一题多解———直线与圆相交时的有关垂直问题
(山东省新泰市第一中学 ２７１２００)
摘 要:本文就直线与圆相交时的垂直问题ꎬ探讨出多种求解方法ꎬ对优化解题ꎬ提升思维水平有价值.关键词:直线与圆ꎻ垂直问题ꎻ方法
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３１－００５１－０２
直线与圆相交时的有关垂直问题ꎬ涉及问题形式较节省解题时间ꎬ从而提高解题速度.现举例加以说明.
例１ 已知方程ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＝０.(１)若此方程表示圆ꎬ求ｍ的取值范围ꎻ
＝１６－８(ｙ１＋ｙ２)＋５ｙ１ｙ２＝１６－８×
得ｍ＝
１６ｍ＋８
＋５×＝０ꎬ５５
朱树家 徐加华
多ꎬ方法比较灵活ꎬ方法的选择尤为重要ꎬ方法选择得当ꎬ则会
说明:本法借助于数量积的运算ꎬ把垂直关系转化为数量积的坐标运算ꎬ进一步把坐标的关系转化为方程的根的关系ꎬ从而借助于韦达定理来构造含有ｍ的方程ꎬ来求得ｍ的取值.
方法三(几何法) 由ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＝０得其圆
２０－４ｍ
＝５－ｍ.设过圆心且与直线ｘ＋２ｙ４
８８ꎬ满足ｍ<２４.所以ｍ的取值是.５５
两点ꎬ且ＯＭ⊥ＯＮ(Ｏ为坐标原点)ꎬ求ｍ的值.
(２)方法一(圆系方程)λ(ｘ＋２ｙ－４)＝０ꎬ
２
(２)若(１)中的圆与直线ｘ＋２ｙ－４＝０相交于ＭꎬＮ解 (１)由题意得４＋１６－４ｍ>０.解得ｍ<５.设过ＭꎬＮ两点的圆的方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＋即ｘ２＋ｙ２＋(λ－２)ｘ＋(２λ－４)ｙ＋ｍ－４λ＝０ꎬ故(λ－２)＋(２λ－４)－４(ｍ－４λ)>０. ①
２
心为(１ꎬ２)ꎬｒ２＝
－４＝０垂直的直线为２ｘ－ｙ＋ｋ＝０ꎬ把(１ꎬ２)代入得ｋ＝
由条件知该圆过原点且以线段ＭＮ为直径ꎬ其圆心为(
２－λ４－４λ
ꎬ)ꎬ故２２
８
ꎬ５
２－λ４－２λ
＋２－４＝０.２２
８
.５
ｍ－４λ＝０ꎬ
解得
ìïｍ＝ïíïïλ＝î
说明:本法借助于圆系方程ꎬ由ＯＭ⊥ＯＮ知Ｏ在以ＭＮ为直径的圆上ꎬ利用过ＭꎬＮ两点的圆系方程ꎬ其圆心在已知直线上且过原点来构造含有ｍ的方程组进行求解.(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由ＯＭ⊥ＯＮ得ｘ１ｙ１＋ｘ２ｙ２＝０.
由
方法二:(代数法) 设Ｍ、Ｎ两点的坐标为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ
２ꎬ５
满足①式.所以ｍ的值为
{
０ꎬ即所求直线方程为２ｘ－ｙ＝０.由
{
２ｘ－ｙ＝０ꎬ
ìïｘ＝ïíïïｙ＝î
４ꎬ５８.５
２＋２ｙ－４＝０ꎬ
得
即ＭＮ中点的坐标为(
４８ꎬ).５５
１ＭＮꎬ＝
２５圆心到直线ｘ＋２ｙ－４＝０的距离ｄ＝ｒ２－ｄ２＝
２４－５ｍ
.由于△ＯＭＮ是直角三角形ꎬ故其斜５
２４－５ｍ１６＋６４
＝＝５２５
边上的中线是其斜边的一般ꎬ从而有１６８
ꎬ即５ｍ＝８ꎬｍ＝.５５
{
ｘ＋２ｙ－４＝０ꎬ
→→
所以ｍ<２４.由ｘ１ｙ１＋ｘ２ｙ２＝(４－２ｙ１)(４－２ｙ２)＋ｙ１ｙ２
收稿日期:２０１９－０８－０５
作者简介:朱树家(１９７８.３－)ꎬ男ꎬ一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＝０
得
{Δ＝２５６－２０ｍ－１６０>０ꎬ
５ｙ２－１６ｙ＋ｍ＋８＝０ꎬ
说明:本法借助于圆的弦长公式ꎬ以及直角三角形斜变式:若此圆圆心为Ｃꎬ且ＣＭ⊥ＣＮꎬ求ｍ的值.解析 方法一(圆系方程)
边上的中线等于斜边的一半来求解.
徐加华(１９７４.１１－)ꎬ男ꎬ山东省新泰市人ꎬ本科ꎬ山东省特级教师ꎬ正高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
—５１—
λ(ｘ＋２ｙ－４)＝０ꎬ
设过Ｍ、Ｎ两点的圆的方程为:ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＋即ｘ２＋ｙ２＋(λ－２)ｘ＋(２λ－４)ｙ＋ｍ－４λ＝０ꎬ故(λ－２)２＋(２λ－４)２－４(ｍ－４λ)>０ꎮ ②
化简得(ｘ－２)２＋ｙ２＝３.
线ＣＤ与圆Ｅ相交ꎬ且ＰＣ⊥ＰＤ.
以下用两种方法求解
(２)由题意知ｌ１ꎬｌ２均过定点Ｐ(１ꎬ０)ꎬ且ｌ１⊥ｌ２ꎬ故直
由条件ꎬ该圆过已知圆圆心Ｃ(１ꎬ２)ꎬ且以ＭＮ为直径ꎬ故其圆心(
所以２－λ
＋４－２λ－４＝０.{
１＋４＋λ－２＋２(２λ－４)＋ｍ－４λ＝０ꎬ
２－λ４－２λ
ꎬ)在直线ｘ＋２ｙ－４＝０上.２２
方法一(代数法) 设直线ＣＤ方程为ｙ＝－ｘ＋ｂ.由
{
ｙ＝－ｘ＋ｂꎬ(ｘ－２)＋ｙ＝３
２
２
得２ｘ２－(２ｂ＋４)ｘ＋ｂ２＋１＝０.
Δ＝－４ｂ２＋２４>０ꎬｂ２<６.
设Ｃ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＤ(ｘ２ꎬｙ２).由ＰＣ⊥ＰＤ得ＰＣ⊥ＰＤ.而ＰＣ→
→→
２
ìïλ＝２解得ïí
ï５
３
ꎬ满足②式.故ｍ的取值为２３ïî
ｍ＝方法二(几何法５
ꎬ５.
) 过Ｃ作ＣＰ⊥ＭＮ于Ｐꎬ由△ＭＮＣ为等腰直角三角形知ＣＰ＝１２
ＭＮ＝
ＣＰ＝１５ꎬＭＣ＝
２０２－４ｍꎬ从而得１２２ＭＣ.而
５＝２２２０２－４ｍꎬ解得ｍ＝
２３方法三５
.(ＣＮꎬ得ＣＭ－２)ꎬＣＮ⊥＝(ＣＮ→代数法) 设ｘꎬ从而有ＣＭ→Ｍ(ＣＮ→
ｘ１ꎬ＝ｙ０１.)ꎬ由于Ｎ(ｘＣＭ２ꎬｙ＝２)ꎬ(ｘ由ＣＭ１－１ꎬ⊥
→
→所以ＣＭ→ＣＮ→
＝→
(ｘｙ１１)＋(ｙ２－１ꎬｙ２－２)ꎬ１－１)(ｘ２－
ｙ.
１－２)(ｙ２－２)＝ｘ１ｘ２－(ｘ１＋ｘ２)＋ｙ１ｙ２－２(ｙ１＋２)＋５由
{
ｘ＋２ｙ－４＝０ꎬ
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋ｍ＝０ꎬ
得５ｙ２－１６ｙ＋ｍ＋８＝０.由Δ>０ꎬ得ｍ<
２４
ＣＭ→ＣＮ→
＝(４－２ｙ５
.１)(４－２ｙ２)－(４－２ｙ１＋４－２ｙ２)＋
ｙ１ｙ２＋ｍ－＋２(８＝ｙ１０ꎬ
＋ｙ２)＋５＝１３－８(ｙ１＋ｙ２)＋５ｙ１ｙ２＝１３－８×１６５
得ｍ＝
２３
例２ 已知５
.Ｍ(－１ꎬ０)ꎬＮ(１ꎬ０)ꎬ由曲线Ｅ上任意一点到点Ｍ的距离均是到点Ｎ的距离的３倍.
(１)Ａ、Ｃ两点(２)求曲线已知ꎬ直线ｍ≠０ꎬＥ的方程ｌ设直线ꎻ
ｌ１:ｘ－ｍｙ－１＝０交曲线Ｅ于
若ＣＤ的斜率为２－:１ｍｘ时＋ꎬｙ求直线－ｍ＝ＣＤ０交曲线的方程Ｅ.
于Ｂ、Ｄ两点ꎬ解析 (１)设Ｐ(ｘꎬｙ)为曲线Ｅ上任意一点ꎬ由ＰＭ
得(ｘ＋１)２＋ｙ２＝３((ｘ＋１)ＰＮ
＝３ꎬ２—５２—
＋ｙ２)ꎬ
(＝ｘ(ｘ１－１ꎬｙ１)ꎬＰＤ→＝(ｘ２－１ꎬｙ２).所以ＰＣ→
ＰＣ→
＝(ｘ１－１)
２－故直线的方程为＝１)ｂ２＋－ｙ３１ｙｂ２＝＝０ꎬ２ｘ得１ｘ２ｂ－ｙ＝(＝０ｂ－或＋１)(ｘｂ或＝ｙ３ｘ.１＝满足＋ｘ２)－ｘ＋ｂ＋２３ꎬ<ｂ２即６＋.
１
ｘ＋ｙ＝０或ｘ＋ｙ－３＝０.
方法二(圆系方程) 设直线方程为ｘ＋ｙ＋ｂ＝０.过ＣＤ的圆的方程为
ｘ２即－ｘ２４ｘ＋＋ｙ２ｙ２＋＋(１λ＋－λ４)(ｘｘ＋＋λｙｙ＋＋ｂ)λｂ＝＋０ꎬ(λ－４)２＋λ２－４(λｂ＋１)>０.③１＝０ꎬ
其圆心为(４－易知:以ＣＤ为直径的圆过２λꎬ－λ
２
).Ｐ(１ꎬ０)ꎬ且圆心在直线ｘ
＋ｙ＋ｂ＝０上.
所以
４－ｂ＝０ꎬλ＝２ꎬ
或
{
ｂ＝－３ꎬ２λ－－４λ
＋１＋λｂ＝０ꎬ２
＋ｂ＝０ꎬ 解得
{
－λ３＝＝－１ꎬ
均满足{
１＋λ③式.故直线的方程为ｘ＋ｙ＝０或ｘ＋ｙ
说明０.
:本题若采用几何法ꎬ计算相对来说复杂一些ꎬ
在此不再赘述.本题的关键在于看出ｌ０)ꎬ且ｌ１ꎬｌ２均过定点Ｐ(１ꎬ
本文通过三个例题列举了直线与圆相交时有关垂直
１⊥ｌ２.
问题的三种解法ꎬ通过解答ꎬ读者不难看出各解法的优劣.由此可见方法选择得当ꎬ会避免一些复杂的计算ꎬ提高解题速度ꎬ在考试中也会为其它题目争取更多的解题时间.当然ꎬ方法的选择还需要靠平时的积累ꎬ希望在此能起到抛砖引玉的作用.
参考文献[１]朱卫国.:
用类比法解决直线与圆相交问题[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１１(１２):１５－１６.
[责任编辑:杨惠民]
