广州市2014届高三年级调研测试文数

广州市2014届高三年级调研测试数 学（文 科） 2014．1

1．函数y4x的定义域是

A．,4 B．,4 C．4, D．4, 2．命题“若x1，则1x1”的逆否命题是

A．若x1，则x1，或x1 B．若1x1，则x1 C．若x1，或x1，则x1 D．若x1，或x1，则x1 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A． 85，84 C． 86，84

B． 84，85 D． 84，86

222227 9 8 4 4 6 4 7 93 图1

224．设z1i（i是虚数单位），则复数i的虚部是

z5．若集合A,B满足AxZ|x3，BN，则AB不可能是 ．．．

A．i B．1 C．i D．1

A．{0,1,2} B． {1,2} C． {1} D．

x2y20,6．若实数x，y满足不等式组xy10,则xy的最大值为

x2y20,A．4 B．5 C．6 D．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是

A．15 B．105 C．120 D．720 开始

1

输入k1,p1ppkkN?是 否 输出p 结束 Nkk2 图2

8．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为 2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 A．442 B．42 C．42 D．842

俯视图 图3

正视图

侧视图

9．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．函数f(x)sinxx在区间0,内

A．没有零点 B．有且仅有1个零点 C．有且仅有2个零点 D．有且仅有3个零点

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11．若向量m1,2，nx,1满足mn，则|n|__________． 12．在等比数列{an}中，若a2a33a1，则a4 ．

13．在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足AMB90的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图4，AC为⊙O的直径，OBAC，弦BN交AC于点M．

CBMONA若OC3，OM1，则MN的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

图4

yx2cos若点P(x,y)在曲线（为参数，R）上，则的取值范围是 ．

xysin

2

三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos（1）求cosB的值；

（2）若a3，b22，求c的值．

17．（本小题满分12分）

某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动． 他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组： 第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)， 第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分 布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表． 区间 人数 图5

AC3． 23[25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 25 a b （1）求正整数a，b，N的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人

数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组

的概率．

18．（本小题满分14分）

如图6，在三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．

3

（1）求证：BC平面PAC；

P （2）若BC4，PB10，求点B到平面DCM的距离．

19．（本小题共14分）

设数列an满足a1A D 图6 B M C aa2a3*，． nN2nn2n1222 （1）求数列an的通项公式； （2）设bn

20．（本小题满分14分）

在圆xy4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D．当点P在圆上运动时，动点M满足PD2MD，动点M形成的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

（2）已知点E1,0，若A,B是曲线C上的两个动点，且满足EAEB，求EABA的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数fxlnxaxa2x．

2an，求数列bn的前n项和Sn．

an1an1122（1）若f(x)在x1处取得极值，求实数a的值； （2）求函数f(x)在区间[a,a]上的最大值．

4

2

广州市2014届高三年级调研测试 数学（文科）试题参及评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法

供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变

该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5

分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C D B A C B 33,11．5 12．3 13． 14．115． 338 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

解：（1）在△ABC中，ABC．„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

所以cosACB „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 cos22sinB3．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 232所以cosB12sinB „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 21．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 3

5

（2）因为a3，b22，cosB2221， 3由余弦定理bac2accosB，„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 得c2c10．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 解得c1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 17．（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，

所以a25人．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 且b2520.08100人．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 0.0225250人．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

0.025总人数N（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽

取的人数分别为： 第1组的人数为6第2组的人数为6第3组的人数为6251，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 150251，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 1501004，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 150所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．„„„„„„„„„„„„„„„7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1,C2,C3,C4，

则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

(A,C1)，(A,C2)，(A,C3)，(A,C4)，(B,C1)，(B,C2)，(B,C3)，(B,C4)，(C1,C2)， (A,B)，

(C1,C3)，(C1,C4)，(C2,C3)，(C2,C4)，(C3,C4)，共有15种．„„„„„„„9分

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：

(A,C1)，(A,C2)，(A,C3)，(A,C4)，(B,C1)，(B,C2)，(B,C3)，(B,C4)，共有8种．

„„„„„„„„„„„„„„„„11分

所以恰有1人年龄在第3组的概率为

8．„„„„„„„„„„„„„„„„12分

156

18．（本小题满分14分）

（1）证明：在正AMB中，D是AB的中点，所以MDAB．„„„„„„„„„„1分

因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MD//PA，故PAAB．„„„„2分 又PAAC，ABACA，AB,AC平面ABC， P 所以PA平面ABC．„„„„„„„„4分 因为BC平面ABC，所以PABC．„„5分 又PCBC,PAPCP,PA,PC平面PAC，

A 所以BC平面PAC．„„„„„„„„„„7分 （2）解法1：设点B到平面DCM的距离为h，„8分

因为PB10，M是PB的中点，所以MB5．

因为AMB为正三角形，所以ABMB5．„„„„„„„„„„„„„9分 因为BC4,BCAC，所以AC3． 所以SBCD D B C M 11111SABCBCAC433．„„„„„„„„„10分 2222222535因为MD5，

22由（1）知MD//PA，所以MDDC． 在ABC中，CD15AB， 22所以SMCD11535253MDCD．„„„„„„„„11分 22228因为VMBCDVBMCD，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 所以

11SBCDMDSMCDh， 33531253h．„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 238即3所以h1312． 57

12．„„„„„„„„„„„„„„„„14分 5解法2：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，„„„„„„„„„„8分

故点B到平面DCM的距离为

由（1）知，PA平面ABC，MD//PA， 所以MD平面ABC．

因为BH平面ABC，所以MDBH． 因为CDMDD，所以BH平面DCM． 所以BH为点B到平面DCM的距离．„„„9分 因为PB10，M是PB的中点，所以MB5． 因为AMB为正三角形，所以ABMB5．„„10分 因为D为AB的中点，所以CDBD以下给出两种求BH的方法：

方法1：在△BCD中，过点D作BC的垂线，垂足为点E， 则DE因为

A D H B E M C P 5． 213AC．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 2211CDBHBCDE，„„„„„„„„„„„„„„„„12分 22所以BHBCDECD43212． 55225． ①„„„„„„11分 4

方法2：在Rt△BHD中，BHDHBD在Rt△BHC中，因为BC4， 所以BHCHBC，

2222225即BHDH16． ②„„„„„„„12分

222由①，②解得BH12． 512．„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 58

故点B到平面DCM的距离为

19．（本小题满分14分） 解：（1）因为a1aa2a3*，， ① nN2nn2n1222所以当n1时，a12．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 当n2时，a1 ①－②得，

nan1a2a32n2n1， ② „„„„„„„2分 2222an2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 n12所以an2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 因为a12，适合上式， 所以an2nnN．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

*（2）由（1）得an2．

nan2nn所以bn„„„„„„„„„„„8分 n1an1an11212111．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 nn12121所以Snb1b2bn

11111111nn1„„„„„„„„12分 33771521211

12n11．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

20．（本小题满分14分）

（1）解法1：由PD2MD知点M为线段PD的中点．„„„„„„„„„„„„1分

设点M的坐标是(x,y)，则点P的坐标是x,2y．„„„„„„„„„„„„2分 因为点P在圆xy4上，

9

22

所以x2y4．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

22x2所以曲线C的方程为y21．„„„„„„„„„„„„„„„4分

4解法2：设点M的坐标是(x,y)，点P的坐标是x0,y0，

由PD2MD得，x0x，y02y．„„„„„„„„„„„„„„„„1分

22因为点Px0,y0在圆xy4上， 所以x0y04． ①„„„„„„2分

22把x0x，y02y代入方程①，得x4y4．„„„„„„„„„„„„„3分

22x2所以曲线C的方程为y21．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

4（2）解：因为EAEB，所以EAEB0．„„„„„„„„„„„„„„„5分

所以EABAEAEAEBEA．„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

2x12x1222y11，即y11设点Ax1,y1，则．„„„„„„„„„„„„8分 442x12222所以EABAEAx11y1x12x111

43342x122x12x1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 4433因为点Ax1,y1在曲线C上，所以2x12．„„„„„„„„„„„„11分

22342所以x19．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

343329．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 所以EABA的取值范围为，

21．（本小题满分14分）

解：（1）因为f(x)lnxax(a2)x，

10

223

所以函数fx的定义域为(0,)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 且f(x)12ax(a2)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 x因为f(x)在x1处取得极值， 所以f112aa20．

解得a1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 当a1时，f(x)当0x1(2x1)(x1)， 2x3xx11时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0．

22所以x1是函数yf(x)的极小值点．

故a1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）因为aa，

所以0a1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 由（1）知f(x)2(2x1)(ax1)．

x因为x(0,)，所以ax10． 当0x11时，f(x)0；当x时，f(x)0．

22121,上单调递减．„„„„„„„„7分 2所以函数f(x)在0,上单调递增；在①当0a12时，f(x)在[a,a]上单调递增， 232所以f(x)maxf(a)lnaaa2a．„„„„„„„„„„„„„„„„9分

1a,122112②当即a时，f(x)在a,上单调递增，在,a上单调递减，

222a21.22所以f(x)maxfaa2a1ln21ln2．„„„„„„„„11分 2424 11

③当

21a1时，f(x)在[a2,a]上单调递减， a2，即222532所以f(x)maxf(a)2lnaaa2a．„„„„„„„„„„„„„13分 综上所述： 当0a1232时，函数f(x)在[a,a]上的最大值是lnaaa2a； 2当

12a2时，函数f(x)在[a,a]上的最大值是1ln2； a2242a1时，函数f(x)在[a2,a]上的最大值是2lnaa5a32a2．„„„„14分 2当

12