高数12

高数12

高 等 数 学 教 案

章节题目 第十二章微分方程 §12-1微分方程基本概念 §12-2可分离变量的微分方程 课 型 理论课 教学目的 1． 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 2． 掌握变量可分离的方程的解法。 基本概念的理解 同上 备 注 教 具 重 点 掌握变量可分离的方程的解法 难 点 参考书目 教学后记 教学 过 程 （一）、复习上节内容 (二)、讲授 §12-1微分方程基本概念 一、引例 二 、微分方程的基本概念 三、举例 §12-2可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、举例 （三）、本次课内容小结 （四）、 布置作业 190

第十二章 微分方程

§12-1微分方程的基本概念

一、 引例

首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。

解： 设曲线方程为yy(x).由导数的几何意义可知函数yy(x)满足

dy2xdx （1）

x1同时还满足以下条件 （2）

把（1）式两端积分，得

y2xdx时，

y2

即

yx2C

（3）

其中C是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

C1，

由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程：

yx21 （4）

例2．列车在平直线路上以20m/s的速度行驶；

191

当制动时列车获得加速度0.4m/s.问开始制动后

2多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解： 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)满足：

d2s0.4 2dt（5）

此外，还满足条件：

t0时，s0,vds20 （6） dt （7）

(5)式两端积分一次得：

vds0.4tC1dt再积分一次得

s0.2t2C1tC2

（8）

其中C,C都是任意常数。

12 把条件“t0时v20”和“t0时s0”分别代入（7）式和（8）式，得

C120, C2012

把C,C的值代入（7）及（8）式得

v0.4t20, （9） （10）

192

s0.2t220t

在（9）式中令v0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

t2050(s)0.4。

再把t5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

s0.25022050500(m).

上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

二 微分方程的基本概念

定义 1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。 未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未

知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。

定义 1微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程

y44y10y12y5ysin2x

是四阶微分方程。

一般地，n阶微分方程的形式是

F(x,y,y,,y(n))0,

（11）

193

其中F是个n2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y是必须出现的，而

(n)x,y,y,,y(n1)等变量则可以不出现。例如n阶微分方

y(n)10程

中，除y外，其他变量都没有出现。

(n) 由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。

定义 3 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，

F[x,(x),'(x),,n(x)]0,

那么函数y(x)就叫做微分方程（11）在区间I上的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

如果微分方程（11）的解y(x,c,cLc)中含有n12n个任意常数，则称该解为微分方程（11）的通解；如果方程（11）的通解为y(x,c,cLc)，其中常数

12n 194

c1,c2Lcn由条件

yxxy0,yxxy(x0),LLy(n1)00xx0y(n1)(x0)——初始条

件 确定

例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

求微分方程yf(x,y)满足初始条件y|题，记作

yf(x,y),y|xx0y0.xx000c10,c2Lcn，则称y(x,c,cLc)为微分方程（11）

01020n的特解。

y0的

特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问

（12）

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点(x,y)的那条积分曲线。二阶微

00分方程的初值问题

yf(x,y,y),y|xx0y0,y|xx0y0

00特解的几何意义是求微分方程的通过点(x,y)且

195

在该点处的切线斜率为y的那条积分曲线。

0例3 验证：函数

xC1cosktC2sinkt （13）

是微分方程

d2xk2x02dt （14）

的解。

解 求出所给函数（13）的导数

dxkCsinktkCcoskt, dt12d2x222kCcosktkCsinktk(C1cosktC2sinkt)122dt

把

d2xdt2 及 x 的表达式代入方程（14）得

k2(C1cosktC2sinkt)+k2(C1cosktC2sinkt)0

函数（13）及其导数代入方程（14）后成为一个恒等式，因此函数（13）是微分方程（14）的解。 例4 已知函数（13）当

k0 时是微分方程（14）

的通解，求满足初始条件

x|t0A, dx0dtt0的特解。

解 将条件“t0 时，xA”代入（14）式得

0”将条件“t0 时，dx代入（1）式，得 dtC1AC20。 。

196

把C,C的值代入（13）式，就得所求的特解为

12xAcoskt。

§12-2 可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程

本节开始,我们讨论一阶微分方程

yf(x,y) (1)

的一些解法.

如果一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx （2）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程（2）中的函数g(y)和f(x)是连续的，设y(x)是方程的解，将它代入（2）中得到恒等式

g[(x)](x)dxf(x)dx.

将上式两端积分，并由y(x)引进变量y，得

g(y)dyf(x)dx 设G(y)及F(x)依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有

G(y)F(x)C （3）

因此，方程（3）满足关系式（6）。反之，如果y(x)是由关系到式（3）所确定的隐函数 ，那么在

197

g(y)0的条件下，y(x)也是方程（2）的解。事实

F(x)f(x),G(y)g(y)上，由隐函数的求导法可知，当g(y)0时，

'(x)

这就表示函数y(x)满足方程（2）。所以如果已分离变量的方程（2）中g(y)和f(x)是连续的，且

g(y)0，那么（2）式两端积分后得到的关系式（3），

就用隐式给出了方程（2）的解，（3）式就叫做微分方程（2）的隐式解。又由于关系式（3）中含有任意常数，因此（3）式所确定的隐函数是方程（2）的通解，所以（3）式叫做微分方程（2）的隐式通解。

例1 求微分方程

dy2xydx （4）

的通解。

解 方程（4）是可分离变量的，分离变量后得

dy2xdxy

2xdx, 两端积分 dyy得 从而

198

lnyx2C1,2

yexC1eC1ex2。

又因为e仍是任意常数，把它记作C便得到方

C1程（7）的通解

yCex2。

的通解。[y1x2C]例2 求微分方程xydx(x例3 求微分方程[sinxxln(1x)C] 特解。[yextan221)dy0。

xsecydx(x1)dy0的通解。

e例4 求微分方程ysinxylny满足初始条件y,C1]x2的

例5 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t0时铀的含量为M，求在衰变过程中含量M(t)0随时间变化的规律。

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM。由dt于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下

dMM,dt （5）

其中(0)是常数，叫做衰变系数。前的负号是

0的缘故。 指由于当t增加时M单调减少，即dMdt 199

由题易知，初始条件为

MM

t00 方程（5）是可以分离变量的，分离后得 dMdt. M两

dMMdt.端

积分

以lnC表示任意常数，因为M0，得

lnMtlnC, 即 得

M0CeoCMCet.

是方程（5）的通解。以初始条件代入上式，解

MM0et.故得 衰落减。

由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律

小结：1.本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题

2.本节讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程及其解法。

作业：

269页 1---（1）（4）（8）（10）； 2---（1）

（4）（5）；选作：5

200

高 等 数 学 教 案

章节题目 第十二章微分方程 §12-3齐次方程 §12-4一阶线性微分方程 课 型 理论课 教学目的 1．会解齐次方程，贝努利方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的思想 2．掌握一阶线性微分方程的解法。

重 点 掌握一阶线性微分方程的解法 难 点 掌握一阶非齐次线性方程的解法 参考书目 教学后记 教学 过 程 备 注 同上 教 具 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 §12-3齐次方程 一 、齐次方程的形式 1． 齐次方程 2 .例题 §12-4一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 1、定义 2．解法 二、贝努利方程 1、定义 2．解法 （三）、本次课内容小结 （四）、布置作业

201

§12-3 齐次方程

二 齐次方程的形式

如果一阶微分方程

yf(x,y)

yy中的函数f(x,y)可写成x的函数，即f(x,y)(x)，则

称这方程为齐次方程。例如(xy)dx(yx)dy0 是齐次方程，因为其可化为

ydyxyx.ydxxy1x1

1． 齐次方程

yf(x,y)()x （1）

的解法。 作代换

uyx，则yux，于是

dyduxu.dxdx

xduu(u)dx从而

du(u)udxx，

，

dudx(u)ux分离变量得

dx 两端积分得 (udu)ux 202

y求出积分后，再用x代替u，便得所给齐次方程的

通解。如上例

xdu1uudx1u

(1u)dudxx1u2分离变量，得

y积分后，将u=x代回即得所求通解。

例1 解方程

xyy(1lnylnx)。

解 原式可化为

dyyy(1ln)dxxxy令u=x，则

dyduxudxdx，

，

dudxulnux于是

xduuu(1lnu)dx分离变量 两

端

lnlnulnxlnC

积

lnuCx

得

分

ueCx即 故方程通解为 例2 求微分方程(xy)dx(yx)dy0的通解

203

。

yxeCx。

arctanuln[1uCx]22，

Cxye22yarctanx。

的通解。

例3 求微分方程[sinuCx,yxarcsin(Cx)]

22(2xtanyy)dxxdyxdxxxcos满足初始条件y例 4 求微分方程dyyy2x01的

特解。

[tanulnylnC

一、一 阶线性微分方程

yx01C1yetanxy]

§12-4 一阶线性微分方程

1．定义 方程 （1）

称为一阶线性微分方程。

dyP(x)yQ(x)dx

特点： 关于未知函数y及其导数y'是一次的。 若Q(x)0，称（1）为齐次的；若Q(x)0，称（1）为非齐次的。

如：（1）y2xy2xe （2）

x22yy(x1)2x15

2．解法

当Q(x)0时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当Q(x)0时，为求其解首先把Q(x)换为0，即

dyP(x)y0dx

（2）

204

称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解

P(x)dxyCe

为求（1）的解，利用常数变易法，用u(x)代替C，即yu(x)e于是，

P(x)dxP(x)dxdyu'eue[P(x)]dxP(x)dx

代入（1），得

uQ(x)eP(x)dxdxC

。

故 （3）

例1 求微分方程

P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC)2yy(x1)2x15 的通解.

52解 直接应用（3）式

P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC)得到方程的通解，其中，

2P(x)x1，

Q(x)(x1)

代入积分同样可得方程通解

2y(x1)[(x1)2C]323，

的通解。

例2 求微分方程

1(5ec)] [ysinxcosxyycotx5ecosx1例3 求微分方程dy的通解 dxxsiny 205

dxxsiny,它是关于未知函数x及其导解：方程变形dy数x'一阶线性微分方程。

通解xe[1e2yy(cosysiny)c]2

x0例4 求微分方程(1x)y2xy1满足初始条件y的特解。[y11x的特解

21(x1)]

例5 求微分方程ylnydx(xlny)dy0满足初始条件

yx1edx11x它是关于未知函数x及其解：方程变形dyylnyy导数x'一阶线性微分方程。

1(lny) 通解x12lny二．贝努利方程

1．定义

dyP(x)yQ(x)yndx

(n0,1)称为贝努力方程。

当n0,1时，为一阶线性微分方程。 2．解法 两边同除y

nyn1ndyP(x)y1nQ(x)dx

令zy，则有

dzdy(1n)yndxdx1dzP(x)zQ(x)1ndx

而

206

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)dx

为一阶线性微分方程，故

ze(1n)P(x)dx((1n)Q(x)e(1n)P(x)dxdxC)。

贝努利方程的解题步骤： （1） 两端同(1n)yn；

（2） 代换zy1n；

（3） 解关于z的线性微分方程； （4） 还原。 例6 求微分方程dy+ydxx=a(ln x)y2的通解。 解 以y2除方程的两端，得

y-2dydx+1xy-1=aln x,

即

-d(y-1)dx+1xy-1=aln x。

令z=y-1，则上述方程成为

dz1dx-xz=-aln x。

这是一个线性方程，它的通解为

z=x轾犏C-a(ln x)2犏臌2。

以y-1代z，得所求方程得通解为

yx轾犏C-a(ln x)2犏=臌21。

例7 求微分方程dyxyx3y3dx0的通解。

207

解：设zy2dz2xz2x3dx ，通解为y22(x21)Cex2

例8 求微分方程xyyy解：设z=一、

y-1lnx0的通解。

1

dz1lnxzdxxx，通解为ylnx1Cx

利用变量代换解微分方程

xyyy(lnxlny)例9求微分方程 解 令

xyu 的通解。

，则

dudyyxdxdx，于是

duuylnulnudxx解得

ueCx， 即

xyeCx

例4 解方程

dy1dxxy

代入原方程，得 。

解 令x+y=u,则y=u-x,dydu=-1,dxdxdu1duu+1-1=,=dxudxu分离变量得

udu=dx,u+1

u-ln|u+1|=x+C两端积分得 以u=x+y代入上式，即得

y-ln |x+y+1|=C,。

或 1+x+y=Ce,(C=?e)

y-C1

208

小结：1.本节讲述了齐次方程，及其解法

2.本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努利方程的解法，利用常数变易法，

利用变量代换法来解微分方程。

作业：276页 1---（1） （3）；2---（2）

281页 1---（1） （4） （8） （10）；2---（2）（4）；7---（1）（2）

（3）；

209

高 等 数 学 教 案

章节题目 第十二章微分方程 §12-6可降阶的高阶微分方程 课 型 理论课 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：教学目的 y(n)f(x),yf(x,y),yf(y,y) 重 点 掌握y(n)f(x),yf(x,y),类型微分方程的解法 难 点 参考书目 掌握yf(y,y)类型方程的解法 同上 教 具 教学后记 教 学 过 程 备 注 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 §12- 6可降阶的高阶微分方程 一、y(n)f(x) 型微分方程及举例 二、yf(y,y)类型方程的解法及举例 三、yf(y,y)类型方程的解法及举例 （三）、本次课内容小结 （四）、布置作业 210

§12- 6 可降阶的高阶微分方程

一、y(n)f(x)型微分方程

令 y(n1)zdz，则原方程可化为 dxf(x)，

于是 zy同理 y(n2)(n1)f(x)dxC1

[f(x)dxC1]dxCn次积分后可求其通解。

其特点：只含有y和x，不含y及y的1~(n1)阶导

(n)数。

例1 求微分方程y''2x'''=e2x-cosx的通解。

解 对所给方程接连积分三次，得 1y=e-sinx+C, 2y'=12xe+cosx+Cx+C2,4

。

骣12xC÷2y=e+sinx+C1x+C2x+C3çC=÷çç桫12÷8这就是所求的通解。

例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox作直线运动。设力F仅是时间t的函数：F=F(t)。在开始时刻t=0时F(0)=F，随着时间t的增大，此力F均匀地

0减小，直到t=T时，F(T)=0。如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律。 解 设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为

211

d2xm2=F(t)dt

（1）

由题设，力F(t)随t增大而均匀地减小，且t=0时，

F(0)=F0，所以F(t)=F-kt；又当t=T时，F(T)=0，从而

0F(t)=F骣t0ççç桫1-÷T÷÷。

于是方程（1）可以写成

d2xdt2=F0骣mççt桫ç1-÷T÷÷(2)

其初始条件为

x|t=0=0,dxdt=0。

t=0 把（2）式两端积分，得

dxF0ò骣ççtç桫1-÷dt=mT÷÷dt，即 （3） 将条件dxdt=0代入（3）式，得

t=0C1=0，

于是（3）式成为

dxF20骣dt=çmçç桫t-t÷2T÷÷÷ 212

。

dxdt=Fç20骣mçç桫t-t÷2T÷÷÷+C1。

。

（4）

把（4）式两端积分，得

F0骣t2t3÷ç÷x=+C2,ç-÷÷mç26T桫

将条件x|t=0=0代入上式，得

C2=0。

。

于是所求质点得运动规律为

F0骣t2t3÷ç÷x=,0＃tç-÷÷çm桫26TT例3 求微分方程y11x的通解。

2

二、yf(x,y)型微分方程

令 yp, 则 yp，于是可将其化成一阶微分方程pf(x,p)，

p(x,c1)， 于是y(x,c)dxc

122'' 特点： 含有y'',y',x，不含y。 例4 求微分方程(1+x)yy|=1, y=3的特解。

'x=0x=0=2xy'满足初始条件

'解 所给方程是y''=f(x,y')型的。设y=p，代入方程

。

并分离变量后，有

dp2x=dx2p1+x 213

两端积分，得

ln|p|=ln (1+x2)+C，

即

p=y'=C1(1+x2) (C1=?eC)又由条件y'x=0。 =3，得

C2=1， 。

于是所求得特解为

y=x3+3x+1例5 求微分方程xyylny的通解。 xppp解： 设y=p dpln，令u dxxxx'uxduulnudx1dudx 则u(ln1u1)xln(lnu1)lnxlnc1， uec1x1,pec1x1x

yxec1x1dxxc1x11c1x1e2ec2c1c1

3例6 求微分方程(x2)yy2(x2)满足初始条件

yx31,yx3113y(x2)444的特解 。

三、yf(y,y)型微分方程

dpdydpp， 令 yp, 则 ydpdxdydxdy于是可将其化为一阶微分方程。

214

特点： 不显含x

例 7 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向底面。求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）。

解 取连结地球中心与该物体的直线为y轴， 其方向铅直向上，取地球的中心为原点O（图12－4）。

设地球的半径为R，物体的质量为m，物体开始下落时

与地球中心的距离为l(l>R)，在时刻t物体所在位置为

y=y(t),于是速度为v(t)=dy。根据万有引力定律，即dtd2ykmMm2=-dty2得微分方程

，

（5）

即

d2ygR2=-2dty2， ，

其中M为地球得质量，因为k为引力常数。

d2ydv=2dtdt且当y=R时，dv=-g（这里置负号是由于物体运动dt

215

加速度得方向与y轴得正向相反得缘故），所以

gR2k=M。于是方程（5）成为（5）成为

。 （6）

t=0d2ygR2=-dt2y2初始条件是 y|=l, y't=0=v|t=0=0。

先求物体到达地面时的速度。由dy=v，得 dtd2ydvdvdy==?dt2dtdydtvdv,dy

代入方程（6）并分离变量，得

gR2vdv=-dyy2。

2gR2v=+C1y2两端积分，得 把初始条件代入上式，得

2gR2C1=-t。

，

于是

骣1v=2gRç-ççy桫221÷?÷l÷。

（7）

在（7）式中令y=R，就得到物体到达地面时的速度v为

-2gR(l-R)l，

216

这里取负号是由于物体运动的方向与y轴的正向相反的缘故。

下面来求物体落到地面所需的时间。由（7）式有

下面来求物体落到地面所需的时间。由（7）式有

骣dy11÷=v=-R2gç-?,ç÷ç÷dtyl桫

1lydyR2gl-y2分离变量得 dt=-。

两端积分（对右端积分利用置换y=lcosu），得

1l骣y÷2ç÷t=ly-y+larccos+C2ç÷ç÷R2gçl桫。

（8） 由条件y|t=0=l,得

C2=0。

。

于是（8）式成为

1l骣y÷2ç÷t=ly-y+larccosç÷ççR2g桫l÷在上式中令y=R，便得到物体到达地面所需得时间为

1l骣R÷2ç÷lR-R+larccosç÷ççR2g桫l÷。

c1x例8 求微分方程yyy例9 求微分方程

20的通解。[yec2]

2ysin2y0满足初始条件

217

yx0[tan2,yx01的特解 。

yex]2

2例10求微分方程y(y)0满足初始条件

yx00,yx01的特解 。

解 ypyp yln(x1)

小结：本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法

作业：292页 1---（1）（4）（5）（6）；2---（4）（6）；3；

218

高 等 数 学 教 案

章节题目 第十二章 微分方程 §12-7高阶线性微分方程 §12-8常系数齐次线性微分方程 课 型 理论课

教学目的 1．理解二阶线性微分方程解的结构 2．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 3．了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法 重 点 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 难 点 掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 参考书目 同上 教 具 教学后记 教学 过 程 备 注

（一）、复习上节内容 （二）、讲授 §12- -7高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程： 1、定义 2、解的性质 §12-8常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程 1. 定义 2. 通解 3. n阶常系数齐次线性微分方程 （三）、本次课内容小结 （四）、布置作业 219

§12- -7 高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程：

1、定义：方程

d2ydyP(x)Q(x)yf(x)2dxdx

(1)

称为二阶线性微分方程。

当f(x)0时称为齐次的，当f(x)0时称为非齐次的。

为求解方程（1）需讨论其解的性质 2、解的性质

d2ydyP(x)Q(x)y02dxdx

（2）

性质1 若y(x),y(x)是（2）的解，则yCy(x)Cy(x)121122也是（2）的解，

其中C，C为任意常数。

12 称性质1为解的叠加原理。 但此解未必是通解，若

y1(x)(C23C1)y2(x)C1y1(x)C2y2(x)y1(x)3y2(x)，则

，那么

1何时成为通解？只有当y与y线性无关

2时。

线性相关 设y,y12,L,yn是定义在区间I内的函

12,数，若存在不全为零的数k,k

220

L,kn 使得

k1y1k2y2Lknyn0

恒成立，则称y,y12,L,yn线性相关。

线性无关 不是线性相关。 如： 1,cos

2x,sin2x2线性相关，

1,x,x线性无关。

对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，线性无关。

性质2 若y(x),y(x)是（2）的两个线性无关的

12特解，那么

yC1y1(x)C2y2(x)12

（C，C为任意常数）是方程（2）的

通解。

此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。

例如，方程yy0是二阶齐次线性方程（这里

px0,Q(x)1），容易验证，y21cosx与y2sinx是所给方

程的两个解，且yy1sinxtanx常数cosx，即它们是线性

无关的。因此方程yy0的通解为

yCcosxCsinx

12

221

又如，方程x1yxyy0也是二阶齐次线性方程

1y(这里Pxxx)，容易验证,Qx1x11x，y2ex是所给方程的两个解，且

y2ex常数y1x，即它们是线

性无关的。因此方程的通解为 yCxCe

x12 下面讨论二阶非齐次线性方程（5）。我们把方程（6）叫做与非齐次方程（5）对应的齐次方程。 在第四节中我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。

下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。

性质3 设y*是（1）的特解，Y是（2）的通解，则yYy*是（1）的通解。

证 把（8）式代入方程（5）的左端，得

YyPxYyQxYy

*** 222

YPxYQxYy*Pxy*Qxy*

由于Y是方程（6）得解，y是（5）的解，可知

*第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于

fx，这样，yYy使（5）的两端恒等，即（8）

*式是方程（5）的解。

由于对应的齐次方程（6）的通解YCy*11C2y2中

含有两个任意常数，所以yYy中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（5）的通解。 如：yyx，

2yC1cosxC2sinx12为yy0的通解，

12又y是

x22是特解，则yCcosxCsinx的通解。

12性质4 设（5）式中f(x)f(x)f(x)，若y,y分别

d2ydyP(x)Q(x)yf1(x)dx2dx，

d2ydyP(x)Q(x)yf2(x)2dxdx 的特解，则y证 将yy*1*y21y2为原方程的特解。

*1***y2Qxy1y2代入方程（9）的左端，得

y*1*y2Pxy

＝

y

*1*****Pxy1Qxy1y2Pxy2Qxy2

223

＝fxf12x

因此y*1*y2是方程（9）的一个特解。

这一定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理。

§12-8 二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶常系数齐次线性微分方程

1.定义:

若

d2ydyP(x)Q(x)y02dxdx

（1）

中P(x),Q(x)为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。

记：

2. 通解:

将ye代入（2）中有(rrx2y''py'qy0

（2）

prq)erx0，称r2prq0为

（2）的特征方程。

r2prq0（3）

设r,r为（3）的解。

12 224

（1）当rr即p1224q0时，yCe1r1xC2er2x为其通解。

2例1 求微分方程y2y3y0的通解。 解 所给微分方程的特征方程为rr11,r23x3x2r30其根

是两个不相等的实根，因此所求通解为

yCeCe

122x1例2 求微分方程y5y6y0的通解。[yce（2）当rr12c2e3x]1 。

r即p24q0时，（3）只有一个解yer1x设y是齐次微分方程（2）的解，于是

[uu(2rp)u(rprq)]e0

2u(x)y11211r1x因为r是特征方程的二重根，2rp0，r1121pr1q0，

而

erx10， 则

u0

故取ux，因此齐次微分方程（2）的另一个解

yxer1x，则齐次微分方程（2）的通解

y(ccx)e

12r1x例3 求微分方程4y4yy0的通解。[y(ccx)e]

12x2例4 求微分方程

s|t02d2sds2s02dtdt满足初始条件s|t04，

的特解。

r22r10解 所给方程的特征方程为

其根rr121是两个相等的实根，因此所求微分方

sC1C2tet程的通解为

225

将条件s|t04代入通解，得C4，从而

s4Cte

1t2将上式对t求导，得

sC24C2tet

2再把条件s|为

t02代入上式，得Cs42tet2。于是所求特解

(i)x（3）当ri即p24q0时，有ye。

是解。

利用欧拉公式可得实解，故通解为

yex(C1cosxC2sinx)例5 求微分方程y2y5y0的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

r2r50

2其根r为一对共轭复根，因此所求通解为

yeCcos2xCsin2x

1,212i1x2例6 求微分方程[ye(ccosxcsinx)]

x12y2y2y0的通解。

求二阶常系数齐次线性微分方程

的通解的步骤如下：

226

y''py'qy0

（2）

(1.) .写出微分方程（2）的特征方程

r2prq0

（3）

(2). 求出特征方程（3）的两个根r、r。

12根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 特征方程r个跟r,r 122prq0的两微分方程ypy+qy=0的通解 12两个不相等的实根r,r 两个相等的实根r,r 12yC1er1xC2er2x yC1C2xer1x一对共轭复根r1,2i yeaxC1cosx+C2sinxr22r50

例7在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力f的作用，且在初瞬t0时的位置为xx，初始速度为

0dx|t0v0dt。求反映物体运动规律的函数xx(t)。

解 由于不计阻力R，即假设dx0，所以第dt八节中的方程（1）成为

（4）

方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。

227

d2x2kx02dt

反映物体运动规律的函数xx(t)是满足微分方程（4）及初始条件x|t0x0,dx|t0v0dt的特解。

方程（4）的特征方程为rxC1cosktC2sinkt2k20，其根rik是一

对共轭复根，所以方程（4）的通解为

。

1x0,C2应用初始条件，定出C特解为

v0k。因此，所求的

xx0cosktv0sinktk。

（5）

为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令

vxAsin, Acos,(02) k00于是（5）式成为

xAsin(kt)，

（6）

其中

2v0kxAx2,tan0kv020。

函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定

x00,v00）。

函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A，初相为，周期为T2k，角频率为

228

k，由于kcm（见第八节例1），它与初始条件无

关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，k又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数 。

3. n阶常系数齐次线性微分方程

上面结果可扩展到n阶常系数微分方程。 例8 求微分方程y通解为

(4)2y5y0的通解。

yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)。

小结：1.本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。

2.本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当

特征根形式不同时，通解具有不同形式。

作业：310页1---（1）（3）（5）（6） （9）；2---（2）（4）；

229

高 等 数 学 教 案

第十二章章节题目 微分方程 §12-9常系数非齐次线性微分方程 课 型 理论课 教学目的 掌握自由项形如Pn(x)ex,ex(AcosxBsinx)的二 常系数非齐次线性微分方程的特解求法 掌握自由项形如pn(x)eax的二阶常系数非齐次线性微分方程重 点 的解法 难 点 掌握自由项形如eax(AcosxBsinx)二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 参考书目 同上 教 具 教学后记 备 注

教学 过 程 230

（一）、复习上节内容 （二）、讲授 §12- -9常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程： 一、ypyqypn(x)ex 二、 ypyqyex(AcosxBcosx) （三）、本次课内容小结 （四）、作业 §12-9常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程：

ypyqyf(x) （1） ypyqy0 （2）

方程（1）的通解 一、f(x)P(x)e

xmyYy， 关键求y



Pm(x)ex的导数仍是同类型，推测y代入方程（1）得

Q(x)ex，将

(y),(y),yex[Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]Pm(x)ex

整理 （3）

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)（1） r且r， 设y12Q(x)exQm(x)ex(b0xmLbm1xbm)ex231

将Q(x),Q(x),Q(x)代入（3）可求出b,Lbmm1,bm。

1x]311x]48例1 求微分方程y2y3y3x1的通解。[y例2求微分方程y2y5yxe的通解。[y2x。

。 设

（2 ）

r1或

r2，

yQ(x)exxQm(x)exx(b0xmLbm1xbm)ex2x例3求微分方程y5y6yxe的通解。[y例4求微分方程

113[y(xx)e] 392x21(x2x)e2x]22yyy(2x3)e2x的通解。

（3 ）rr 设y12Q(x)exx2Qm(x)exx2(b0xmLbm1xbm)exx例5求微分方程y2yy4xe的通解。[y例6求微分方程

1[yx(x1)e] 42223xxe]3

y6y9y(3x22)e3x的通解。

x结论：微分方程ypyqyP(x)e有特解yxmxkQm(x)ex

（1）当不是特征方程的单根，取k0； （2）当是特征方程的单根，取k1； （1）当是特征方程的重根，取k2。 二、

f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

(1)(2)yxkex[Rm(x)cosxRmsinx]mmax{n,l}（1）i不是特征方程的根，取k0；

232

（2）i是特征方程的根，取k1； 例7求微分方程

14[yxcos2xsin2x] 39yyxcos2x的通解。

例8写出微分方程y2y2yecox的特解形式。x[yxex(acosxbsinx)]

作业：317页 1---（1）（3）（5）（6）；2---（1）（5）；

233