第３４卷第３期 淮北师范大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．３ ２０１３年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｉｂｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｓｅｐ．２０１３ 拓扑系统的Ｌｉｎｄｅｌｉ￣ｆ性质 杨 慧，姜广浩，肖 璨 （淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北２３５０００） 摘要：拓扑系统是目前最广泛的拓扑研究对象之一，它以点集拓扑空间、Ｌｏｃａｌｅ空间化、模糊拓扑空间与拓扑分子格 为特例，可以用来研究计算机程序语言的指称语义的Ｄｏｍａｉｎ理论．文章从拓扑学的角度研究了拓扑系统的Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ 性质，得到关于拓扑系统Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ性质的若干定理． 关键词：拓扑系统；分离性；紧性；ＩＡｎｄｅｌ￣ｆ性质 中图分类号：０ １５３．１；０ １８９．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９５—０６９１（Ｚ０１３）０３—０００１—０３ １ 预备知识 定义１．１【１１设 是集，Ａ是一ｆｒａｍｅ，其最大元与最小元分别记为１，０．又设｝是Ｘ Ｘ Ａ的子集，记（ ， 口）Ｅ｝为拉口（读作 满足口）．若｝具有性质： （１）对任一有限集ｓ Ａ和点 ∈Ｘ，仁人Ｉｓ当且仅当每一口∈Ｓ，拉口； （２）对任一集Ｉｓ Ａ和点 ∈Ｘ，扛Ｖ Ｓ当且仅当存在口Ｅ Ｓ，扛口． 则称三元组（置Ａ，｝）为一拓扑系统．Ａ中的元称为拓扑系统的开元， 中的元称为拓扑系统的点．通常用 大写字母Ｄ表示拓扑系统（置Ａ，｝），分别用ｐｔＤ和 表示拓扑系统Ｄ的点集 和开元集Ａ． 定义１．２【２ 设Ｄ是拓扑系统， ｐｔＤ，；是ＯＤ上的ｆｒａｍｅ同余．作加上关于 上的等价关系； ： Ｖ口，ｂ∈ＯＤ，口＝ ｂ当且仅当口＝ｂ且任意 ∈置戈｝口骨 ｝ｂ，则一 也为 上的ｆｒａｍｅ同余．此时拓扑 系统Ｄ ＝（ ，彻／＝ｘ， ）称为Ｄ的一个子拓扑系统，其中拉［口】甘扛口． 定义１．３【１】 一簇拓扑系统｛ ）的和系统∑ 定义为：ｐｔ∑． ＝∑ 是点集的无交并，－ｆ２∑ ＝ ＩＩ 为ｆｒａｍｅ的笛卡儿乘积，任意 ∈ｐｔＤ ，仁（口 ）当且仅当扛 其中（ ）∈１１ ． 定义１．４【１１拓扑系统Ｄ和Ｅ的积系统Ｄ×Ｅ定义为： （１） （Ｄ Ｘ Ｅ）＝ｐｔＤ×ｐｔＥ， （２） （Ｄ Ｘ Ｅ）＝ 。仍为ｆｒａｍｅ张量积， （３）（ ，，，）｝Ｖ （口 ｏｂ ）当且仅当存在ｉ使得仁０ 且 ｂ ． 定义１．５【１ 设Ｄ是一个拓扑系统，任意开元口Ｅ他的内容 （０）定义为 （口）＝｛ ∈ｐｔＤ： ｝口】． 全体开元的内容形成ｐｔＤ上的一个拓扑，记为 ，拓扑空间（ｐｔＤ， ）称为Ｄ的空间化，记为ｓｐａｔＤ． 定义１．６【１ 设Ｄ，Ｅ是拓扑系统，Ｄ到Ｅ的连续映射是指满足下列条件（１）一（３）的一对映射（ｐ ，记（ｐ 为 Ｅ． （１）ｐ ｐｆ ｐ 为映射； （２） 肛ＯＤ为ｆｒａｍｅ同态； （３）扛 ６）铮ｐ ）｝＝ｂ． 定义１．７㈨ 设Ｄ是拓扑系统， ，Ｆ ｐｔＤ．若存在口∈ＯＤ，使Ｕ＝ （口），则称ｕ为拓扑系统的开集． 若存在开集Ｕ使得Ｆ＝ｐｔＤ／Ｕ，则称Ｆ为拓扑系统的闭集． 收稿日期：２０１３—０３—２５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１００１００１）；安徽省高等学校省级自然科学研究重点项目（ＫＪ２０１３Ａ２３６） 作者简介：杨慧（１９８６一 ），女，江苏丹阳人，硕士生，主要从事一般拓扑学的研究．通讯作者：姜广浩（１９７３一），男，江苏沛县人，博士，副 教授，主要从事一般拓扑学的研究． ２ 淮北师范大学学报（自然科学版） ２０１３年 定义１．８【１ｑ （１）若任意一对点 ，ＹＥ ｐｔＤ，当 ≠Ｙ时，存在０Ｅ ｇｌＤ，使ｘｌ＝口但ｙ｝＝ｅｌ，不成立，或存在 ６∈ｆｌＤ使ｙｔ＝６但ｘｌ＝６不成立，则称拓扑系统Ｄ是死的． （２）拓扑系统Ｄ称为 的，若任意一对点 ，Ｙ∈ｐｔＤ，当 ≠Ｙ时，有０，ｂ∈ ，使 ｝ｎ但 立且ｙｔ＝ｂ但ｘｌ＝６不成立． 口不成 （３）拓扑系统Ｄ称为 的，若任意一对点 ，Ｙ∈ｐｔＤ，当 ≠Ｙ时，有Ⅱ，ｂ∈佃，使 ｝ｏ，仁ｂ且ｅｇｏ （口＾６）＝ ． （４）拓扑系统Ｄ称为 的，若Ｄ是 的，且任意 ∈ｐｔＤ，任意闭集Ｆ ｐｔＤ，当 １２Ｄ，使 ｝＝口，ＦＣ＿ （ｂ），且ｅｘ（ｏＪ＾ｂ）＝Ｄ． Ｆ时，有口，ｂ∈ （５）拓扑系统Ｄ称为死的，若Ｄ是 的，且任意闭集Ａ，Ｂ ｐｔＤ，当Ａ ｎ Ｂ＝ 时，有ｅｌ，，ｂ ｆｔ．ｇ２Ｄ，使 ｅＸ，（Ｃ，Ｉ），Ｂ ｅｘ（６）且ｅｘ，（ｃＩ，＾ｂ）＝ ． 引理１．１【。 拓扑系统Ｄ是 拓扑系统当且仅当ｓｐａｔＤ是 拓扑空间，其中ｉ＝１，２，３，４． 引入一个有用的记号＾ｃ｝０．设Ｄ是拓扑系统，ｃ ｐｔＤ，口Ｅ Ｉ？Ｄ．用记号＾ｃ｝口表示“Ｖ ∈Ｃ， ｘｌ＝口”． 定义１．９ ¨设Ｄ是拓扑系统，点集Ｃ ｐｔＤ，开元集Ｓ ＯＤ．若＾Ｃ｝Ｖ．ｓ，则称Ｓ是Ｃ的一个开覆 盖．若ｃ的任意开覆盖有有限子覆盖，则称ｃ是拓扑系统Ｄ的紧子集．进一步地，若ｐｔＤ是拓扑系统Ｄ的 紧子集，则称Ｄ为紧拓扑系统． ２拓扑系统的Ｌｉｎｄｅｌｔｆ性质 定义２Ｉ１ 设Ｄ是拓扑系统，点集ＣＯ＿ｐｔＤ，开元集．ｓ １－１Ｄ．若八ｃ１＝Ｖ Ｓ，则称Ｉｓ是Ｃ的一个开覆盖． 称ｃ是拓扑系统Ｄ的Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ子集，若Ｄ是 的，且ｃ的任意开覆盖有可数子覆盖，即＾ｃ１＝Ｖ Ｓ蕴涵着 存在可数子集Ｓ０ ｓ使得Ａ ｃ｝＝Ｖ Ｓｏ．称Ｄ是Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ拓扑系统或具有Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ性质，若ｐｔＤ是Ｄ的 Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ子集． 定理２．１ 拓扑系统Ｄ具有Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ性质舒拓扑空间ｓｐａｔＤ具有Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ性质． 证明 ：设．ｓ １２１９且ｐｔＤ Ｕ｛ｅｘ，（ｅｌ，）ｌ口∈Ｊｓ｝，则对Ｖ ∈ｐｔＤ， Ｄ∈Ｓ使得 ｝ｎ，故八ｐｆＤ｝Ｖ Ｓ． 由拓扑系统Ｄ具有Ｌｉｎｄｅｌｉ￣ｆ性质知，存在可数子集Ｓ０ ．ｓ使＾ｐ ｝Ｖ Ｓｏ，即对Ｖ Ｅ ｐｔＤ，ｊ口∈Ｓｏ，使得 ｝＝ａ．从而 ∈ （ ） ｕ｛ （０）Ｉ Ｏ，ｌ∈Ｓｏｌ，进而ｐｔＤ ｕ｛ｅｘ（口）Ｉ口∈Ｓｏ｝．由定义２．１知，ｓｐａｔＤ具有 Ｌｉｎｄｅｌｔｆ性质． 乍：设Ｓ ／－／Ｄ且＾ｐ ｝Ｖ Ｓ，则ｐｔＤＣ＿Ｕ｛ｅｘ，（口）ｌ ｎ∈Ｓ｝．由拓扑空间ｓｐａｔＤ具有Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ性质知，存在 可数子集ＳｏＣ＿Ｓ使得ｐｔＤＣ＿Ｕ｛ （口）Ｉ ｅｌ，∈Ｓｏ）．从而＾ｐｆ Ｖ Ｓｏ． 推论２．１ 若．ｓ 且任意可数集ｓｏ ｜ｓ有ｎ｛ｐｔＤ—ｅｘ，（口）Ｉ口Ｅ Ｓｏ｝≠ ，则 ｎ｛ｐｔＤ—ｅＸ，（口）ｌ口∈Ｓ）≠ ． 定义２．２［４ 设Ｄ 是拓扑系统的Ｄ的子拓扑系统．若ｐｔＤ 是Ｄ的闭子集，则称Ｄ 为Ｄ的闭子拓扑系 统． 定理２．２ Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ拓扑系统的闭子拓扑系统是Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ拓扑系统． 证明 设Ｄ ＝（ｐｔＤ ，ｇ２Ｄ／；，｝）是拓扑系统Ｄ的闭子拓扑系统，其中ｐｔＤ 是Ｄ的闭子集， 是 ｇｌＤ中关于ｐｔＤ 的ｆｒａｍｅ同余．Ｖ Ｓ ｇ２Ｄ／；，若＾ｐｔＤ ｝Ｖ Ｓ ，则对Ｖ Ｏｔ∈Ｓ ， ≠ ，由选择公理，设ｓ 上的 选择函数厂（ ）＝０。∈Ｏｌ ｇｌＤ．作Ｓ＝｛ＣＩ， Ｉ ＯＺ∈Ｓ ｝ ｇｌＤ．由子拓扑系统的性质易证，＾ｐｔＤ ｝Ｖ Ｓ．又ｐｔＤ 是Ｄ的闭子集，从而存在ｂ∈ＯＤ，使ｐｔＤ＝ｐｔＤ ｕ ｅｘ，（６）且ｐｔＤ ｎ ｅｘ，（ｂ）＝ ，于是，＾ｐ ｝（Ｖ Ｓ）Ｖ ｂ．由Ｄ 为Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ拓扑系统知，存在Ｓ的可数子集Ｓ０，使＾ｐ ｝Ｖ（ ｕ｛ｂ））．注意到ｐｔＤ ｎ ｅｘ，（ｂ）＝ ，故任一 ∈ｐｔＤ ，有 ｝＝Ｖ Ｓｏ，即八ｐｔＤ ｝Ｖ Ｓ。．作Ｓｏ ＝｛【口 】ｌ ｎ ∈Ｓｏ）．则ｓｏ 是Ｓ’的可数子集且在Ｄ 中＾ｐｔＤ’｝Ｖ 由定义２．１知，Ｄ 为Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ拓扑系统． ．’，定理２．３可数个Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ拓扑系统的和系统是Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ拓扑系统． 证明 设Ｄ＝① ， 是可数集，且｛Ｄｌ｝ ｒ具有Ｌｉｎｄｅｌｔｆ性质．Ｖ Ｓ 若＾ｐ￡Ｄ｝Ｖ Ｓ，由｛ ）『＝ｔ ’三ｒ 具有Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ性质知，当＾ｐｔＤ ｝Ｖ Ｓ。时，］可数子集ｓ， ｜ｓ ，使得八ｐｔＤ，￣ＶＳｉ＊，由定义１．３知，＾ｐｔ【ｊＤ ｝ 第３期 杨慧等：拓扑系统的Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ性质 ３ Ｖ ＩＩ Ｓｉ＊，即＾ｐ ｝Ｖ Ｓ’，其中，Ｓ’＝∑Ｓｉ＊，Ｓ 为｜ｓ的可数子集． ｉ＝ｌ ｉ＝１ 定理２．４设Ｄ是Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ系统，Ｅ是紧拓扑系统，则Ｄ×Ｅ是Ｌｉｎｄｅｌｏｆ系统． 证明若（ ，Ｙ）∈ｐｔＤ×ｐｔＥ，（口ｏ ｂ）∈１２１９×ＤＥ，（Ａ ｐｔＤ，八ｐｔＥ）｝Ｖ（口Ｏ ｂ）．由定义１．４知，Ａ ｐｔＤ｝ Ｖ口且Ａ ｐｔＬ￣＝Ｖ ｂ．由Ｄ是Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ系统知，存在可数子集口ｏ ｔｆ．０使得Ａ ｐ ｝Ｖ Ｃｔｏ，再由Ｅ是紧拓扑系统 知，存在有限子集ｂｏ∈ｂ使得八ｐｔＥＦ：：Ｖ ｂｏ．即（Ａ ｐｔＤ，＾ｐｔＥ）｝（ａ０￣ｂｏ），得证． 定理２．５每个ＬｉｎｄｅＭｆ拓扑系统都是ｎ的． 证明 设Ｄ是 拓扑系统，任意闭集Ａ，曰 ｐｔＤ，Ａ ｆ＇ｌ Ｂ＝０且Ａ，曰具有Ｌｉｎｄｅｌｆｆ性质．则Ｖ ∈Ａ， Ｙ∈Ｂ，由Ａｎ Ｂ＝０，再由Ｄ是 拓扑系统知，ｊ口 ，ｂ，∈ＤＤ，使得拉 ， ｂ ，且ｅｘ，（ Ａ ｂ，）＝０．易知＾ Ａ｝Ｖ｛如Ｉ ∈Ａ），Ａ Ｂ｝Ｖ｛ｂ Ｉ Ｙ Ｅ ８１．由Ａ，Ｂ具有Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ性质可知，存在｛ Ｉ ∈Ａ）的可数子集 ， 口以，…，‰。使得＾Ａ｝＝Ｖ ，存在｛ｂ Ｉ Ｙ∈Ｂｌ可数子集ｂ ｔ，ｂ ｚ，…， 使得＾腓＝Ｖ ，ｂ ．注意到ｅｘ 如 （（Ｖ ａ ）＾（Ｖ ｂ ））＝ｔ＿Ｊ ｅｘ（ Ａ ｂ ）＝０．令口＝Ｖ － ，ｂ＝Ｖ －ｂ ，则＾Ａ｝口，Ａ曰｝ｂ，且ｅ （口＾ｂ） ｉ；１ ＝０． 定理２．６设Ｄ是Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ系统，Ｅ是 拓扑系统，． Ｄ—Ｅ是满的连续映射，则Ｅ是ＬｉｎｄｅＭｆ系统． 证明设ＳＣ＿ＤＥ，厂（ｐｔＤ）＝ｐｔＥ，ｐ ｐｔＤ）｝＝＝Ｖ Ｓ．由，的连续性及 是ｆｒａｍｅ同态，则Ｖ ∈ｐｔＤ，拉ｏｆ （Ｖ Ｓ）＝Ｖ ｓ），从而八ｐｔｏｌ＝Ｖ ｆｏ（Ｓ）．由Ｄ是ＬｉｎｄｅＭｆ系统知，存在Ｓ的可数子集５ｏ使得八ｐｔｏ￣＝Ｖ ｆｏ （ｓ０），再由，的连续性知，八ｐｔｆ（ｐｔＤ）｝Ｖ Ｓｏ，即＾ｐｔｅｌ＝Ｖ Ｓｏ．再由定义２＿．１知，Ｅ是Ｌｉｎｄｅｌ￣ｆ系统． 引理２．１【４】 设，＝（ｐｔｆ， ：Ｄ 是拓扑系统间的连续映射．任意ａ，ｂ∈ＤＥ，口量 § 口）＝ｏｆ （ｂ）．则（ｐ ｐｔＤ），仍／； ）是拓扑系统的子拓扑系统． ． 推论２．２设Ｄ是Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ系统，Ｅ是乃拓扑系统， Ｄ Ｅ是满的连续映射，则（ｐｔｆ（ｐｔＤ），仍／； ） 是Ｌｉｎｄｅｌ６ｆ系统． 参考文献： 【１】ＶＩＣＫＥＲＳ Ｓ Ｊ．Ｔｏｐｏｌｏｇｙ ｖｉａ ｌｏｇｉｃ【Ｍ】．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８９． 【２】陈仪香．拓扑系统范畴与子拓扑系统［Ｊ】．陕西师范大学学报：自然科学版，１９９４，２２（４）：１９—２４ 【３】李世伦．拓扑系统的分离性【Ｊ】．四川大学学报：自然科学版，２００２，３９（４）：６４４—６４８． 【４】李高林．拓扑系统的分离性，紧性和若干收敛结构［Ｄ】．扬州：扬州大学硕士学位论文，２００６． Ｔｈｅ Ｌｉｎｄｅｌｆｆ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍ ＹＡＮＧ Ｈｕｉ，ＪＩＡＮＧ Ｇｕａｎｇ—ｈａｏ，ＸＩＡＯ Ｃａｎ （＆ｈｏｄ ｏｆＭａ￣ｈｅｍａａｃａｌ＆ｉｅｎｃｅｓ，Ｈｕａｉｂｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２３５０００，Ｈｕａｉｂｅｉ，Ａｎｈｕｉ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｗｉｄｅｌｙ ｓｔｕｄｉｅｄ ｏｂｊｅｃｔ ｉｎ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ａｔ ｐｒｅｓｅｎｔ．Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅ， ｓｐａｔｉａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｏｃａｌｅ，ｆｕｚｚｙ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｍｏｌｅｃｕｌａｒ ｌａｔｔｉｃｅ ａｒｅ ｉｔｓ ｓｐｅｃｉｌａ ｃａｓｅｓ．Ｏｎｅ ｃａｎ ｓｔｕｄｙ Ｄｏｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ｄｅｎｏｔａｔｉｏｎ ｓｅｍａｎｔｉｃｓ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｌａｎｇｕａｇｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｓ ｓｏｍｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｏｎ ＬｉｎｄｅＲｉｆ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． ‘ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ；ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ；Ｌｉｎｄｅｌｔｉｆ ｐｒｏｐｅｒｔｙ
