2机械控制工程基础第二章答案

2。1 什么是线性系统？其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中，xo表示系统输出，xi表示系统输入,哪些是线性系统？ （1） o2x （3） o2x2x2x (2） 2x2tx2x xxxoooioooi2x2x (4) 2xx2tx2x xxooiooooi解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统.线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和(3)是线性系统。 2。2 图（题2.2)中三同分别表示了三个机械系统.求出它们各自的微分方程，图中xi表示输入位移,xo表示输出位移，假设输出端无负载效应.

图（题2。2) 解: (1)对图（a）所示系统，由牛顿定律有

x)cxm c(xx1io2oo 即

(cc)x ocxmxo121i （2）对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并由牛顿定律有

x)(xx)kc(xi1o(1) (2)

x)kxc(xo2o消除中间变量有

kkxckx c(kk)x12o12o1i (3)对图（c）所示系统，由牛顿定律有 即

x)k(xx)kxc(xio1io2o

(kk)xcxkx cxo12oi1i 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题2。3）

解：（1）对图(a）所示系统，设i1为流过R1的电流,i为总电流，则有

1 uRiidtC uuRi

o22

io11

1uu(ii)dtCio11

消除中间变量，并化简有

1CR(1)uCRuuCRRC

1CR()uuCRuCRRC1112oo22222112iii1221o

（2）对图(b)所示系统,设i为电流，则有

1 uuRiidtC1 uidtRi Cio11o22

消除中间变量，并化简有

11)1

(RR)u(uuRuCCC12oo2ii1222.4 求图（题2.4）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。

解：设系统输入为M（即），输出（即），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

消除中间变量

Rk(Rx) CMJc k(Rx)mxxmx，即可得到系统动力学方程

(RkmCcKJ)kmJ(mCcJ)（cRC）cMKMmM(4)22mmm2。5 输出y（t）与输入x（t)的关系为y（t）= 2x(t)+0.5x3（t). (1)求当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y,写出新的线性化模型。 解: (1） 将

3=0,=1，=2分别代入y(t）= 2x（t)+0。5xoxoxox（t)中,

即当工作点为xo=0，xo=1，xo=2时相应的稳态输出值分别为yo0，

y2.5，

0y8。

o （2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得

x,y)附近，

ooyy2x0.5x(21.5x)|xx•x32oooo

 若令xy(21.5x)|xx2•ox

x,yy0有

y(21.5x)x

2020 当工作点为xo时,

y(21.5x)x2x20 当工作点为xo1时，

y(21.5x)x3.5x

当工作点为xo2时,

y(21.5x)x8x

202.6已知滑阀节流口流量方程式为Qcwxv2p，式中．Q为通过

节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差;xv为节流阀的位移量;c为疏量系数；w为节流口面积梯度;为油密度.试以Q与p为变量(即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化.

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F（xv，p）在预定工作点F(xo,po）处按泰勒级数展开为

QF(xvo,po)(

FxvF)(xvo,po)•xv(P)(xvo,po)•p消除高阶项，有

QF(xvo,po)(



FxvF)(xvo,po)•xv(P)(xvo,po)•p

QF(xv,p)F(xvo,po)

Fxv

F(xvo,po)(

F)(xvo,po)•xv(P)(xvo,po)•pF(xvo,po)(

FxvF)(xvo,po)•xv(P)(xvo,po)•p

FF)（若令K(，K(， |xvo,p）|xvo,p）)（oopxv12 QK1•xKv2•p

将上式改写为增量方程的形式

QK1•xK•pv2

2。7 已知系统的动力学方程如下，试写出它们的传递函数Y(s）/R(s).

（1）(t)y(t)50y(t)500y(t)(t)15yr(t)2r(t)0.5r(t) 25y(t)0.5r(t) 25y

（2）5(t)y（3）(t)y（4）(t)y(t)6y(t)4y(t)dt4r(t) 3y解:根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y（s）/R（s）。 (1）

sY(s)15sY(s)50sY(s)500Y(s)sR(s)2sR(s) s2s Y(s)/R(s)

2s15s50s50032222(2)

5sY(s)25sY(s)0.5sR(s)2

 (3）

20.5sY(s)/R(s)25s25s

sY(S)25SY(s)0.5R(s)  Y(S)/R(s)0.52s25s

(4)

1sY(s)3sY(S)6Y(s)4Y(s)4Y(s)

s24s  Y(s)/R(s)32s3s6s4

2。8 如图（题2。8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型,试以位移x为输入量,位移y为输出量，求系统的传递函数Y（s)/X(s）。

2。9 试分析当反馈环节H(s）=1,前向通道传递函数G（s）分别为惯性环节、微分环节、积分环节时,输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为

KG(s)Ts1，G(s)Ts，G(s)Ks,而闭环传递函数为

G(s)GB(s)1G(s)•H(s)，则

（1）当反馈环节H（s）=1，前向通道传递函数G(s）为惯性环节时，

KG(s)KTs1(s)GBKTs1K1G(s)•H(s)1Ts1G(s)Ts GB(s)1G(s)•H(s)1Ts

(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G（s)为微分环节时,

(3)当反馈环节H（s)=1，前向通道传递函数G（s)为积分环节时,

KG(s)Ks GB(s)KsK1G(s)•H(s)1s（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

2。10 证明图（题2。10)与图（题2。3（a)所示系统是相似系统

解：对题2。4（a）系统，可列出相应的方程.

1uRidtCo22(1) (2)

1uuRiio111uu(ii)dtCio1(3)

对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零，即

(0)0I(0)II(s)C2s1i2(0)0I(0)I1

则

U(s)RI(s)O2iO(R21C2s)I(s) （4）U(s)U(S)RI(s)I(s)I(s)U(s)U(S)C1sC1siO （5）（6）

(s)Ui(5)1C1s,得

1C1sU(s)0R1(s)I1C1s(7)

(6)R1， 得 R1(s)Ui(7)(8)， 得

U(s)0R1R1I1(s)(8)

C1sC1s0I(s)(1C1sOR1)(s)UiU(s)R1(s)

IC1sCR11s即 U(s)U(s)I(s)R1I(s)

1R1C1C1s1R1C1si则 Ui(s)U0(s)R1I(s)1R1C1(9)

将（4)式中的U0(s)代入（9)式 Ui(s)(R21C2s)I(s)R1I(s)1R1C1

(R2R1)I(s)

C2s1R1C1s11再用(4）式与上式相比以消去I(s),即得电系统的传递函数为

C2sU0(s) G(s)R1U1(s)(R21)I(s)C2s(1R1C1s)R2

(R2)I(s)

1C2s

R2R1C2s(1R1C1s)1而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有

)c(xix(x-x)k(xo-x)ci02o2

1)ckxix(xo11

对上二式分别进行拉式变换有

(s)X(s)(s)(s)-(s)XOkXXXscX022i0isc1

X(s)c1sX0(s)k1c1s

消除X(s)有

k2c2k2c2sX0(s)skk2c11c1sG(s)Xi(s)s k2c2k1c1sc2s1c1sk1比较两系统的传递函数有

k21C

2k11C

1c2R2 cR

11故这两个系统为相似系统。

2。11 一齿轮系如图（题2.11)所示。图中，z1、z2、z3和z4分别为各齿轮齿数;J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量，1、

2和3为各轴的角位移;Mm是电动机输出转矩。试列写折算到电动

轴上的齿轮系的运动方程。

2.12 求图(题2。12）所示两系统的传递函数.

图(题2.12）

解：(1）由图（a)中系统,可得动力学方程为

k (t)(t)o(t)cxo(t) xxmxio作Laplce别换,得

k (s)(s)XXoms2Xo(s)csXo(s) i则有

G(s)X0(s)/Xi(s)k/(ms2csk)

（2）由图(b）中系统，设i为电网络的电流，可得方程为

di1 uRiLidtdtC1 uidt Cio

1作Laplce别换,得 U(s)RI(s)LsI(s)I(s) Cs1 U(s)I(s) Csio1消除中间变量有 G(s)U0(s)/Ui(s)

2LCsRCs12。13 某直流调速系统如图(题2。13)所示，us为给定输入量,电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩TL为系统的扰动量。各环节的微分方程：

比较环节 unus-ufn 比例调节器

uKuckn （Kk为放大系数)

kc晶闸管触发整流装置 电动机电枢回路

duKudadd (Ks为整流增益）

diauiRLe

dt（Rd为电枢回路电阻，Ld为电枢回路电感，ia为电枢电流 )

电枢反电势 电磁转矩

eKn (Kdd为反电势系数)

MKieema (Km为转矩系数)

GL负载平衡方程 载转矩) 测速电动机

dnMJTdt (JG为转动惯量,TL为负

unfn (为转速反馈系数）

试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和

N(s)控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数

U(s)s和

N(s)T(s)L.

2。14 试绘制图(题2.14)所示机械系统传递函数方框图。

2。15 若系统传递函数方框图为图(题2。15）.

（1） 求以R(s)为输入，当N(s)0时，分别以C(s)、

Y(s)、B(s)、E(s)Y(s)、B(s)、E(s)

为输出的闭环传递函数;

（2） 求以N(s)为输入,当R(s)0时,分别以C(s)、

为输出的闭环传递函数；

（3） 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论?

图（题2。15)

解:（1)求以R(s)为输入，当N(s)0时: 若以C(s)为输出,有

G1(s)G2(s)C(s)G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)C

若以Y(s)为输出，有

G1(s)Y(s)G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)Y

若以B(s)为输出，有

B(s)G1(s)G2(s)H(s)G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)B

若以E(s)为输出，有

E(s)1G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)E

(2)求以N(s)为输入,当R(s)0时: 若以C(s)为输出，有

G2(s)C(s) G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)C

若以Y(s)为输出，有

G1(s)G2(s)H(s)Y(s) G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)Y

若以B(s)为输出，有

G2(s)H(s)B(s) G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)B

若以E(s)为输出,有

G2(s)H(s)E(s) G(s)R(s)1G1(s)G2(s)H(s)E

（3）从上可知：对于同一个闭环系统,当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同,反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性,而与外界无关.

2。16 已知某系统的传递函数方框图为图（题2.16），其中，

X(s)为输入,X(s)iO为输出，N(s)为干扰，试问：G(s）为何值时,

系统可以消除干扰的影响。

图（题2。16）

解:方法一：根据线性系统的叠加原理,令Xi(s)0，N（s)为输入，系统的输出为

X(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)

oN其中

K2K3K1K1K2K3STs1(s)GK2K3Ts2sK1K2K31K1sTs1

1B

K3K3sTs1 G(s)K2K3Ts2sK1K2K31K1sTs12B



X(s)N(s)G1B(s)G(s)K4G2B(s)

oN

K4sG(s)K1K2K3K1K2Ts2sK1K2K3

令 有 方法二：令Xi(s)X(s)0oN

G(s)K4sK1K20,N（s）为输入，则系统的传递函数方框

图可以表示成图（题2.16。b)所示.

图(题

2。16。b）

根据相加点前后移动的规则可以将其进一步简化成图（题2 。16。 c)和图(题2。16．d)所示的形式。

图(题

2.16.c)

图（题

2。16。d）

因此，系统在N（s）为输入时的传递函数为

K4sG(s)K1K2K3 G(s)K1K22TssK1K2K3N

同样可得G(s)K4sK1K2时,系统可消除干扰的影响.

2.17 系统结构如图(题2。17）所示，求系统传递函数.

(G1G4)G2G(s)R(s)1G1G2(1G3)BC(s)

2。18 求出（题2。18）所示系统的传递函数XO(s)/X(s)。

i

图（题2。18）

解：方法一：利用梅逊公式，可得

XO(s)G1G2G3G4G(s)Xi(s)1G1G2G3G4H3G1G2G3H2G2G3H1G3G4H4B

方法二：利用方框图简化规则,有图（题2.18。b）

图（题

2.18。b）

XO(s)G1G2G3G4G(s)Xi(s)1G1G2G3G4H3G1G2G3H2G2G3H1G3G4H4B

2.19 求出图（题2.19)所示系统的传递函数XO(s)

/X(s)。

i

图（题

2。19）

解：根据方框图简化规则,有图(题2。19。b)

图（题

2.19.b）

XO(s)G1G2G3G4G(s)Xi(s)1(G1G2G3G4)H3G1G2G3H1H2B

2.20 求出图（题2。20）所示系统的传递函数XO(s)/X(s)。

i

图（题2。20） 解:根据方框图简化规则,有图（题2.20。b）

图（题2.20.b)

XO(s)G1G2G5G1G2G3G4G5G(s)Xi(s)1G1G2H1G3(1G3G4)G1G2G5G2G3H2B2。21 设描述系统的微分方程为 (1)

2yy0 (2) 2yyA yy试导出系统的状态方程.

2。22 RLC电网络如图(题2。22)所示，u（t）为输入，流过电阻R2的电流i2为输出,试列写该网络的状态方程及输出方程.

2。23 系统传函数方框图为图（题2。23)，试列写该系统的状态方程及输出方程。

2。24 图（题2。24）为某一级倒立摆系统示意图.滑台通过丝杠传动,可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链与滑台连接，可在沿直线平面内摆动.滑台质量为M，摆杆质量为m，摆杆转动惯量为J,滑台摩擦系数为c，摆杆转动轴心到杆质心的长度为L,加在滑台水平方向上的合力为u，滑台位置为x,摆杆与铅直向上的夹角为.

(1) 以u为输入，为输出,列写系统的微分方程； (2) 求系统的传递函数；

(3） 试列写该系统的状态方程及输出方程.