因式分解总复习

一、知识结构 因式分解 二、注意事项： 1.因式分解与整式乘法

（1）因式分解与整式乘法互为逆运算。如 （x+1）（x+3）=x2+4x+3 又如：x2+4x+3=（x+1）（x+3） （2）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决定的。如把(x-1)(x-2)-6分解因式，必须先做乘法，得

(x-1)(x-2)-6=(x2-3x+2)-6=x2-3x-4=(x-4)(x+1)

又如，计算(x+y)2-(x-y)2, 一般不是按照运算顺序先做整式乘法，而是先因式分解，得

(x+y)2-(x-y)2

=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)] =2x·2y =4xy

2.关于因式分解的要求：

（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如x4-1=(x2+1)(x2-1)，就不符合因式分解的要求，因为(x2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。

（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。 3.因式分解的一般步骤：

可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。 （2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x2+(p+q)x+pq型分解。

（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。 （4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。 只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。

因式分解综合测试

一、填空题

(1)x2+2x-15=(x-3)(_____) (2)6xy-x2-5y2=-(x-y)(_____). (3)________=(x+2)(x-3). (4)分解因式x2+6x-7=__________.

(5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_____, c=_____. (6)若x2+7x=18成立，则x值为_____。 (7)若x2-3xy-4y2=0，且x+y≠0，则x=_____. (8)(x-y)2+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____).

(9)多项式 x2+3x+2, x2-2x-8, x2+x-2的公因式为_____。

(10)已知a, b为整数，且m2-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_____,b=_____. 二、选择题

(1)若x2+2x+y2-6y+10=0，则下列结果正确的是（ ）。

A、x=1, y=3 B、x=-1,y=-3 C、x=-1,y=3 D、x=1,y=-3 (2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（ ）。 A、15 B、-15 C、14 D、-14 (3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于（ ）。 A、2 B、4 C、6 D、8

(4)若x+y=4, x2+y2=6，则xy的值是（ ）。 A、10 B、5 C、8 D、4

(5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是（ ）。 A、(x2+2x+1)2 B、(x2-2x+1)2 C、(x+1)4 D、(x-1)4 (6)-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（ ）。 A、4x2-y2 B、4x2+y2 C、-4x2-y2 D、-4x2+y2 (7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（ ）。 A、-5 B、7 C、-1 D、7或-1

(8)已知x3-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（ ）。 A、(x+4)(x-2)2 B、(x+4)(x2+x+1) C、(x+4)(x+2)2 D、(x+4)(x2-x+1) 三、因式分解

(1) x(x+y+z)+yz= (2) x2m+2xm+ 1=

(3) a2b2-a2-b2-4ab+1 = (4) a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4 = (5) x4-6x2+5 = (6) x4-7x2+1=

(7) 3a8-48b8 = (8) x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz = 四、解答题

1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求a,b的值。

2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。 3.已知n为正整数，试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。 4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x2+3y2; (2) (x-y)2.

5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a2-b2-c2-2bc<0.

五、利用因式分解计算：

(1)已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a2+2ab-b2+2=0，求长方形面积。

(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。

(3)如图2，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三位有效数字）。