轴分别交于A 、 B 两点．

(1)求此一次函数的解析式；

(2)点C是坐标轴上一点，若△ABC是底角为30的 等腰三角形，求点C的坐标．

yOx2．解：(1)∵一次函数ykxb的图象与直线y3x平行且经过点2,3

k3k3∴ 解得

2kb3b3∴一次函数解析式为y3x3 (2)令y0，则x1；令x0则y3 ∴A1,0,B0,3 ∵OA1,OB3 ∴AB2 ∴ABO30

若ABAC，可求得点C的坐标为C13,0或C20,3 若CBCA

如图OAC3603030，OC3OAtan30∴C30,3 33 3∴C13,0,C20,3,C30,3 3

3．某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的关系如图所示．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?

3．解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b．

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2008kb4,k1,由题意，得 解得

2010kb6.b2004.∴y与x之间的关系式为y＝x－2004（2008≤x≤2012）．

（2）当x＝2012时，y＝2012－2004＝8．

∴该市2012年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为8万吨．

4. 如图，已知反比例函数y=

6(x＞0)的图象与一次函数y=kx+b x的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点． （1）求一次函数的解析式；

（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.

4.解：（1）由题意得，m=6，n=3. ∴A（1,6），B（3,2）

kb6

3kb2k2解得，

b8由题意得，∴一次函数解析式为y=-2x+8

（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是03.

5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x的图象与反比例函数y

k

的图象交于A、B两点． x

（1）求k的值；

（2）如果点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角

形是直角三角形，直接写出点P的坐标．

5．解：（1）反比例函数y

k

的图象经过点A(-1，1) ， x

∴k-11-1．…………1分 （2）P1(0，2)、 P2(0，-2)、

P3(0，2)、 P4(0，-2) ……5分

6．点C在反比例函数y

k

的图象上，过点C作CD⊥y轴， x

交y轴负半轴于点D，且△ODC的面积是3．

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（1）求反比例函数yk的解析式； x（2）若CD=1，求直线OC的解析式．

6. 解：（1）∵△ODC的面积是3， ∴ODDC6

∵点C在yk的图象上， x6. x∴x y=k. ∴(－ y) x = 6. ∴ k = x y = －6.

∴所求反比例函数解析式为y（2）∵ CD=1，即点C ( 1, y )，

7．如图，A、B两点在反比例函数y

k

（x＞0）的图象上． x

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）连结AO、BO和AB，请直接写出△AOB的面积．

m7．解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y(x0)的图象上，

x ∴mxy166 ．

∴反比例函数解析式为y（2）△AOB的面积是

6(x0)． x35 ． 2y

8. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于 点A(-2, 0)、B(0, 2).

（1）求一次函数的解析式;

（2）若点C在x轴上，且OC=23, 请直接写出 ABC的度数.

8．解：（1）依题意设一次函数解析式为ykx2.

∵ 点A(2,0)在一次函数图象上，

∴02k2.

∴ k=1.

∴ 一次函数的解析式为yx2. （2）ABC的度数为15或105．

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A B O x yABCFEOx9．如图，已知：反比例函数yk（x＜0）的图象经过 x点A（－2，4）、B（m，2），过点A作AF⊥x轴于点F, 过点B作BE⊥y轴于点E,交AF于点C，连结OA． （1）求反比例函数的解析式及m的值；

（2）若直线l过点O且平分△AFO的面积，求直线l的解析式．

9．解：∵ yk（x＜0）的图象经过点A（－2，4）、B（m，2）， x∴ k8．

8A∴ y． lxB∴ m4．

CyEx∵ 直线l过点O，

∴ 设直线l的解析式为：ykx，其中k0． FO∵ 直线l平分△AFO的面积， ∴ 直线l过AF的中点C（-2，2）． ∴ k1．

∴ 直线l的解析式为：yx．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y2x的图象

k与反比例函数y的图象的一个交点为A（-1，n）．

xk（1）求反比例函数y的解析式；

x（2）若P是坐标轴上一点（点P不与点O重合），且PA=OA，试写出点P的坐标．

10．解：（1）∵ 点A(1,n)在一次函数y2x的图象上， ∴ n2(1)2．

（1，2）∴ 点A的坐标为．

k∵ 点A在反比例函数y的图象上，

x∴ k2．

2∴ 反比例函数的解析式为y．

x（2）点P的坐标为(2,0)或(0,4)．

11. 已知：在某个一次函数中，当自变量x=2时，对应的函数值是1；当自变量x= －4时，对应的函数值是10. 求自变量x=2012时，该函数对应的函数值是多少？

11. 设这个一次函数是y=kx+b，

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x2,x4, 把 分别代入，

y1;y102kb1, 得 

-4kb10;3 解得，k=-，b=4.

23 ∴ y= -x+4.

23∴当x=2012时，y= -×2012+4= -3014.

2

12．已知：正比例函数y1k1x(k10)和反比例函数y2k2(k20)的图象都经过点Ax（1，3）.

（1） 求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；

（2） 设点P是反比例函数图象上的点，且点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，

求点P的坐标.

k2(k20)的 x图象都经过点A（1，3）.所以 k13,k23. 12．解：(1) 因为y1k1x(k10)和y2所以 y13x，y23. x(2) 依题意（如图所示），可知，点P在∠AOx的平分线上. 作PB⊥x轴，由A（1，3）可求得∠AOB=60°， 所以 ∠POB=30°.

y3. tan30x33x 所以 直线PP'的解析式为 y333x代入y把y，解得x3. 3x所以 P(3,1)和P'(3,1).（P'点的坐标也可由双曲线的对称性得到）

设P(x,y)，可得

13．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（2，0）， 与y轴交于点B，点D在直线AB上． ⑴求直线AB的解析式；

⑵将直线AB绕点A逆时针旋转30°，求旋转后的直线解析式．

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yB3DxO1A

13．解：⑴依题意可知，

2kb0k3 解得kb3b23所以，直线AB的解析式为y3 x23

0⑵A（2，0）B0,23OA2,OB23可求得BAO60

当直线AB绕点A逆时针旋转30°交y轴于点C，可得CAO30 在RtAOC中OC=OAtan30=

o023 3C(0,23,3 23A（2，0）02m3

3 m3解得

设所得直线为y1=mx+所以y1=－

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y

23)3

233 x+ 334

x

（x0）的图象与一次函数yxb的图象的一个交点为

A(4,m)．

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数yxb的图象与y轴交于点B，P为一次函数yxb的图象上一点，若△OBP的面积为5，求点P的坐标．

14．解：（1）∵点A(4,m)在反比例函数y ∴m4（x0）的图象上， x41． ∴A(4,1)． 4将A(4,1)代入一次函数yxb中，得 b5． ∴一次函数的解析式为yx5．

（2）由题意，得 B(0,5)， ∴OB5．

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设P点的横坐标为xP．

∵△OBP的面积为5， ∴ ∴xP2．

∴点P的坐标为（2，3）或（-2，7）．

15．已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象 和反比例函数y=

15xp5． 2m的图象的两个交点，直线AB与y轴 x交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b-

15．解：（1）将B（1，4）代入y将A（n,-2）代入ym<0的解集(直接写出答案)． xm4中，得m=4，∴y. xx

m中，得n=-2. x将A（-2,-2）、B（1，4）代入ykxb， 2kb2得.-----2分 kb4k2解得，∴y2x2.-----------3分

b2（2）当x=0时，y=2，∴OC=2，∴SAOC（3）x2或0x1.

yPCBOx1222. 2k16．如图，点C（1,0）是x轴上一点，直线PC与双曲线y x交于点P，且∠PCB=30°，PC的垂直平分线交x轴于点B，如果BC=4，

(1)求双曲线和直线PC的解析式； (2)设P点是直线PC上一点，且点P与点P关于点C对称，直接写出点P的坐标.

16．解：作PA⊥x轴于A.

∵ 点B在PC的垂直平分线上，

第 8 页 共 14 页 CABO'''yPxP'∴ BC=BP=4. ∵ ∠PCB=30°，

∴ ∠BPC=∠PCB=30°. ∴ ∠ABP=60°. 在Rt△PAB中，

323.. 21ABPBcos6042.

2∴ P(5，23) PAPBsin604∴ k103. ∴ y103. x，

设直线PC的解析式为ykxb ∵ 直线PC经过点C（1,0），P(52，3)3kkb0,3

∴ 35kb23.b.333∴ yx.

33（2）P’(7，23)

17．已知反比例函数y

k

的图象与一次函数ykxb的图象交于点M（－2，1）． x

（1）试确定一次函数和反比例函数的解析式； （2）求一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

17．解：（1）∵ 反比例函数y∴ k(2)12．

k与一次函数ykxb的图象经过点M（－2，1）． xb1(2)(2)3．

∴反比例函数的解析式为y

2． x一次函数的解析式为y2x3．

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（2）令y0，可得x3． 2∴ 一次函数的图象与x轴的交点坐标为，0． 令x0，可得y3．

∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)．

18．已知：反比例函数y32k1（k10）的图象与一次函数yk2xb（k20）的x图象交于点A(1，n)和点B(－2，－1)． ⑴求反比例函数和一次函数解析式；

⑵若一次函数yk2xb的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标． 解：

18． 解：⑴∵点B（－2，－1）在反比例函数y∴k12∴反比例函数的解析式为y∵点A（1，n）在反比例函数yk1k10的图象上 x2 x2的图象上 x∴n=2

∴点A坐标是（1，2）

∵点A（1，2）和点B（－2，－1）在函数yk2xb(k20)的图象上

2kb1k1 ∴ 

kb2b1∴一次函数的解析式为yx1

⑵∵一次函数的解析式为yx1

∴∴点C的坐标为（－1，0）

∵点P在x轴上，且△ACP的面积是3 ∴PC=3

∴P点坐标为（－4，0）或（2，0）

19. 某周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某 基地参加社会实践活动．在基地活动2．2小时后，因家里 有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回， 同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与 小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按原路返回． 设小明离开家的时间为x小时，小明离家的路程y (千米) 与x (小时)之间的函数图象如图所示．

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y（千米）3028ABC2010O1Dx (小时)(1)小明去基地乘车的平均速度是 千米/时，爸爸开车 的平均速度是 千米/时；

(2)求线段CD所表示的函数关系式，不用写出自变量x的取值范围；

(3)问小明能否在中午12：00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出中午12：00时他离家的路程．

19． 解：(1) 30 ， 56 ；

(2) y=-56x+235．2 (3．7≤x≤4．2) (3)不能．

小明从家出发到回家一共需要时间：1+2．2+2÷4×2=4．2（小时），从8:00经过4．2小时已经过了12:00，

∴ 不能再12:00前回家，此时离家的距离：56×0．2=11．2（千米）．

20. 如图，A、B为反比例函数yk（x0）图象上的两个点. x（1）求k的值及直线AB的解析式；

（2）若点P为x轴上一点，且满足△OAP的面积为3， 求出P点坐标.

20.解：（1）由题意得，1k 2 ∴k= -2.

设AB的解析式为y=ax+b.

2ab1

ab2a1 解得，

b3 由题意得， AB的解析式为y= x+3

（2）设点P（x，0）

由题意得，S△OAP=

1OP1=3 2OP=6

点P坐标为（-6,0）或（6,0）

21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kxb的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y交于点B(2，1)．

（1）求m的值和一次函数的解析式；

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ym (x0)的图象相xOBAx（2）结合图象直接写出：当x0时，不等式kxb21．解：（1）反比例函数ym的解集； xm (x0)的图象经过点B(2，1) ， x m122．

一次函数ykxb的图象经过点A(1，0)、 B(2，1)两点， kb0,k1, 解得 2kb1.b-1. 一次函数的解析式为y=x-1．

（2）x2．

22．如图，一次函数yk1xb的图象与反比例函数y的图象交于A1,3，B(3,a)两点． （1）求k1、k2的值； （2）求△ABO的面积.

22. 解: （1）反比例函数yk2(x0) xk2(x0)的图象过A1,3B(3,a)两点． xk2133,ak1b3 S梯形3kb1131. B(3,1) 3一次函数yk1xb的图象过A1,3，B(3,1)两点

解得:k11,b4

（2）设一次函数yx4与y轴交于C点，则C点坐标为(0,4)

SBOCSAOCSABO1436， 21412 2SBOCSAOC624.

23．已知一次函数ykxb的图像经过点A(1，0)和B3a，，且点B在反a（a0）比例函数y3的图像上． x（1）求一次函数的解析式；

（2）若点M是y轴上一点，且满足△ABM是直角三角形，请直接写出点M的坐标．

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23．解：（1）∵点B3a，a在反比例函数y ∴-a3的图像上， x3，a1， 3a∵a0，∴a1， ∴B(3，-1)

-1)在一次函数ykxb的图像上 ∵A(1，0)和B(3，kb0∴ 3kb11k2解得 

b1211∴一次函数的解析式为yx

22 （2）M10，-7M20，-2.

24. 已知：关于x的一元二次方程kx2－(4k+1)x+3k+3=0 (k是整数)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.

24. ⑴证明：Δ= (4k+1)2-4k(3k+3)

=(2k-1)2

1 ∵k是整数，∴k≠，2k-1≠0. ∴Δ= (2k-1)2 >0

2 ∴方程有两个不相等的实数根. ⑵ y是k的函数；

(4k1)(2k1)2 解方程得，x=.

2k1 ∴x=3，或x=1+.

k11 ∵k是整数， ∴1，1+2<3.

kk1 又∵x1< x2, ∴x1=1+, x2=3.

k11∴ y=3-(1+)=2-.

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25．已知一次函数yx2与反比例函数yk交于P、Q两点， x其中一次函数yx2的图象经过点(k，5)． (1)求反比例函数的解析式；

(2)设点Q在第三象限内，求点Q的坐标；

(3)设直线yx2与x轴交于点B，O为坐标原点， 直接写出△BOQ的面积= .

25． 解：（1）因一次函数yx2的图象经过点(k，5)， 所以得5k2，解得k3

3

x

yx2 （2）依题意, 列方程组3

yxx1x3 解得 或

y3y1 所以反比例函数的表达式为y

故第三象限的交点Q的坐标为（－3，－1）

（3）△BOQ面积为1

26．如图，直线l1:y2x与直线l2:ykx3在同一平面直角 坐标系内交于点P，且直线l2与x轴交于点A. 求直线l2的解析式 及△OAP的 面积.

26．解：把x1代入y2x，得y2.

∴点P（1，2）.

∵点P在直线ykx3上， ∴2k3. 解得 k1 ∴yx3.

当y0时，由0x3得x3. ∴点A（3，0）.

1∴SOAP323.

2

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Oyl2Pl11Ax