(完整word版)2003级(下)高等代数期末考试题(B卷答卷)

苏州大学 高等代数课程试卷（B卷答案）

一、 判别下列命题是否正确：（只要求答“是”或“非”）（20分）

1）“非” 2）“非” 3）“非” 4）“是”

二、 证明如下命题：（40分）

nn

1. x + 1整除x + 1 的充要条件是n 是奇数．(1) = 1

2. 设V是一个欧氏空间，，  V, 则| + | 2 + |  | 2 = 2||2 + 2||2. 由内积定义通过计算直接可得

3. 实对称矩阵是正定的充要条件是它的特征值均为正数. 书上248页推论3

4. 若V是线性空间， 则V的线性变换的象集(V)是V的子空间. 书上197页,定理8.9.1 三、 计算题（30分）

1）化二次型 2x1x2 +2x1x3  2x2x3 为标准形，并写出所用的非退化的线性替

换.

2y12 2y22 +2y32, 所用的非退化的线性替换由计算过程可得. 2）求矩阵

02121 不变因子组{1，1，(2)3} A() = 0002的不变因子组.

四、 综合题 （10分）

设V = F[x]5，f(x) V, (f(x)) = r(x), 其中f(x) = (x2  1)q(x) + r(x), r(x) = 0 或 deg (r(x)) < 2.

1．证明变换是V的一个线性变换； 2．求在基{1, x, x2, x3, x4}下的矩阵. 综合测试题