海门市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

海门市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设集合

,,则( )

A BCD

2． （A．﹣

）﹣（1﹣0.5﹣）÷

0

2

的值为（ ）

C．

B． D．

1x2,x1,313． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 4． 数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ） A．1

B．

C．

D．

6． 已知空间四边形ABCD，M、N分别是AB、CD的中点，且AC4，BD6，则（ ） A．1MN5 B．2MN10 C．1MN5 D．2MN5 7． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

8． 直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（ ） A．2x+y﹣2=0

x，

B．2x﹣y﹣6=0

3C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=0

9． 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

A.ye B.yx C.ylnx D.yx 10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，解析式为（ ）

）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的

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A． B． C． D．

11．下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（ ）

A． B．C．

D．

12．已知函数

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．若圆

与双曲线C：

的渐近线相切，则

_____；双曲线C的渐近线方程是

____．

14．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

15．已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．

、C（1，0），函数y=xf（x）（0

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16．向区域 17．椭圆 18．已知

+

内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．

三、解答题

19．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：

+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依

次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示． （Ⅰ） 若点A横坐标为

，且BD∥AE，求m的值；

+y2=（

2

）上．

（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆

20．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9

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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

21．已知函数f(x)exxa，g(x)（1）求函数f(x)的单调区间；

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

12xa，aR． ex（2）若存在x0,2，使得f(x)g(x)成立，求的取值范围； （3）设x1，x2是函数f(x)的两个不同零点，求证：e1

22．【南师附中2017届高三模拟一】已知a,b是正实数，设函数fxxlnx,gxaxlnb. （1）设hxfxgx ，求 hx的单调区间； （2）若存在x0，使x0

xx21．

bab3ab且成立，求的取值范围. fxgx,00a54第 4 页，共 19 页

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23．已知函数

（1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的值域．

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

24．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为的圆的方程．

，求以F2为圆心且与直线l相切

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海门市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】送分题,直接考察补集的概念,2． 【答案】D

【解析】解：原式=1﹣（1﹣=1﹣（1﹣

）÷

）÷

,故选C。

=1﹣（1﹣4）× =1﹣（﹣3）× =1+ =． 故选：D．

【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．

3． 【答案】D 【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几

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个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

4． 【答案】A

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，

2

得：（a3+2）=（a1+1）（a5+3）， 2

整理得：a3+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3

2

即（a1+2d）+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3． 2

化简得：（2d+1）=0，即d=﹣．

∴q===1．

故选：A．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

5． 【答案】C

【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为

．

．

＜1，故C不可能．

是解题的关键．

因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为

因此可知：A，B，D皆有可能，而故选C．

【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为

6． 【答案】A 【解析】

试题分析：取BC的中点E，连接ME,NE，ME2,NE3，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以1MN5，故选A．

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考点：点、线、面之间的距离的计算．1

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 7． 【答案】D

2【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

8． 【答案】B

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

【解析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣， ∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2， 化为一般式可得2x﹣y﹣6=0 故选：B

故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），

【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．

9． 【答案】B 【解析】

xx23试题分析：对于A，ye为增函数，yx为减函数，故ye为减函数，对于B，y'3x0，故yx为增函数，对于C，函数定义域为x0，不为R，对于D，函数yx为偶函数，在,0上单调递减，在0,上单调递增，故选B.

考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.

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10．【答案】A

【解析】解：由函数的图象可得A=1，解得ω=2， 再把点（结合故有

，1）代入函数的解析式可得 sin（2×

，可得φ=

，

，

+φ）=1，

=•

=

﹣

，

故选：A．

11．【答案】B

【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 故选B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．

12．【答案】 D 【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

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22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题

13．【答案】

，

【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线 【试题解析】双曲线的渐近线方程为：圆

的圆心为（2，0），半径为1．

因为相切，所以

所以双曲线C的渐近线方程是：

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故答案为：14．【答案】

， ．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c① 222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

15．【答案】

【解析】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2

．

∴f（x）=

∴y=xf（x）=

y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=

+x2）故答案为：

=

+=

+

=x3

+（﹣

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16．【答案】

．

【解析】解：不等式组的可行域为：

由题意，A（1，1），∴区域

=（x3）

由

=，

的面积为

，可得可行域的面积为：1=，

∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与 与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： = 故答案为：．

【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．

17．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）

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则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣

）=1时，d取得最大值为4

，

=，

故答案为：4．

18．【答案】 ．

【解析】解：∵∴

=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，

，解得b=1，a=2．

．

∴|a﹣bi|=|2﹣i|=故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC， ∴BD⊥AC，可知A（故

，m=2；

），

（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形， 设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则

，

由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0， 显然x1≠x0，从而

∵AE⊥AC，∴kAE•kAC=﹣1，

=

，

∴，

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解得，

代入椭圆方程，知．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．

20．【答案】已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++

）=9，从而解得；

=2n，利用裂项求和法求和．

2n2n

（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）=3•（），从而可得bn=log2

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 则3（1++

）=9，

解得，q=1或q=﹣；

n3

故an=3，或an=3•（﹣）﹣；

（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；

2n2n

故a2n+3=3•（﹣）=3•（），

故bn=log2故cn=

=2n， =﹣

，

故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣

＜1．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．

21．【答案】（１）f(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)；（２）a1或a0；（３）

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证明见解析． 【解析】

题解析： （1）f'(x)ex1．

令f'(x)0，得x0，则f(x)的单调递增区间为(0,)；111.Com] 令f'(x)0，得x0，则f(x)的单调递减区间为(,0)． （2）记F(x)f(x)g(x)，则F(x)ex1ex2xaa2， F'(x)ex1ex2． ∵ex1x1ex22eex20，∴F'(x)0， ∴函数F(x)为(,)上的增函数， ∴当x0,2时，F(x)的最小值为F(0)aa2．

∵存在x0,2，使得f(x)g(x)成立，

∴F(x)的最小值小于0，即aa20，解得a1或a0．1

（3）由（1）知，x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，即最小值为f(0)a1，则只有a1时，函数f(x)由两个零点，不妨设x1x2， 易知x10，x20，

∴f(xxx1)f(x2)f(x2)f(x2)(e2x2a)(e2x2a)ex2ex22x2，

令h(x)exex2x（x0），

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试

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考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想． 22．【答案】（1）在0,上单调递减，在

bb,上单调递增.（2）e7

ae【解析】【试题分析】（1）先对函数hxxlnxxlnba,x0,求导得h'xlnx1lnb，再解不

be等式h'x0得x情形，分别研究函数hxxlnxxlnba,x0,的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围ebb求出单调增区间；解不等式h'x0得x求出单调减区间；（2）先依据题设eeab3abbabb3abbabb3ab得7，由（1）知hxmin0，然后分、、三种45a4e5e4e5b7： abb，h'x在0,ee解：（1）hxxlnxxlnba,x0,,h'xlnx1lnb，由h'x0得xb,上单调递增. eab3abb（2）由得7，由条件得hxmin0. 45a上单调递减，在第 16 页，共 19 页

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abb3abeb3ebbb，即时，hxminha，由a0得 4e54ea5eeeebb3ee,e. aa5ebab4eab3abb,hx在②当时，a上单调递增， ,e4a54abbabababhxminhlnlnbalnlnba4444e4e3?bbab3eeb0，矛盾，不成立. 44eb由a0得.

eb3abb3e5eab3abb，hx在③当，即时，a上单调递减， ,e5a5e3e453abb3ab3ab3abhxminhlnlnbalnlnba5555e5e2?bbb3eb2ab2e3e时恒成立，综上所述，e7. b0，当a5ea553e①当

23．【答案】

【解析】解：（1）∵函数∴

，

是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分） 又函数f（x）的图象经过点（1，3）， ∴f（1）=3，∴∴a=2（6分）

（2）由（1）知当x＞0时，即

时取等号（10分）

，当且仅当

（7分） ，

，∵b=0，

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当x＜0时，当且仅当

，即

，∴

时取等号（13分）

（12分）

综上可知函数f（x）的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）． ∴

2

∴a=2，又c=1，b=4﹣1=3，

，由题意可得：

．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：

，

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1）， 由

2222

，消去y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0

，不符合题意．

显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则又即

又圆F2的半径所以

42

化简，得17k+k﹣18=0，

，

， ，

，

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22

即（k﹣1）（17k+18）=0，解得k=±1

所以，，

22

故圆F2的方程为：（x﹣1）+y=2．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．

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