实正交矩阵的性质及判定
作者：司凤娟
来源：《科技视界》 2013年第17期
司凤娟
（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274015）
【摘 要】本文讨论了实正交矩阵的若干性质以及利用性质和定义判定矩阵的正交性。
【关键词】矩阵；正交矩阵；判定
１ 正交矩阵的性质
定义1 如果n阶矩阵A满足ATA=E（即A-1=AT），那么称A为正交矩阵，简称正交阵。
规定：本文中的正交阵都是实矩阵。
性质1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量（行向量）都是单位向量，且两两正交。
性质2 若A为正交矩阵，则|λ|=±1。
性质3 若A为正交矩阵，则A-1为正交矩阵。
性质4 若A为正交矩阵，则它的伴随矩阵A*为正交矩阵。
证明：∵A*=|A|A-1，又∴|A|=±1，当|A|=1时，∵A*=A-1，∴A*为正交矩阵；
当|A|=－1时，A*=－A-1，（A*）ＴA*=（－A-1）T（－A-1）＝（A-1）TA-1＝Ｅ，∴A*为正交矩阵。
性质5 若A，Ｂ都为正交矩阵，则AＢ为正交矩阵。
性质6 若A为ｎ阶正交矩阵，则A的特征值的模为1。
证明：设ｘ为ｎ维非零复向量，λ为复数，且Aｘ＝λｘ，（1）
【参考文献】
［１］同济大学数学系.工程数学线性代数[M].５版.2007.
［责任编辑：王静］
