高考数学第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试18同角三角函数基本关系与诱导公式文含解析

考点测试18 同角三角函数基本关系与诱导公式

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低、中等难度 考纲研读

sinα22

1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tanα

cosα

π

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公

2式

一、基础小题

1．计算：sin600°＝( ) 1133A. B．－ C. D．－ 2222答案 D

解析 sin600°＝－sin60°＝－3

.故选D. 2

4

2．若x是第四象限角，且sinx＝－，则cosx＝( )

51133A. B．－ C. D．－ 5555答案 C

解析 x是第四象限角，cosx＞0，cosx＝1－sinx＝

2

423

1－－＝.故选C.

55

3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0 C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0 答案 B

解析 ∵sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0，∴cosθ<0.故选B.

4．点A(sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 C

解析 2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以点A位于第三象限．故选C.

5．已知sinα＝

544

，则sinα－cosα的值为( ) 5

1313A．－ B．－ C. D. 5555答案 B

344222

解析 sinα－cosα＝sinα－cosα＝2sinα－1＝－.故选B.

5

sinkπ＋αcoskπ＋α

6．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )

sinαcosαA．{1，－1，2，－2} B．{－1，1} C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2} 答案 C

sinαcosαsinαcosα

解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－－＝－sinαcosαsinαcosα2.故选C.

7.1－2sinπ＋2cosπ－2＝( ) A．sin2－cos2 B．sin2＋cos2 C．±(sin2－cos2) D．cos2－sin2 答案 A 解析

1－2sinπ＋2cosπ－2＝1－2sin2cos2＝

2

sin2－cos2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.故选A. 21

8．若sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋＝( )

3tanθA.

551818

B．－ C. D．－ 181855

答案 D

245

解析 由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－，则tanθ

3918＋

1sinθcosθ118

＝＋＝＝－，故选D. tanθcosθsinθsinθcosθ5

9．若sinθ，cosθ是方程4x＋2mx＋m＝0的两个根，则m的值为( ) A．1＋5 B．1－5 C．1±5 D．－1－5 答案 B

2

解析 由题意得sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)＝1＋

242sinθcosθ，所以＝1＋，解得m＝1±5，又Δ＝4m－16m≥0，解得m≤0或m≥4，

42所以m＝1－5 .故选B.

π

10．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝( )

2ππππA．－ B．－ C. D.

6363答案 D

解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，ππ

∵|θ|<，∴θ＝.故选D.

23

sinα＋πcosπ＋αcos－α－2π11．化简：＝________.

3π

tanπ＋αsin＋αsin－α－2π

2答案 1

sinα－cosαcosαsinαcosα

解析 原式＝＝2＝1. 32

tanαcosα－sinαsinαcosα

1ππ12．若sinθcosθ＝，θ∈，，则cosθ－sinθ＝________. 842答案 －

3

2

2

2

2

2

mm2

m2m2

13ππ222

解析 (cosθ－sinθ)＝cosθ＋sinθ－2sinθcosθ＝1－＝，∵θ∈，，

4442∴cosθ32

13．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cosα＋2sin2α＝( )

4A.

4816 B. C．1 D. 252525

3

. 2

答案 A

32

解析 当tanα＝时，原式＝cosα＋4sinαcosα＝

431＋4×2

4cosα＋4sinαcosα1＋4tanα

＝＝＝.故选A. 222

sinα＋cosαtanα＋1925

＋116

1＋sinβππ14．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈0，，β∈0，，且tanα＝，则( )

22cosβππ

A．3α－β＝ B．2α－β＝

22ππ

C．3α＋β＝ D．2α＋β＝

22答案 B

sinα1＋sinβ

解析 由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝

cosαcosβcosα＝sin

π－α，因为－π<α－β<π，0<π－α<π，所以α－β＝π－α，所以2α222222

π

－β＝.故选B.

2

15．(2016·四川高考)sin750°＝________. 1答案 2

1

解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝. 2三、模拟小题

1π

16．(2018·南昌摸底)已知sinθ＝，θ∈，π，则tanθ＝( )

32A．－2 B．－2 C．－答案 C

π12

解析 因为θ∈，π，所以cosθ<0，tanθ<0，又sinθ＝，则cosθ＝－1－sinθ

2322sinθ2

＝－，进而有tanθ＝＝－，故选C.

3cosθ4

π17．(2018·河北邯郸第一次模拟)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈0，，

2tanα则＝( ) tanβ

11

A．2 B. C．3 D.

23答案 A

解析 ∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，∴tanα＝tanα

2tanβ，即＝2，故选A.

tanβ

22 D．－ 48

18．(2018·咸阳月考)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2018)的值为( )

A．－1 B．1 C．3 D．－3 答案 C

解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2018)＝

asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3.故选C.

5π1ππ

19．(2018·广州模拟)已知cos＋α＝，且－π<α<－，则cos－α＝( )

123212A.

221122

B. C．－ D．－ 3333

答案 D

5ππππππ5π

解析 因为＋α＋－α＝，所以cos－α＝sin－－α＝sin＋α.因

121221221212π7π5ππ5π1π5ππ

为－π<α<－，所以－<α＋<－.又cos＋α＝>0，所以－<α＋<－，

2121212123212125π

所以sin＋α＝

12

－

1－cos

2

5π

＋α＝－1212221－＝－.故选D. 33

20．(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为( ) 4444

A．－ B. C．－或0 D.或0

3333答案 D

解析 由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sinα＝1＋2cosα＋cosα，因而5cosα34

＋2cosα－3＝0，解得cosα＝或cosα＝－1，那么tanα＝或0，故选D.

53

π

21．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋β＋5＝0，

2tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是( )

A.

35373101

B. C. D. 57103

2

2

2

答案 C

解析 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，310

又α为锐角，故sinα＝.故选C.

10

sinθ＋cosθ2

22．(2018·沈阳质检一)已知tanθ＝2，则＋sinθ的值为( )

sinθ

A.

19162317 B. C. D. 551010

答案 C

1sinθ1tanθ3423解析 原式＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝.故选C. 222

tanθcosθ＋sinθ21＋tanθ21＋41014

23．(2018·湖北武汉调研)若tanα＝cosα，则＋cosα＝________.

sinα答案 2

sinα124

解析 解法一：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cosα，∴＋cosα

cosαsinα1sinα＋cosα222222

＝＋sinα＝＋sinα＝tanα＋1＋sinα＝cosα＋1＋sinα＝2. 2sinαcosα

sinα222

解法二：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cosα＝1－sinα，即sinα

cosα＋sinα－1＝0，解得sinα＝＋cosα＝

4

2

2

2

2

5－1－5－15－112

或sinα＝(舍去)．∴cosα＝，∴222sinα

125－125＋13－522

＋(cosα)＝＋＝＋＝2. 2

cosα2225－1

一、高考大题

本考点在近三年高考中未命题． 二、模拟大题

tanα1．(2018·河北唐山一中月考)已知＝－1，求下列各式的值：

tanα－62cosα－3sinα(1)； 3cosα＋4sinα(2)1－3sinαcosα＋3cosα. 解 由

tanα

＝－1，得tanα＝3.

tanα－6

2

2cosα－3sinα2－3tanα7(1)＝＝－. 3cosα＋4sinα3＋4tanα15

1－3sinαcosα＋3cosα(2)1－3sinαcosα＋3cosα＝ 22cosα＋sinα

2

2

sinα＋cosα－3sinαcosα＋3cosα＝ 22

cosα＋sinαsinα－3sinαcosα＋4cosα＝ 22

cosα＋sinα

2

2

222

tanα－3tanα＋42＝＝. 2

tanα＋15

2．(2018·吉林长春月考)已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：

sinθcosθ(1)＋的值；

11－tanθ1－

tanθ(2)m的值；

(3)方程的两根及θ的值．

3＋1

sinθ＋cosθ＝， ①2

解 (1)

msinθcosθ＝，②2

2

22

2

sinθcosθsinθcosθ＋＝＋ 11－tanθsinθ－cosθcosθ－sinθ1－tanθsinθ－cosθ3＋1＝＝sinθ＋cosθ＝. sinθ－cosθ22＋3(2)将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝.

2∴sinθcosθ＝

3. 4

2

2

m33

由②式得＝，∴m＝.

242

(3)由(2)可知原方程变为 2x－(3＋1)x＋3sinθ＝，2∴

1

cosθ＝2

2

331

＝0，解得x1＝，x2＝. 222

3

cosθ＝，2或

1

sinθ＝.2

ππ

又θ∈(0，2π)，∴θ＝或θ＝.

363．(2018·河南洛阳一中调研)已知－sinα

1＋cosα

－1.

1－cosα

π3π<α<0，且函数f(α)＝cos＋α－22

(1)化简f(α)；

1

(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．

5解 (1)f(α)＝sinα－sinα

1＋cosα

－1 21－cosα

2

1＋cosα

＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.

sinα1

(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，

5122

两边平方可得sinα＋2sinαcosα＋cosα＝，

252412

即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－，

2525492

∵(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝，

25π

又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，

27

∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－. 51sinα＋cosα＝，5解法二：联立方程

sin2α＋cos2α＝1，3

sinα＝－，5解得4

cosα＝5

4

sinα＝，5或3

cosα＝－.5

3

sinα＝－，5π

∵－<α<0，∴24

cosα＝，5

127

∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－. 255

ππ4．(2018·四川宜宾月考)是否存在α∈－，，β∈(0，π)，使等式sin(3π－

22πα)＝2cos－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β2

的值；若不存在，请说明理由．

解 假设存在角α，β满足条件，

sinα＝2sinβ， ①

则由已知条件可得

3cosα＝2cosβ. ②

由①＋②，得sinα＋3cosα＝2. 122

∴sinα＝，∴sinα＝±.

22πππ∵α∈－，，∴α＝±.

422π3

当α＝时，由②式知cosβ＝，

42

2

2

2

2

π

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；

6π3

当α＝－时，由②式知cosβ＝，

42

π

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

6ππ

∴存在α＝，β＝满足条件．

46