6.4.3 第二课时 正弦定理

课标要求 素养要求 借助于向量的运算，探索三角形边长与通过对任意三角形边角关系的探索，证角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦明正弦定理并运用正弦定理解三角形，定理解决简单的解三角形问题. 提升逻辑推理素养及数算素养.

教材知识探究

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河

面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？ abc

问题1 如图，在Rt△ABC中，sin A，sin B，sin C各自等于什么？

abc

提示 sin A＝sin B＝sin C＝c.

abc

问题2 在一般的△ABC中，sin A＝sin B＝sin C还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？

abc

提示 在一般的△ABC中，sin A＝sin B＝sin C仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三

角形外接圆的直径.

ab(2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则sin A＝sin Bc＝sin C＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).

2.正弦定理的变形形式 变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. abc

(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R. (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. abc(4)sin A＝sin B＝sin C＝

a＋b＋c

.

sin A＋sin B＋sin C

教材拓展补遗

[微判断]

1.正弦定理只适用于锐角三角形.(×)

2.在△ABC中，等式asin A＝bsin B总成立.(×)

3.在△ABC中，已知a＝30，b＝23，A＝130°，则此三角形有唯一解.(√) 提示 1.正弦定理适用于任意三角形. 2.只有在等腰三角形中才能成立. 3.根据大边对大角知，此三角形只有一解. [微训练]

1.在△ABC中，下列等式总能成立的是( ) A.acos C＝ccos A B.bsin C＝csin A C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A

解析 由正弦定理易知，选项D正确. 答案 D

2.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是( )

7A.5 5B.7 7C.12 5D.12

解析 由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5. 答案 A

3.已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________. BC

解析 因为sin A＝2R，

所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝23. 答案 23 [微思考]

1.正弦定理的主要功能是什么？ 提示 实现三角形中边角关系的互化.

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？

提示 不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

题型一 已知两角及一边解三角形

【例1】 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 先利用三角形的内角和求角B，再利用正弦定理求边b 解 根据正弦定理，得 csin A10×sin 45°

a＝sin C＝sin 30°＝102. 又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. csin B10×sin 105°

所以b＝sin C＝sin 30°＝20sin 75° 6＋2

＝20×4＝5(6＋2). abbca

规律方法 (1)正弦定理实际上是三个等式：sin A＝sin B，sin B＝sin C，sin A＝

c

sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 【训练1】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长. 解 因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°， 故B角最小，所以b为最短边， cb

由正弦定理sin C＝sin B，

csin Bsin 45°6得b＝sin C＝sin 60°＝3，

6

故所求的最短边长为3.

题型二 已知两边及一边的对角解三角形

已知两边及一边的对角时，三角形的解的情况不确定，解题时注意不要漏解 【例2】 在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c. abasin B3解 由正弦定理sin A＝sin B，知sin A＝b＝2， ∵b∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， bsin C2sin 75°6＋2∴c＝sin B＝＝2；

sin 45°当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， bsin C2sin 15°6－2∴c＝sin B＝sin 45°＝2. 6＋2

故当A＝60°时，C＝75°，c＝2； 6－2当A＝120°时，C＝15°，c＝2.

规律方法 已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.

【训练2】 已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形. 2

6×2

csin A3

解 由正弦定理，得sin C＝a＝2＝2， 又c>a，∴C＝60°或C＝120°.

asin B当C＝60°时，B＝75°，b＝sin A＝3＋1； asin B当C＝120°时，B＝15°，b＝sin A＝3－1. 题型三 判断三角形的形状

在判断三角形形状时，若遇到等式变形，尽量不要约去公因式，应移项提取公因式

【例3】 (1)若acos B＝bcos A，则△ABC是________三角形； (2)若acos A＝bcos B，则△ABC是________三角形. abasin A解析 (1)由正弦定理sin A＝sin B，得b＝sin B. acos A

又acos B＝bcos A，所以b＝cos B，

sin Acos A

所以sin B＝cos B，所以sin A·cos B＝sin B·cos A， 即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0， ∵A，B是三角形内角，

所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形. abasin A(2)由正弦定理sin A＝sin B，得b＝sin B.

acos B

又acos A＝bcos B，所以b＝cos A，

sin Acos B

所以sin B＝cos A，所以sin A·cos A＝sin B·cos B， 所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B， ∵A，B为三角形内角，

π所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝2， 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案 (1)等腰 (2)等腰或直角

规律方法 利用正弦定理判断三角形形状的方法：

(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；

(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.

【训练3】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.

解 在△ABC中，由正弦定理得

abc

＝＝sin Asin Bsin C＝2R(R为△ABC外接圆半径). abc∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴2R＝2R＋2R，

即a2＝b2＋c2，∴A＝90°，∴B＋C＝180°－A＝90°. 又sin A＝2sin Bcos C，∴sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， 1∴sin2B＝2.

2

∵B是锐角，∴sin B＝2，∴B＝45°，C＝45°. ∴△ABC是等腰直角三角形.

2

2

2

一、素养落地

1.通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养.通过运用正弦定理解三角形，提升数算素养. 2.定理的表示形式： abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R，

或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0).

3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.

二、素养训练

1

1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝3，则sin B＝( ) 155A.5 B.9 C.3 D.1

ab355

解析 依题意，由sin A＝sin B，得1＝sin B，得sin B＝9，选B.

3答案 B

2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A.43

B.23

C.3

3

D.2 BCAC32AC

解析 由正弦定理sin A＝sin B，得sin 60°＝sin 45°， 所以AC＝

322

×2＝23. 32

答案 B

3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是( ) A.直角三角形 C.锐角三角形

B.等腰三角形 D.钝角三角形

解析 由sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，

得a∶b∶c＝3∶4∶5.

不妨设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)， 则有c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形. 答案 A

4.在△ABC中， a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________. 解析 由正弦定理，得sin B＝

53sin 30°3

＝2. 5

∵b>a，∴B>A，且0°基础达标

一、选择题

1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于( ) A.1

B.2

C.32

D.3

2

3×2

asin C

解析 C＝180°－30°－15°＝135°，c＝sin A＝1＝32.应选C.

2答案 C

sin Acos C

2.在△ABC中，若a＝c，则C的值为( ) A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

sin Asin Csin Ccos C解析 由正弦定理知a＝c，∴c＝c，

∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵0°π

3.在△ABC中，若A＝4，sin B＝2cos C，则△ABC为( ) A.直角非等腰三角形 C.非等腰且非直角三角形

B.等腰非直角三角形 D.等腰直角三角形

3ππsin4－Csin4＋Cπsin B22

解析 由A＝4，sin B＝2cos C⇒cos C＝2⇒cos C＝cos C＝2＋2tan C＝2⇒tan C＝1， π又C∈(0，π)，则C＝4，

π

所以B＝2，△ABC为等腰直角三角形.故选D. 答案 D

4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝32，则B的大小为( ) A.30° C.30°或150°

B.60° D.60°或120°

ba

解析 由正弦定理得sin B＝sin A， 3261即sin B＝sin 45°，解得sin B＝2，

又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°， 又因为a>b，所以A>B，即B＝30°.故选A. 答案 A

5.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( ) 22A.－3

226B.3 C.－3

1510

解析 由正弦定理，得sin 60°＝sin B，

310×2

10sin 60°3

∴sin B＝15＝15＝3. 6D.3 ∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，B为三角形内角，∴B为锐角. ∴cos B＝答案 D 二、填空题

1－sinB＝2

63

1－＝3. 3

2c

6.在△ABC中，若C＝2B，则b的取值范围为________. 解析 因为A＋B＋C＝π，C＝2B，

π1

所以A＝π－3B>0，所以0csin Csin 2B

因为b＝sin B＝sin B＝2cos B，

c

所以1<2cos B<2，故145

7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝5，cos C＝13，a＝1，则b＝________.

45

解析 在△ABC中，由cos A＝5，cos C＝13， 312

可得sin A＝5，sin C＝13，

63

sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝65， asin B21又a＝1，由正弦定理得b＝sin A＝13. 21答案 13

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是______.

解析 因为△ABC有两解，所以asin B9.在△ABC中，已知b＝63，c＝6，C＝30°，求a. bcbsin C3解 由正弦定理，得sin B＝sin C，得sin B＝c＝2. 因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°. csin A6sin 90°当B＝60°时，A＝90°，a＝sin C＝sin 30°＝12.

csin A6sin 30°

当B＝120°时，A＝30°，a＝sin C＝sin 30°＝6. 所以a＝6或12.

10.在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.

解 ∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°. ac

由正弦定理，得sin A＝sin C＝2R， 310×2

a·sin C∴c＝sin A＝＝56，

22a10

∴2R＝sin A＝＝102，∴R＝52. 22

能力提升

π

11.在△ABC中，A＝3，BC＝3，则△ABC的周长为____________(用B表示). AC3

解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，

sin B3

2

AB3

即AC＝23sin B，＝，

π3

sinπ－B＋322π

化简得AB＝23sin3－B，

所以三角形的周长为

2π

BC＋AC＋AB＝3＋23sin B＋23sin3－B＝3＋33sin B＋3cos B



π

＝6sinB＋6＋3.



π

答案 6sinB＋6＋3

12.在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状. 解 设三角形外接圆半径为R， a2sin Bb2sin A

则atan B＝btan A⇔cos B＝cos A，

2

2

4R2sin2Asin B4R2sin2Bsin A

＝，

cos Bcos A

sin Acos A＝sin Bcos B⇔sin 2A＝sin 2B⇔ π2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

创新猜想

13.(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A>B，则下列说法正确的是( ) A.sin A>sin B C.sin A>cos B

B.cos Acos A

解析 A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立. 函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数， ∵A>B，∴cos A在锐角三角形中，∵A＋B>2，∴A>2－B， π

函数y＝sin x在区间0，2上是增函数，

π

则有sin A>sin2－B，即sin A>cos B，C成立，

同理sin B>cos A，故D成立. 答案 ABCD

π1

14.(多填题)在△ABC中，B＝4，BC边上的高AD等于3BC，且AD＝1，则AC＝________，sin A＝________.

π1

解析 如图，由AD＝1，B＝4，知BD＝1，又AD＝3BC＝BD，

∴DC＝2，AC＝

12＋22＝5. 2

sin B·BC2310

由正弦定理知，sin ∠BAC＝AC＝×3＝10. 5答案

5 31010