希望杯数学竞赛

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Prepared on 22 November 2020

1990第二试

一、选择题

1、等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5:3的两部分，那么这个三角形的底边长是（ ）A、 B、12 C、4 D、12或 4

2、已知：p198819199019911192，那么P的值是（ ） A、1987 B、1988 C、19 D、1990

3、a＞b＞c,x＞y＞z,M = ax + by + cz ,N = az + by + cx,P = ay + bz + cx , Q = az + bx + cy ，则有（ ）

A、M＞P＞N 且 M＞Q＞N B、N＞P＞M 且N＞Q＞M C、P＞M＞Q且 P＞N＞Q D、Q＞M＞P且 Q＞N＞P

4、凸四边形ABCD中，∠DAB = ∠BCD = 90°，∠CDA: ∠ABC = 2:1，AD : CB = 1:3，∠BDA的度数是（ ）A、30° B、45° C、60° D、不能确定

5、把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割（ ） A、是不存在的 B、恰有一种 C、有有限多种，但不止一种 D、有无穷多种

二、填空题

6、△ABC中，∠CAB - ∠B = 90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA的延长线交于N，已知CL = 3，则CN = （ ）。

11127、若a1ab20，那么的值

a1990b1990aba1b1是（ ）

8、已知a,b,c满足a + b + c = 0,abc = 8 ,则c的取值范围是（ ）.

9、△ABC中，∠B = 30°，AB = 5，BC = 3，三个两两互相外切的圆全在△ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是（ ）

abcabacbcabc10、设a,b,c是非零实数，那么的值是

abcabacbcabc（ ）

三、解答题

11、从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。

12、平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点

A′在正方形ABCD的中心。当正方形A′B′C′D′饶A′转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。这个结论对吗证明你的判断。

13、用1、9、9、0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样是四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列

n1n2n3n4,试求：n1n2的值。

12、平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点 A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕A′转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗证明你的判断。

13、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1n2n3n4,试求：n1n2之值。