一．选择题（共10小题） 1．使二次根式A．
有意义的x的取值范围是（ ） B．
C．x≤3
D．x≤﹣3
2．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ） A．平均数是4
B．众数是3
C．中位数是5
D．方差是3.2
3．下列各组数据不是勾股数的是（ ） A．2，3，4
B．3，4，5
C．5，12，13
D．6，8，10
4．下列各式计算错误的是（ ） A．C．
B．D．
5．下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是（ ） A．对边相等 C．对角线相等
6．下列函数中不经过第四象限的是（ ） A．y＝﹣x
B．y＝2x﹣1
C．y＝﹣x﹣1
D．y＝x+1
B．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ） A．10米
B．11米
C．12米
D．13米
8．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（ ） A．5
B．6
C．6.5
D．12
9．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则mx+n＜﹣x+a的解集为（ ）
A．x＞3
B．x＜1
C．x＜3
D．0＜x＜3
10．如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y铀交于A，B两点，过原点O作OA1垂直于直线AB交AB于点A1，过点A1作A1B1垂直于x轴交x轴于点B1，过点B1作B1A2
垂直于直线AB交AB于点A2，过点A2作A2B2垂直于x轴交x轴于点B2…，依此规律作下去，则点A5的坐标是（ ）
A．（﹣
，）
B．（
，）
C．（﹣
，）
D．（﹣，）
二．填空题（共7小题） 11．将二次根式
化为最简二次根式 ．
12．一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的中位数为 ．
13．一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 ．
14．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ． 15．将直线y＝2x﹣4向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 ．
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥CD，OE∥BC交CD于E，若OC＝4，CE＝3，则BC的长是 ．
17．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论： ①EC＝2DG； ②∠GDH＝∠GHD； ③S△CDG＝S四边形DHGE； ④图中只有8个等腰三角形． 其中正确的有 （填）．
三.解答题 18.计算：
×
﹣（1﹣
）2．
19.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．
20.小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系． （1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
21.如图，直线l1在平面直角坐标系中与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线l1上． （1）求点C的坐标和直线l1的解析式；
（2）已知直线l2：y＝x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．
22.观察下列各式及其验算过程：
＝2，验证：＝＝＝2；
＝3，验证：＝＝＝3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 23.我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复賽，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：
九（1） 九（2）
平均数 a 85
中位数 85 b
众数 c 100
（1）根据图示求出表中的a，b，c．a＝ 85 ，b＝ 80 ，c＝ 85 ． （2）请你帮小明同学分析哪个班级的复赛成绩较好？
24.如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？
25.如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广东省惠州市惠城区八年级（下）期末数学试卷
参与试题解析
一．选择题（共10小题） 1．使二次根式A．
有意义的x的取值范围是（ ） B．
C．x≤3
D．x≤﹣3
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x+1≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：3x+1≥0， 解得：x≥﹣， 故选：B．
2．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ） A．平均数是4
B．众数是3
C．中位数是5
D．方差是3.2
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可． 【解答】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2． 故选：C．
3．下列各组数据不是勾股数的是（ ） A．2，3，4
B．3，4，5
C．5，12，13
D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意； B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意； D、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意； 故选：A．
4．下列各式计算错误的是（ ） A．C．
B．D．
【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法、平方差公式及二次根式的除法分别计算可得． 【解答】解：A、4B、C、D、
÷
＝
×
＝
﹣
＝3
，此选项计算正确；
，此选项计算正确；
＝（
）2﹣（
）2＝3﹣2＝1，此选项计算错误；
＝3，此选项计算正确；
故选：C．
5．下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是（ ） A．对边相等 C．对角线相等
B．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
【解答】解：∵菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，
∴菱形具有而矩形不具有的是对角线互相垂直， 故选：D．
6．下列函数中不经过第四象限的是（ ） A．y＝﹣x
B．y＝2x﹣1
C．y＝﹣x﹣1
D．y＝x+1
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、函数y＝﹣x中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误；
B、函数y＝2x﹣1中的k＝2＜0，b＝﹣1＜0则该函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、函数y＝﹣x﹣1中的k＝﹣1＜0，则该函数图象经过二、四象限，故本选项错误； D、函数y＝x+1中的k＝1＞0，b＝1＞0则该函数图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故本选项正确； 故选：D．
7．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ） A．10米
B．11米
C．12米
D．13米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝7米，BD为两树距离8米， 过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米， 在直角三角形AEC中， AC＝
＝10米，
答：小鸟至少要飞10米． 故选：A．
8．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（ ） A．5
B．6
C．6.5
D．12
【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12， ∴斜边＝
＝13，
∴第三边上的中线长为×13＝6.5． 故选：C．
9．一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如图所示，则mx+n＜﹣x+a的解集为（ ）
A．x＞3
B．x＜1
C．x＜3
D．0＜x＜3
【分析】结合函数图象，写出直线y1＝mx+n在直线y2＝﹣x+a的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象得，当x＜3时，y1＜y2， 所以mx+n＜﹣x+a的解集为x＜3． 故选：C．
10．如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y铀交于A，B两点，过原点O作OA1垂直于直线AB交AB于点A1，过点A1作A1B1垂直于x轴交x轴于点B1，过点B1作B1A2垂直于直线AB交AB于点A2，过点A2作A2B2垂直于x轴交x轴于点B2…，依此规律作下去，则点A5的坐标是（ ）
A．（﹣
，）
B．（
，）
C．（﹣
，）
D．（﹣，）
【分析】根据一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣4，0），B（0，4），可得△AOB是等腰直角三角形，进而得出四边形A1B1OC是正方形，可求出点A1的坐标，进而可以得出四边形A2B2B1D，四边形A3B3B2E也是正方形，求出点A2的坐标，点A3的坐标，根据点A1，点A1，点A3的坐标呈现的规律，可以得出点A5的坐标． 【解答】解：过A1、A2、A3、…分别作A1C⊥BO，A2D⊥A1B1，A3E⊥A2B2，…垂足分别为C、D、E、…，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∵OA1⊥AB，
∴∠A1OB＝∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴OC＝A1C＝BC＝OB＝2， 可得四边形A1B1OC是正方形，
同理可得四边形A2B2B1D，四边形A3B3B2E也是正方形， ∴点A1（﹣2，2），
可求A2D＝A2B2＝A1B1＝1， ∴点A2（﹣2﹣1，1），
同理A3（﹣2﹣1﹣，），即， ……
A5（﹣2﹣1﹣﹣﹣，），即A5（﹣故选：C．
，），
二．填空题（共7小题） 11．将二次根式
化为最简二次根式 5
．
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案． 【解答】解：原式＝5故答案为：5
，
12．一组数据：1、2、4、3、2、4、2、5、6、1，它们的中位数为 2.5 ． 【分析】将数据重新排列，再根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为1、1、2、2、2、3、4、4、5、6， 所以这组数据的中位数为故答案为：2.5．
13．一次函数的图象经过点（0，﹣2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的一次函数表达式 y＝x﹣2 ．
【分析】∵函数值y随着自变量x的增大而增大，∴x的系数应大于0．可设x的系数为1或其他正数都可，把点的坐标代入求b的值即可．
【解答】解：由题意得x的系数应大于0，可设x的系数为1， 那么此一次函数的解析式为：y＝x+b，
＝2.5，
把（0，﹣2）代入得b＝﹣2．
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣2．（答案不唯一） 故答案为：y＝x﹣2．
14．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为
．
【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2＝52+122， 则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高， 可得：斜边的高＝故答案为：
．
．
15．将直线y＝2x﹣4向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 y＝2x﹣8 ． 【分析】直接利用一次函数平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【解答】解：∵将直线y＝2x﹣4向下平移4个单位， ∴平移后解析式为：y＝2x﹣4﹣4＝2x﹣8． 故答案为：y＝2x﹣8．
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥CD，OE∥BC交CD于E，若OC＝4，CE＝3，则BC的长是 10 ．
【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长．进而解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∵OE∥BC， ∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线， ∵CE＝3cm，
∴DC＝2OE＝2×3＝6． ∵CO＝4， ∴AC＝8， ∵AC⊥CD， ∴AD＝
∴BC＝AD＝10， 故答案为：10．
17．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论： ①EC＝2DG； ②∠GDH＝∠GHD； ③S△CDG＝S四边形DHGE； ④图中只有8个等腰三角形． 其中正确的有 ②③ （填）．
＝
＝10，
【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD＝CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG＝∠BDC＝45°，求出∠BGC＝∠GBC，得到BC＝CG＝CD，求出∠CDG＝∠DHG即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；可得有9个等腰三角形． 【解答】解：∵正方形ABCD，DE＝AD， ∴AD∥BC，DE＝BC，∠EDC＝90°， ∴四边形DECB是平行四边形， ∴BD＝CE，BD∥CE， ∵DE＝BC＝AD，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
要使CE＝2DG，只要G为CE的中点即可， 但DE＝DC，DF＝BD， ∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中点，∴①错误； ∵∠ADB＝45°，DF＝BD， ∴∠F＝∠DBH＝∠ADB＝22.5°， ∴∠DHG＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°， ∵BD∥CE，
∴∠DCG＝∠BDC＝45°， ∵∠DHG＝67.5°，
∴∠HGC＝22.5°，∠DEC＝45°，
∵∠BGC＝180°﹣22.5°﹣135°＝22.5°＝∠GBC， ∴BC＝CG＝CD，
∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣45°）＝67.5°＝∠DHG，∴②正确；
∵CG＝DE＝CD，∠DCE＝∠DEC＝45，∠HGC＝22.5°，∠GDE＝90﹣∠CDG＝90﹣67.5＝22.5°， ∴△DEG≌△CHG，
要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG， ∴③S△CDG＝S四边形DHGE；正确，
等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④错误； 故答案为：②③． 三.解答题 18.计算：
×
﹣（1﹣
）2．
【考点】79：二次根式的混合运算． 【专题】514：二次根式；66：运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【解答】解：原式＝＝2＝4
﹣4+2﹣4．
﹣（1﹣2
+3）
19.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质． 【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】由AE与CF平行，得到一对内错角相等，可得出领补角相等，由四边形ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行且相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AED＝∠CFB， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF．
20.小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg．图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系． （1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【考点】FH：一次函数的应用．
【专题】522：分式方程及应用；533：一次函数及其应用．
【分析】（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，运用待定系数法即可求解； （2）设小李共批发水果m吨，则单价为﹣0.01m+6，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．
【解答】解：（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得
，解得
，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣0.01x+6（100≤x≤300）；
（2）设小李共批发水果m千克，则单价为﹣0.01m+6， 根据题意得：﹣0.01m+6＝解得m＝200或m＝400，
经检验，m＝200，m＝400（不合题意，舍去）都是原方程的根． 答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
21.如图，直线l1在平面直角坐标系中与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线l1上． （1）求点C的坐标和直线l1的解析式；
（2）已知直线l2：y＝x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．
，
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】（1）根据平移的法则即可得出点C的坐标，设直线l1的解析式为y＝kx+c，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式；
（2）由点B的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、E，根据三角形的面积公式即可求出△ABE的面积． 【解答】解：（1）由平移法则得：C点坐标为（﹣3+1，3﹣2），即（﹣2，1）．
设直线l1的解析式为y＝kx+c， 则
，解得：
，
∴直线l1的解析式为y＝﹣2x﹣3． （2）把B点坐标代入y＝x+b得， 3＝﹣3+b，解得：b＝6， ∴y＝x+6． 当x＝0时，y＝6， ∴点E的坐标为（0，6）． 当x＝0时，y＝﹣3， ∴点A坐标为（0，﹣3）， ∴AE＝6+3＝9，
∴△ABE的面积为×9×|﹣3|＝22.观察下列各式及其验算过程：
＝2
，验证：
＝
＝
＝2
；
．
＝3，验证：＝＝＝3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 【考点】73：二次根式的性质与化简． 【专题】2A：规律型． 【分析】（1）利用已知，观察
＝2
，
＝3
，可得
的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律； 【解答】解：（1）∵∴验证：
＝4
＝
＝4＝
＝2＝
，， ，正确；
＝3
，
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴＝，
验证：＝＝；正确；
23.我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复賽，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题：
九（1） 九（2）
平均数 a 85
中位数 85 b
众数 c 100
（1）根据图示求出表中的a，b，c．a＝ 85 ，b＝ 80 ，c＝ 85 ． （2）请你帮小明同学分析哪个班级的复赛成绩较好？
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到哪个班级的复赛成绩较好，注意本题答案不唯一，只要合理即可． 【解答】解：（1）a＝
＝85，
九（2）的成绩按照从小到大排列是70，75，80，100，100，故b＝80， c＝85，
故答案为：85，80，85；
（2）九（1）的成绩较好，理由：两个班的平均数一样，但是九（1）的中位数大于九（2）的中位数，说明九（1）的成绩高于九（2）．
24.如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；LA：菱形的判定与性质．
【分析】（1）由PQ为线段AC的垂直平分线得到AE＝CE，AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE＝CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形；
（3）由菱形的性质和勾股定理求出AD，得出AC的长，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线， ，∴AE＝CE，AD＝CD， ∵CF∥AB，
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED， 在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）； （2）证明：∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴EC＝EA，FC＝FA， ∴EC＝EA＝FC＝FA， ∴四边形AECF为菱形；
（3）解：∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF， ∵ED＝6，AE＝10， ∴EF＝2ED＝12，AD＝∴AC＝2AD＝16，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．
25.如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
＝8．
【考点】FI：一次函数综合题． 【专题】16：压轴题．
【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论； （3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上， ∴
，
解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°， ∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB＝4
，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP， ∴△OBP≌△O'BP（AAS）， ∴O'B＝OB＝4， ∴AO'＝4
﹣4，
﹣4＝OP，
＝8
﹣8；
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4∴S△BOP＝OB•OP＝
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4， ∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4∴S△BOP＝OB•OP＝
（3）分4种情况：
+4，
＝8
+8；
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）； ②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°， ∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB， ∴∠APB＝22.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB＝4∴OP＝4+4∴P（4+4
， ， ，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°， △PCA中，∠APC＝22.5°， ∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP＝4∴OP＝4∴P（4﹣4
，
﹣4， ，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称， ∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4
，0）或（4﹣4
，0）或（﹣4，0）．
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