六年级分数裂项

六年级分数裂项

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分数裂项计算

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

教学目标

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即在前面，即ab，那么有

1111() abbaab1形式的，这里我们把较小的数写ab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

11，形式的，我们有：

n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

abab11a2b2a2b2ab（1）  （2）

abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

例题精讲

【例 1】

11111 。 1223344556

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

1111【解析】 原式122311115 56166提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：程就要变为：

1111111． 133557791925【答案】

61111，计算过13355779【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

111111111【解析】 原式()()......()

1011111259601060121【答案】

12【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

1111【解析】 原式29107【答案】

1511111172 453431015【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类

问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，

对分母进行等差数列求和运算公式的代入有1112，

(11)1122112，……， 12(12)22322222120099原式 2(1)112233410010110110110199【答案】1

101【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【答案】

50 101

111【巩固】 计算：251335571 2325【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

11111【解析】 原式2523351111252425112

2252252325【答案】12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式2511111612233411 500501501502【答案】1521 32【巩固】 计算：

3245671 255771111161622222929【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式11111111111111 2557711111616222229292【答案】

11111111【例 2】 计算：()128

824488012016822428812【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，101中学

【解析】 原式（1112446681）128 16184911111111【巩固】 _______

612203042567290【答案】28

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为： 【答案】

【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算 【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式1251111212312341

1234567【答案】

【巩固】 计算：

74111111111＝ 2612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式111111111() 223344556677889910

1 1011111【巩固】  。

104088154238【答案】

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式11111 255881111141417【答案】

5 34【例 3】 计算：

1111353575791

200120032005【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】 原式1111141335355711 2001200320032005【答案】

1004003

12048045【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，仁华学校

79161111118290【解析】 原式 1133557791331.2540.8323【答案】

3611111【例 4】 计算：123420

261220420【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第五届，小数报，初赛

【解析】 原式1231111202612201 420【答案】21020 21【巩固】 计算：200811111= 。 2009201020112012185410818027011111 366991212151518【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式200820092010201120125 5411224【巩固】 计算： ____。

26153577【答案】10050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】原式1325375117 26153577【答案】

10 11

1111111【巩固】 计算： 315356399143195【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：322113，

1542135，……，19514211315，

所以原式【答案】

7 151111111 1335577991111131315【巩固】 计算：

1511192926122030970199 ． 97029900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，四中

111【解析】 原式11126121【答案】98

10011 9900【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 首先分析出

1n1n11111

n1nn12n1nn12n1nnn111111111 67787889原式212232334【答案】

35 144【巩固】 计算：

111232341

9899100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111111【解析】 原式()

212232334349899991004949【答案】

198001111【巩固】 计算： 135246357202224【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111＋＋…+++…+ 357135192123246202224111111＝(－)＋(－) 4134242123222465281601046540＝＋＝＋

211234003234003248338625＝ 34003238625【答案】

340032【解析】 原式＝

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】

3200 9603

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11991001100100【解析】 ＝＝－＝－

231232312312312398100210021001 ＝＝－＝－ 2342342342342343497100310031001 ＝＝－＝－…… 34534534534534545110099100991001＝＝－＝－

9910010199100101991001019910010199100101100101100100100100111原式...(...)

12323434599100101233410010151【答案】24

101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

11111【解析】 原式3123234234345119【答案】

216011 7898910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1111111【解析】 原式3[(...)]

31232342343451718191819201139【答案】

68405719【例 5】 计算： ．

1232348910【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但

是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

原式3234123234316

8910也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为

2n3，所以

2n323，再将每一项的nn1n2n1n2nn1n223与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的

n1n2nn1n2方法相同．

【答案】

23 15【巩固】 计算：1155（572343451719 ）891091011【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级

【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：

571719．这个算式不同于我们常见的分数裂项234345891091011的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．

观察可知523，734，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

所以原式115531651． 55（法二）

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为and，其中d为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a与nd分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．

112234131， 1222031142205531所以原式1155651．

55（法三）

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的： 所以原式115531651． 55（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：

an2n1（n2，3，……，9）

n(n1)(n2)如果将分子2n1分成2n和1，就是上面的法二；如果将分子分成n和n1，就是上面的法一． 【答案】651

【巩固】 计算：

34512452356346712

10111314【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的

乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

324252原式123452345634567122 1011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32154，42264，52374……

324252原式12345234563456775【答案】

616【解析】 原式122 1011121314【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

12342232342345923410

【答案】

3628799

3628800【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

【解析】 原式13141516171 121231234123451234561234567【答案】

5039 5040233!4!99 . 100!【巩固】 计算：

【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就

豁然开朗了．

23123123411【答案】

2100!原式99

123100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

234550＋＋＋＋…＋ 1336610101512251275111111112741＝（）＋（）＋（）＋（）＝ 36610131275122512751274【答案】

1275【解析】 原式＝

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

211311【解析】 ，，……， 1(12)112(12)(123)1212310011，所以 (1299)(12100)1299121001原式1

121005049【答案】

5050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

23410【解析】 原式1()

133661045551【答案】

55111111【例 6】 222222 .

31517191111131【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：a2b2(ab)(ab)，

原式(【答案】

3 14111111)()()()()() 24466881010121214【巩固】 计算：(11111)(1)(1)(1)22324252(111)(1) 482492

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1112411113，1(1)(1)，……所以， (1)(1)3233332222221324485015025原式

223349492494925【答案】

4935715【巩固】 计算：22222222

12233478【解析】 1【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

2212322242328272【解析】 原式22222222

1223347863【答案】

321521721199321199521【巩固】 计算：222 ．

315171199321199521【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

2222211111【解析】 原式 222223151711993119951997【答案】997

19961232224232529821002【巩固】 计算：22 ．

21321419921【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

123210224220325234104204344【解析】 2，2，2，……由于2，2，2，

2134115318881515334444可见原式22222222

2131419914751【答案】198

4950122232502【巩固】 计算： ．

13355799101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平

方差公式分别变为221，421，621，……，10021，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．

1224262原式22242141611002 10021【答案】1263 101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】

3 10【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，附中

36233445566736111111【解析】 原式=...=4

57233445566757233467【答案】4

132579101119【巩固】计算：

3457820212435【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1325711111121【解析】 原式111115

3457845373857【答案】5

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

1231111112113【解析】 原式

35734454756673【答案】3

4【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式111111111111111 23303141317717430341431【答案】2

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

5791113153718 【解析】 原式86122030425617【答案】10

5791113151719【巩固】 计算：1

612203042567290【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式123344556677889910 23344556677889910【答案】

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式35111111112111 4534453556【答案】3

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式1232341918192021919...21736 2123431819201912020【答案】3619 20【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

【解析】 原式=

2008111200711(...)(...) 2008120072200620071200812006200612008111200711=(...)(...) 2008120072200620071200812006200611200820082008120072007=(...)(...) 20081200722006200712008120062006111111111111=[(...)(...)] 20081200722006200711200620061

11111111111[(...)(...)] 200812007220062007112006200611111= ()20082007200720150281【答案】

2015028111111【例 7】 计算：

23459899515299=

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算

111111111【解析】 原式 983599515299241111111112【解析】  50354998245254111111111 【解析】 5035492627492411【解析】 2411【解析】 2411【解析】 2411【解析】 24111243511124351111235111123511122526281112513141112111416111117811 485011 2450111 245025111 12502511111111112【解析】  246358101250251111111111【解析】  246354565025【解析】 11149 502550【答案】

49 50【例 8】 计算：

24633535712

357911【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算

315171131 33535735791113111111【解析】 357911335335【解析】 原式【解析】 1【解析】 1 357911131

35791113135134 135135【答案】

135134 1351352328241719135357211 1719211222【例 9】 计算：

133557

【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算

2324【解析】 135357224【解析】 1335572112244171921133535572829 171919212282417191335572829 171919212929 1719192112【解析】 所以原式1335291512133379【解析】  【答案】379399

192113399399