中考数学压轴题精选 含详细答案02

1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 例2 2012年临沂市中考第26题 例3 2011年湖州市中考第24题 例4 2011年盐城市中考第28题

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年重庆市中考第26题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． BHPH由，BO＝CO，得PH＝BH＝2． BOCO所以点P的坐标为(1, 2)．

图2

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5

例2 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC23．

所以点B的坐标为(2,23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(2,23)，232a(6)．解得a3． 633223所以抛物线的解析式为yx(x4)xx．

663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42(y23)216．解得y1y223． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42(y23)222y2．解得y23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x4)(x2)2)．

366323因此tanDOA．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

3由y

例3 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．

思路点拨

1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．

满分解答

CPPMMC1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以BDDMMBAD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，AD2(4m)2，AP2m24，PD2(2PM)244(2m)2．

3①当AP＝AD时，(4m)2m24．解得m（如图3）．

24②当PA＝PD时，m2444(2m)2．解得m（如图4）或m4（不合题意，

3舍去）．

2③当DA＝DP时，(4m)244(2m)2．解得m（如图5）或m2（不合题意，

3舍去）．

（1）因为PC//DB，所以

342综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

233

图3 图4 图5

（3）点H所经过的路径长为

5． 4 考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以PCMB113．因此PC，m．

22CMBA2②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此4m2m．解4得m．

3第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

图6 图7

例4 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．

（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

yx7,x3, 所以点A的坐标是(3，4)． （1）解方程组 得4yx,y4.3令yx70，得x7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形CORAS△8，ACPSP△OR111得（3+7t)44(4t)t(7t)8．整理，得t28t120．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

35520在△APQ中， cosA为定值，AP7t，AQOAOQOAORt．

533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7tt，得t．

833如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程

7t2[(7t)(t4)]，得t5．

1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cosA．因此AQ2AP．解方程cosAAP5203226． t2(7t)，得t43335综上所述，t＝1或

41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP2AQcosA来求解．

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．

2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．

3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，时CMAN35t330，．所以解得t．此AM531102t560． 31

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

OP28OPMP．所以OPt． ，即4t55QNMN8581020(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8t105t，得t．此时CM．

17175①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP8t，BN105t． (Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE45184BN．解方程8t105t，得t．此

45255时CM5． 2124148BP．解方程105t8t，得t的值为负数，5255(Ⅲ)当PB＝PN时，BN因此不存在PB＝PN的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN5t10．解方程8t5t10，得t

853060．此时CM． 1111

图5 图6 图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，

14BNBP，这样计算简便一些． 25

例6 2010年南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．

拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．

思路点拨

1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．

2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．

3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；

第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此

DCEBm8x，即．整理，得y关于x的函数CEBFxy关系为y128xx． mm(2)如图2，当m＝8时，y值为2．

121xx(x4)22．因此当x＝4时，y取得最大881218122x2x．，那么整理，得x8x120．解得x＝2或x＝6．要

mmmm使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即

(3) 若yx＝y．将x＝y ＝2代入y图4）．

1212，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y，得m＝2（如mm

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y1281116xx(x28x)(x4)2， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为

多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

x

128xx总有一个根x8m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． mm

例7 2009年重庆市中考第26题

已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，5那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G在OC上运动，可以体验到，△DCG与△DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为1.2”，可以看到，EF＝2，GO＝1．

拖动点P在AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG可以成为等腰三角形．

思路点拨

1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长． 3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．

4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．

满分解答

（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1． 由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．

c1,设过E、D、C三点的抛物线的解析式为yax2bxc，那么4a2bc2, 解

9a3bc0.得a

（2）把x5135213c1．bx1．，因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为yx

66666521312x1，代入yx求得y．所

5566以点M的坐标为,612． 55MNDN，FADA如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么

126225．解得FA1． 即5FA2因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，

图2

EF＝2GO．

（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为x,5213xx1． 66①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时yQxQxG，因此5213127xx1x1。由此得到点Q的坐标为,． 6655②如图4，当GP＝GC＝2时，点P的坐标为（1，2）．此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为1,13． 6③如图5，当PG＝PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合．此时点Q的坐标为（2，2）．

图3 图4 图5

考点伸展

在第（2）题情景下，∠EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？ 设AF的长为m，那么FG(2m)2(2m)22m28．

点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值22；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4．