六年级奥数培优教程精编讲义 第16讲 比较数的大小(教师版)

教学目标

①小数的大小比较常用方法； ②分数的大小比较常用方法； ③数的估算时常用方法。

知识梳理

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小.

⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法

（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．

1

典例分析

考点一：两个数的大小比较

例1、如果a

20052006，b ，那么a，b中较大的数是 20062007【解析】方法一：<与1相减比较法> 1

200512006111 ；1 ．因为，所以b较大；  

200620062007200720062007112006200720052006，所以，进而，即ab； 200520062005200620062007方法二：<比倒数法>因为

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大。

例2、如果A111111110444444443，B,A与B中哪个数较大？

22222222188888888711，且比它小．我们不防与比较． 22【解析】方法一：观察可以发现A、B都很接近

1111111,B,BA，即B比A更接近，换句话说 BA . A2222222222122888888887222方法二：A方法三：

1111111101111111104444444440444444443B ，即AB.

2222222212222222214888888884888888887111111，2显然，则AB 2A111111110B444444443AB例3、在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 【解析】b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002 =2003×(2003-2002)=2003

所以a比b大2003。

223423L433哪一个大? 例4、试比较: 214244L432与3144296个2185个3个2487448222L2256223423L433 【解析】296=37×8，185=37×5，因为1 所以214244L432＞314433423L433243296个2185个31445个32598例5、已知：AL，那么A与0.1中 比较大，说明原因；

369999 2

3n113n1 3n23n【解析】223n13n13n13n99812399799991258L AL 9992349999100010003693322 A1,即A比0.1大 10考点二：多个数的比较

35915例1、（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：　，，，

7131628（2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来：【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：

1012152060 ，，，， 171923339131545594595451534553159，　，　，　，分母大的反而小，所以＜＜＜． 71510513911716580283841372816⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法．

106012601560206060606060606060，=，， ； =，；可见

17102199523923399919110299959291也就是

1020121560 . 1733192391例2、在下面9个算式中:

3536373839310311312① ，② ,③ ,④ ,⑤ ，⑥ ，⑦ ，⑧ ,⑨

520620720820920102011201220313,第几个算式的答数最小，这个答数是多少? 13203135360,即①>②； 【解析】方法一：①-②=-52062056203136370，即②>③； ②-③=62072067203137380，即③>④； ③-④=72082078203138390，即④<⑤； ④-⑤=8209208920 3

⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为

313131，,均小于0,所以⑤<⑥，1011201112201112203831⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为 82040方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为

3． 2083因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中、最接近，所以第4个算

820式最小·

考点三：数的估算

例1、求数a10101010  L 的整数部分． 100101102110【解析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间．

因为a中的11个分数都不大于所以

1010，不小于， 100110101010101010L1111

11010010110211010010101010L1.1 100101102110即１

由此可知a的整数部分是1．

1的整数部分是几？

1111L10111219例2、求数

【解析】

1111

1111111110LL1011121910101010101111.9，即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是

1111111110LL1011121919191919191.

1111111例3、已知N1，求N的整数部分． LL511192941kk1110099【解析】题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成kk11，对于kk11不好直接进行处理，很容易联想到kk1及k1k，所以可以进行放缩．

4

由于k1kkk11kk1，所以

111，那么 kk1kk11k1kN1N1111111111111L1L11， 23344510010123341001012101111111111111L11L22，即1N2，122334991002233499100100那么N的整数部分为1．

小结：从式子中也可以直接看出N1，所以对于这一点也可以不进行放缩．

实战演练

➢ 课堂狙击

1、如果A222221333331，那么A和B中较大的数是 . ,B222223333334222221666663666662333331B，即A大

222223666669666668333334【解析】A252413&&&&2、有8个数，0.51，, , 0.51, ,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，394725那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? 【解析】

2&&&&, 5=0.5&&，即&, 240.5106, 13=0.52 ，显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6=0.639472524&&&&13<5<2，8个数从小到大排列第4个是0.51， <051<0.51<472593所以有□<□<24&&&13<5<2．(“□”表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4<0.51<0.51<472593&&个数是0.51．

3、将

13121&&、0.523&、0.52&从小到大排列，第三个数是________. 、、0.52325040131210.524，0.525 25040【解析】

13121&& &0.523&&&所以：0.520.523，第三小的数是0.52325040

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4、甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪—个是平衡的?

【解析】考虑除以3，所得的余数

因为478除以3余1，9763除以3也余1(只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余数)，所以478×9763除以3余1×1＝1，而4666514除以3余2(即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2)，因此478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.

5、a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是 。 【解析】a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222

所以a的整数部分是54。

6、有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点后两位数是多少？

【解析】利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85平均数26.95，则这13个自然数的和介于1326.85和1326.95之间．即在349.05和350.35之间，所以只能是350．所以3501326.923，则精确到小数点后两位数是26.92 .

➢ 课后反击

1、比较

444443555554和的大小

44444555555444432555554222，1，显然，根据被减数一定，减数44444544444555555655555444455555544443555554。 444445555556【解析】因为1越大差越小的道理，有：

2、试比较

1111111和的大小 111111111【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的

6

倒数比较大小．看出10

1111111111111111的倒数是1 ，的倒数是１ ，我们很容易 1010 111111111111111111111111111111111110  ，所以； 1111111111111111111111101110，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数111111111011110111011111111111,即. 1111011111111111111方法二：

比较大，所以

3、在

199819981999199920002000，，中，最小的分数是__________. 　199919992000200020012001199819981998199919991999200020002000，，根据重要结论——对于两个真分数，　199919991999200020002000200120012001【解析】因为

如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：

19981999200019981998，所以，最小的是． 199920002001199919994、编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为几号蚂蚁? 【解析】

1151211111,

12712712710.5L123023111111,

33333333310.7L314394911111

48848848.9L49115302439，，克的重物．问：金、银、铜牌应分别发给127333488所以，

302115439. 333127488251510125、这里有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？

38231719【解析】分子的最小公倍数是60，给出的5个分数依次等于：的分数是

6060606060，，，，，比较分母的大小，居中909692102956012，即。 95196、已知x0.90.990.999L0.9999999999．求x的整数部分．

【解析】方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即axa1，x的整数部分和

7

n相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是11010；然后将原算式缩小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9109．可见原算式的结果介于10和9之间即9x10，所以x的整数部分是9．

方法二：将原式变型后再估算．

x0.90.990.999L0.9999999999

(10.1)(10.01)(10.001)L(10.0000000001)

10(0.10．010.001L0.0000000001)100.1111111111 所以x的整数部分是9．

7、有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______． 【解析】由已知：

第三个数＝(133＋57)÷2＝95， 第四个数＝(57＋95)÷2＝75， 第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5 第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75， 第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125， 第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375， 第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125． 第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，

从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82．

直击赛场

1、（第五届华杯赛口试）图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米2)．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由．

8

199321992219962【解析】此题利用到平方差公式：a2b2(ab)(ab)

19972

1997219962(19971996)(19971996)199719963993 1993219922199319923985 所以19972199621993219922

即19972199221996219932，两个白色正方形的面积大．

1111162、（第十五届华杯赛初赛）从,,,,中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与接近，去掉的两个数

234567是( ).

11111111（A）, （B）, （C）, （D）,

25263534111945【解析】

34612601112015124734560601111155 24612601115225660本题不是计算最大，而是计算哪个与则以上分式分别可以写成：

6接近，再找分母的最小公倍数比较大小，7,60420， 7305329385363603，，，，可以写成，显然最接近。 42042042042074204201111113、（第七届希望杯赛一试）已知 A1，则A的整数部分是_______

24567811111111111114【解析】A112；

2345678448888811111111111111141 A11()23所以A的整数部分是2。

2345678241245555512

9

4、（清华附中入学测试）已知：S11111...1980198119822006,则S的整数部分是 .

【解析】如果全是

111818

，那么结果是73，如果全是，那么结果是74，所以73＜S＜74，不19803200627327

能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：

10107111110107 ...19199920061980198119822006198019902000则

111

10107111110107...19199920061980198119822006198019902000大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！ 下面先让我们来看看两个例子：

11111198019811982198319841119811983198219822⑴ 198119831981198319821982198211198019841982198221980198419801984198219821982那么也就有：

1111115 19801981198219831984198211111980198119821983（2）

1119801983198119821119801983198019831981198219811982那么也就有：

111111()24 198019811982198319811982聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！

27111127 ...199319801981198220061980则73221993272711111...19801981198220061980173，由此可以确定整数部分是73． 273重点回顾

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一、小数的大小比较常用方法; 二、分数的大小比较常用方法; 三、数的估算时常用方法。

名师点拨

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)。 二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小.

⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法

（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．

学霸经验

➢ 本节课我学到

11

➢ 我需要努力的地方是

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