2018上海高三数学一模难题

2017.12

一. 宝山区

11. 给出函数g(x)x2bx，h(x)mx2x4，这里b,m,xR，若不等式

g(x)(xt)恰有 g(x)b10（xR）恒成立，h(x)4为奇函数，且函数f(x)h(x)(xt)两个零点，则实数t的取值范围为

【解析】根据题意，x2bxb10恒成立，∴b24(b1)0，即b2.

2x2x,xtmxx为奇函数，∴m0，即f(x). 分零点讨论，如图所示，当

x4,xt t(,2)，1个零点；当t[2,0)，2个零点；当t[0,4)，3个零点，当t[4,)，

22个零点. 综上，t的取值范围为[2,0)[4,).

12. 若n（n3，nN*）个不同的点Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)、、Qn(an,bn)满足：

a1a2an，则称点Q1、Q2、、Qn按横序排列，设四个实数k、x1、x2、x3

22使得2k(x3x1)，x3，2x2成等差数列，且两函数yx2、y13图像的所有交点 xP3(x3,y3)按横序排列，则实数k的值为 2(x2,y2)、P1(x1,y1)、P22x3x2【解析】根据题意，2k(x3x1)，x，2x成等差数列，∴k，x1、x2、x3为

x3x12322方程x33x10的三个解，且x1x2x3. 解法一：x33x104()33()即cos3x2x21x，∵cos34cos33cos，设cos， 221360360n，20120n，nZ.∵cos140cos260cos20，， 222x3x24cos2204cos280 ∴x12cos140，x22cos260，x32cos20，kx3x12cos202cos40(2cos2201)(2cos2801)cos40cos160cos40cos201，即k1.

cos20cos40cos20cos40cos20cos40解法二：结合图像可知，x1x2x3，y2y1y3，两函数yx2、y13消去y可得 x方程x33x10（解分别为x1x2x3），消去x得方程y36y29y10（解分别 为y2y1y3），设f(x)x33x1，g(y)y36y29y1(y2)33(y2)1， 根据平移性质可知，函数g(y)图像可由f(x)图像按向量(2,2)平移得到，且f(x)对称中心 为(0,1)，∴g(y)的对称中心为(2,1)，∴f(x)与g(y)的图像关于(1,0)对称，如图所示，

22x3x2yy231 即ABCD，∴x3x1y3y2，∴kx3x1x3x1

解法三：利用计算器，求解三次方程x33x10，求出x1、x2、x3，代入求出k1. 16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设： 数列甲：x1、x2、x3、x4、x5为递增数列，且xiN（i1,2,,5）； 数列乙：y1、y2、y3、y4、y5满足yi{1,1}（i1,2,,5） 则在甲、乙的所有内积中（ ）

A. 当且仅当x11，x23，x35，x47，x59时，存在16个不同的整数，它们同为奇数

B. 当且仅当x12，x24，x36，x48，x510时，存在16个不同的整数，它们同为偶数

C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15、13、11、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A、C选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B选项，所以选D.

*二. 徐汇区

(1)n111. 若不等式(1)a3对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

n111【解析】当n为奇数，不等式为a3，即a3对一切奇数恒成立，

n1n1n∵3∵311，对一切偶数恒成立， 3，∴a3；当n为偶数，不等式为a3n1n11188，∴a；综上所述，a的取值范围是[3,). 3n1213312. 已知函数yf(x)与yg(x)的图像关于y轴对称，当函数yf(x)与yg(x)在区 间[a,b]上同时递增或同时递减时，把区间[a,b]叫做函数yf(x)的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数y|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是

【解析】结合图像，y|2xt|的零点xlog2t应满足log2t[1,1]，解得t[,2].

12

16. 如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，E为CC1的中点，点P、Q分别为面

A1B1C1D1和线段B1C上动点，求PEQ周长的最小值（ ）

A. 22 B.

10 C. 11 D. 12

【解析】作PGB1C1，取BC的中点F，∴QEQF， 作E关于B1C1的对称点H，∴GHGE，∴PQQE

PEGQQFGEGQQFGHFH10 所以选B.

三. 普陀区

11. 已知正三角形ABC的边长为3，点M是ABC所在平 面内的任一动点，若|MA|1，则|MAMBMC|的取值 范围为

【解析】根据题意，作出示意图

|MAMBMC||MAMAABMAAC|

|3MAABAC||3MAAD|，|MA|1，|AD|3

当MA与AD反向时，有最小值0，当MA与AD同向时， 有最大值6，所以|MAMBMC|的取值范围为[0,6].

x2y21绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图像，关于此函 12. 双曲线3数f(x)有如下四个命题：① f(x)是奇函数；

② f(x)的图像过点(333333,)或(,)；③ f(x)的值域是(,][,)； 222222④ 函数yf(x)x有两个零点；则其中所有真命题的序号为

【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得其中一条渐近线垂直于x轴，如图中红色 实线或红色虚线所示，结合图像，可知①②正确.

2x20x116. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)，且f(x1)f(x1)，则 x421x03x5函数g(x)f(x)在区间[1,5]上的所有零点之和为（ ）

x2 A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【解析】作出f(x)图像如图所示，周期为2，设

h(x)3x51，即求f(x)与h(x)交点 3x2x2横坐标之和. 结合图像可知，共有3个交点，其中 两个交点关于(2,3)点对称，另一个交点的横坐标 为1，所以交点的横坐标之和为2215，即 所有零点之和为5

四. 长宁区/嘉定区

2Snanan111. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a11，（nN*），若bn(1)n则数列{bn}的前n项和Tn 【解析】a11，2S1a1a2a22，2Sn2Sn1an(an1an1)2anan1an12， ∴奇数项1、3、5、…、成等差数列，偶数项2、4、6、…、成等差数列，综上ann，

2n1， anan1bn(1)n2n11111111(1)n()，∴b11，b2，b3，……，

n(n1)nn123342bn(1)n111，消项求和，Tn1(1)n. (1)nnn1n112. 若不等式x22y2cx(yx)对满足xy0的任意实数x、y恒成立，则实数c的 最大值为

y12()2x2yx， 【解析】典型恒成立问题，∵x(yx)0，∴参变分离得cyxyx21x12t212t22(t1)24(t1)1y的最小值，f(t) t(0,1)，即求f(t)t1t1t1x222(1t)12时等号成立，∴c的最大值为224. 4224，当且仅当t121t15. 对任意两个非零的平面向量和，定义|| cos，其中为和的夹角，

||若两个非零的平面向量a和b满足：① |a||b|；② a和b的夹角(0,)；③ ab和

4nba的值都在集合{x|x,nN}中，则ab的值为（ ）

2531 A. B. C. 1 D.

222【解析】根据题意，合{x|x2|b||b|cos1，∵ba的值在集1，cos(,1)，∴ba2|a||a|n|b|1|a|,nN}中，∴bacos，∴2cos(2,2)，∴ab 22|a||b|n3|a|cos2cos2(1,2)，∵ab的值在集合{x|x,nN}中，∴ab. 选B.

22|b|12x0x216. 已知函数f(x)，且f1(x)f(x)，fn(x)f(fn1(x))，

122xx12n1,2,3,，则满足方程fn(x)x的根的个数为（ ）

A. 2n个 B. 2n2个 C. 2n个 D. 2(2n1)个

【解析】画出f1(x)、f2(x)、f3(x)的图像，如图所示，由图可知，f1(x)x有2个根，

f2(x)x有22个根，f3(x)x有23个根，…，归纳可得，fn(x)x有2n个根.

五. 金山区

10. 向量i、j是平面直角坐标系x轴、y轴的基本单位向量，且|ai||a2j|5，则|a2i|的取值范围为

【解析】本题与2016年虹口一模17题几乎一样， 根据题意，i(1,0)，j(0,1)，设a(x,y)， 根据|ai||a2j|5的几何意义，(x,y)轨 迹是一条线段（图中AB），|a2i|的几何意义为

(x,y)到点(2,0)的距离，由图可知，距离最短

为CD6565,3] ，最长为AD3，范围为[5511. 某地区原有森林木材存有量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末

1a，设an为第n年末后该地区森林木材存量，则an 105a2a5【解析】根据题意，anan1，待定系数，an(an1)，可得，

410542a23a2a3a2a3a5n15∴{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an()

5205454443a5n3a5n2a5aa23a. 本题要注意a1a，a1. ()，即an()5454541020要砍伐的木材量为12. 关于函数f(x)|x|，给出以下四个命题：① 当x0时，yf(x)单调递减且没

||x|1|有最值；② 方程f(x)kxb（k0）一定有实数解；③ 如果方程f(x)m（m为常 数）有解，则解的个数一定是偶数；④ yf(x)是偶函数且有最小值；其中假命题的序号 是

【解析】根据图像可得，① 在(0,1)单调递增，错误；② 正确；③ f(x)0只有一个解，错误；④ 为偶函数，最小值为0，正确；∴假命题是①③.

16. 给出下列四个命题：（1）函数yarccosx（1x1）的反函数为ycosx（xR）；

1t2x2m2m11t（2）函数yx（mN）为奇函数；（3）参数方程（tR）所表示的 y2t1t2211曲线是圆；（4）函数f(x)sin2x()x，当x2017时，f(x)恒成立；其中真

322命题的个数为（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【解析】① ycosx定义域为R，yarccosx的值域不为R，不能互为反函数，错误； ② ∵mN，∴m(m1)为偶数，∴m2m1为奇数，∴yxm2m1为奇函数，正确；

③ 消参可得方程为x2y21，x1，不是一个完整的圆，错误；④ f(x)1恒成立， 2即sin2x()x在(2017,)上恒成立，因为sin2x[0,1]且有周期性，()x(0,)，结 合图像性质可知，不能恒成立，错误. 正确的只有②，所以选D.

2323六. 青浦区

log2(xa)x010. 已知函数f(x)2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

x3axax0【解析】由题意，当x0，ylog2(xa) 有一个零点，∴a0且f(0)0，∴a1； 当x0时，yx23axa有两个不同的零 点，9a24a0，a4；综上，a1. 911. 已知Sn为数列{an}的前n项和，a1a21，平面内三个不共线的向量OA、OB、OC满足OC(an1an1)OA(1an)OB，n2，nN*，若A、B、C在同一直线上，则

S2018 【解析】由题意，A、B、C在同一直线上，∴an1an11an1，即an1an1an，

a1a21，a30，a4a51，a60，a7a81，a90，……，可知周期为6，

且每6项之和为0，∵201863362，∴S2018a1a233602.

x12. 已知函数f(x)m(xm)(xm2)和g(x)33同时满足以下两个条件：

① 对任意实数x都有f(x)0或g(x)0； ② 总存在x0(,2)，使f(x0)g(x0)0成立；

则m的取值范围是

【解析】由题意，根据① 对任意实数x都有f(x)0或

g(x)0，可得m0，f(1)0，解得3m0；

根据② 总存在x0(,2)，使f(x0)g(x0)0成立， 可得f(2)0，解得m2；综上，m(3,2)

16. 在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1:x2y212和C2:x2y214，又点A坐标为(3,1)，M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（ ）

A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 【解析】数形结合，如图所示，选D

七. 虹口区

x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两 10. 设椭圆43点，若△MNF2的内切圆的面积为，则SMNF2

【解析】设内切圆半径为r，△MNF2的周长为C，根据题意，r1，C4a8，

1SMNF2Cr4

211. 在ABC中，D是BC的中点，点列Pn（nN*）在直线AC上，且满足

PnAan1PnBanPnD，若a11，则数列{an}的通项公式an PnBPnCPBPnCaa PnD，PnAan1PnBann(an1n)PnBnPnC，

2222aa11∵PnA与PnC共线，但不与PnB共线，∴an1n0，n1，an()n1.

an222【解析】

12. 设f(x)x22axb2x，其中a,bN，xR，如果函数yf(x)与函数

yf(f(x))都有零点且它们的零点完全相同，则(a,b)为

【解析】设零点x0，f(x0)0，f(f(x0))0f(0)0，∴b0，∴f(x)x22ax， 当a0，f(x)x2，f(f(x))x4，有唯一零点x0，符合；当a0，f(x)x(x2a)， 有两个零点x10和x22a，f(f(x))f(x)[f(x)2a]0f(x)0和f(x)2a， ∵f(x)0已满足有两个相同的零点x10和x22a，∴方程f(x)2a无解， 即x22ax2a0无解，4a28a00a2，∴a1；

综上，(a,b)为(0,0)或(1,0).

16. 已知RtABC中，A90，AB4，AC6，在三角形 所在的平面内有两个动点M和N，满足|AM|2，MNNC， 则|BN|的取值范围是（ ）

A. [32,34] B. [4,6] C. [25,42] D. [2263122,63122] 33【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角 坐标系，根据题意，M点的轨迹为x2y24，设N点 坐标为(m,n)，∵N为MC中点，则M点为(2m,2n6)， 代入方程x2y24可得到N点轨迹m2(n3)21， 是一个以(0,3)为圆心，1为半径的圆，设圆心(0,3)为

D，可得BD5，∴|BN|的最小值为BD14，

最大值为BD16，选B.

八. 杨浦区

11. 已知函数f(x)cosx(sinx3cosx)为奇函数，则的值为

3，设0，若函数g(x)f(x) xR，23sin(2x)，g(x)sin(2x2)为奇 233k函数，且0，∴2k，，kN*.

326【解析】f(x)cosx(sinx3cosx)x212. 已知点C、D是椭圆y21上的两个动点，且点M(0,2)，若MDMC，则实

4数的取值范围为 【解析】数形结合，取极端情况. 作CE⊥y轴，DF⊥y轴，

MDMFMB13，同理 MCMEMA3当D点位于(0,1)，C点位于(0,1)时，等于3； 当D点位于(0,1)，C点位于(0,1)时，等于

11，∴[,3]. 33ACAD0，16. 设A、且满足ABAC0，C、B、D是半径为1的球面上的四个不同点，

ADAB0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1S2S3的

最大值是（ ） A.

1 B. 2 C. 4 D. 8 2【解析】构造如图所示的长方体，根据题意，该长方体的 体对角线长度等于球的直径，为2，设ADa，ACb，

ABc，∴a2b2c24，S1S2S3abbcac

2121[(ab2)(b2c2)(a2c2)][2(a2b2c2)]2， 44∴选B.

九. 松江区

10. 已知函数f(x)x|2xa|1有三个零点，则实数a的取值范围为 【解析】分类讨论，设g(x)x|2xa|，可以看作g(x)与y1有三个交点， 当a0，g(x)图像如图所示，易知与y1只有1个交点，不符；

当a0，g(x)图像如图所示，要与y1有3个交点，需满足f()1，即a22.

a4

11. 定义F(a,b)

aab，已知函数f(x)、g(x)的定义域都是R，则下列四个命题中

bab为真命题的是 （写出所有真命题的序号）

① 若f(x)、g(x)都是奇函数，则函数F(f(x),g(x))为奇函数； ② 若f(x)、g(x)都是偶函数，则函数F(f(x),g(x))为偶函数； ③ 若f(x)、g(x)都是增函数，则函数F(f(x),g(x))为增函数； ④ 若f(x)、g(x)都是减函数，则函数F(f(x),g(x))为减函数. 【解析】①的反例如图所示，②③④为真命题

12. 已知数列{an}的通项公式为an2qnq（q0，nN*），若对任意m,nN*都有

am1(,6)，则实数q的取值范围为 an6an11(,6)，∴an0，a22q2q0，q(,0). a162a113q116∴a1最小，a2最大，1(,6)，，解得，即q(,0). qa2662q2q44【解析】q0，a13q0，

16. 已知曲线C1:|y|x2与曲线C2:x2y24恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）

A. (,1][0,1) B. (1,1] C. [1,1) D. [1,0](1,)

x2y2【解析】分类讨论，当0，y2，符合题意；当0，1.

44当0，表示椭圆，根据题意，

44，01；当0，表示双曲线，渐近线斜率

小于等于1，1，10，综上所述，[1,1)，选C.

（分析整理 谭峰）