全等三角形难题集锦(整理)

1、（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

图1 图2

2、（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明

3、、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．

4、C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD=BE； ② ； ③AP=BQ； ④DE=DP； ⑤⑥CP=CQ⑦△CPQ为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分 ⑩CO平分

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

5、D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。 （1）当绕点D转动时，求证：DE=DF。 （2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

6、如图，是正三角形，△BDC是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

7、点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN都是等边三角形，线段AN，MC交于点E，BM，CN交于点F。

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A

B O D P C Q E

K2MG-E《专业技术人员绩效管理与业务能力提升》练习与答案

求证：（1）AN=MB.

（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？

（3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

图① 图②

8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在中，AB=AC，P是内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．且≌。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点． ①当旋转至如图②位置，点，，在同一直线上时，与的数量关系是．

②当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？与存在怎样的数量关系？请说明理由．

10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE．

D A B 图1 C E 图2 11、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，，，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

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12、如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF

13、如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，求证：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

14、如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD。求证：（1）△BDE≌△CDF；（2） 点D在∠A的平分线上

15、如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC， （1）若AB=CD，试说明BD平分EF；

（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。

16、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B M

E O 图①

B F E D C

图②

P N

A

F D

A 图③

C

17、如图1，点M为锐角内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

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（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为的费尔马点．若点M为的费尔马点，试求此时、、的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为的费尔马点．试说明这种作法的依据．

18、如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F. （1）如图1，当点E在AB边的中点位置时：

① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.

（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N， 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

图1 图2

19、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）

（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

20、如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º， （1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？

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（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？

21、如图1，在中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

A（E）

E A Q B

C （ ） F

P l

B F

C P

l

F E A

P B C l

图1

图2

图3

Q

22、如图①所示，在和中，，，，且点，，在一条直线上，连接，，，分别为的中点． （1）求证：①；②；

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

C C M B N E D B M E 图② N D A A 图① 23、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证≌，所以．

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在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

F A

F

B E C

图2

G

B 图3

C E G

D

A

D

F

A

D

B E C 图1

G

24、问题背景，如下命题：

① 如图1，在正三角形ABC中，N为BC边上任一点，CM为正三角形外角∠ACK的平分线，若，则AN=NM。 ②如图2，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若，则AN=NM。 ③如图3，在正五边形ABCDE中，N为BC边上任一点，CM为正五边形外角∠DCK的平分线，若，则AN=NM。

任务要求：

（1）请你证明以上三个命题； （2）请你继续完成下面的探索：

① 如图4，在正（≥3）边形ABCDEF…中，N为BC边上任一点，CM为正边形外角∠DCK的平分线，问当∠ANM等于多少度时，结论AN=NM成立（不要求证明）.

② 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，N为BC延长线上一点，CM为∠DCN的平分线，若∠ANM=∠ABC，请问AN=NM是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

25、已知∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。

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（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

27、已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

28、已知BE，CF是的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。求证：

30、已知PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长;

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.

31、已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：．

32、以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．

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E A G F

B

C

D 33、用两个全等的等边和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

34、在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．

（1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_____；此时=_____ （2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________（用x，L表示）

35、在等边中， P在延长线上一点，以PA为边作等边，EC延长线交BP于M，连接AM。 求证：（1）BP=CE；（2）EM－PM=AM.

E C P

M A B

36、在等边中，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

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（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

37、在等边中，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接，． （1）求证：；

（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．

38、在等腰中，，是的中点，过作，，且．求证：．

39、在等腰中，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F。求证：

∠ADC＝∠BDE．

40、在等腰中，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即，， （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB； （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；

（3）如图3，当CE在的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．

41、四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF。求证：CA是∠DCF的平分线。

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42、在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE

43、在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

44、在正方形中，．求证：．

45、在中，，，将绕点顺时针旋转角得,交于点，分别交、于、两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论。

C D A E B A F C

E B D F

46、在中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、。 当绕点旋转到于时（如图1），易证

当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A

A D E C

D B

E C

图2

F

B

D C E

图3

B F

F 图1

47、在中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．

48、在中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

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（1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=BF；

（3）CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。

49、在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．

50、在中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：如果AB=AC，∠BAC=90°．

（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，猜想并证明线段BD，CE之间的位置关系。 （2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，（1）中的结论是否还成立？为什么？

51、在中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q。求证：。

52、在中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：

53、在中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

54、在中，AB＞AC，，P为AD上任意一点，求证：

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55、在中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

56、在中，AD⊥BC， BE⊥AC， D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD。求证：BH=AC

57、在中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．

58、在中，是中线．求证：．

59、正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外

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作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。 （1）证明：△BCG≌△DCE； （2）BH⊥DE

（3）BG与CD有何关系？为什么？

（4）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。

60、直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且． （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

B

B

E C 图1

F D

C A

图2

A

B

E F D

E C F A

D

图3

世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的

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