2021-2022学年湖南沙市名校高二上学期入学考试模拟数学试题 word版

湖南沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试模拟

数学试题

时量：120分钟 满分：100分

一、单选题(共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案) 1.若集合AxRaxx10中只有一个元素，则a的值为( )

A.



21 4 B.

1 2

C.0

D.0或

1 42.i是虚数单位，复数zA.第一象限

2，则z在复平面内对应的点在( ) 1iB.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知奇函数fx是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f2afb40则

12的最小值是( ) a1b24A. B. 332 C.2 D.4

4.对任意a1,1，函数fxxa4x42a的值恒大于零，则x的取值范围是( )

A.1x3

B.x1或x3

C.1x2

D.x1或x2

25.已知Ax1,y1，若x12x24，则y1y2Bx2,y2是函数y2x图象上两个不同的点，

的最小值为( )

A.2

B.4

C.8

D.10

6.已知把函数fxsinx3的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩cosx3341，若4小到原来一半，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若gx1gx2x1,x2,，则x1x2的最大值为( )

A.

B.

3 4 C.

3 2

D.2

7.如图，在△ABC中，AD2DB，AE3EC，CD与BE交于F，AFxAByAC，则x,y为( )

1

A.,11 32

B.,11

3211, 23C.11, 23

D.8.如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，AB3EF3AD3，2△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为( )

A.

72 3

B.

42 3C.2 9.x是x1,x2, D.

32 2,x100的平均数，a是x1,x2,,x40的平均数，b是x41,x42,,x100的平均数，

则下列各式正确的是( )

A.x40a60b

100B.x60a40b

100C.xab

D.xab 210.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a,b1,2,3,4，若ab1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )

A.

3 8 B.

5 8 C.

3 16 D.

5 1611.在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BDCD，且ABBDDA3，

CD3，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为( )

A.

15 4

B.15

C.

32

D.6

12.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且

2b2c2的取值范围为( ) 2Sabc，则

bc22A.4359, 1515

B.22,43 15

C.22,59 15

D.22,

二、多选题(共3个小题，每小题3分，共9分，每小题答案不全得1分，多选或错选得0分)

2

13.下列说法正确的是( )

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体

m被抽到的概率是0.1；

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D.若样本数据x1,x2,,x10的标准差为8，则2x11,2x21,,2x101的标准差为16

14.已知函数fxsinx0在,上是单调函数，且

2f0f.则的可能取值为( )

2A.

2 3 B.2 C.

1 3 D.1

15.已知边长为a的菱形ABCD中，ADC是( )

3，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的

A.在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是0, 2a3B.在翻折的过程中，三棱锥DABC体积最大值为

8C.在翻折过程中，三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为1483a D.在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D，E为棱CD上的一个动点，ED的最小值为23a 4三、填空题(共5个题，每小题3分，共15分)

a2i16.若za1a1i为纯虚数，其中aR，则等于__________.

1ai217.设函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，fx4，

x则f5f2021__________. 2 3

CD18.如图，已知二面角ABCD，BC2，AB2，3，AD7，且ABBC，

CDBC，则二面角ABCD的余弦值为__________.

19.函数fx的定义域为D，若满足：(1)fx在D内是单调函数；(2)存在mn,D，22使得fx在mn,上的值域为m,n，那么就称函数fx为“梦想函数”.若函数22，则t的取值范围是______________. fxlogaaxta0,a1是“梦想函数”

20.在△ABC中，点D在线段BC上，且BC3BD，sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，

AD2，则BAC______；△ABC面积的最大值为______.

四、解答题(共5个大题，每题8分，共40分)

21.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下：

(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)

22.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，

4

得到黑球或黄球的概率是

52，得到黄球或绿球的概率是，试求： 93(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

c，23.在△ABC中，内角A，B，且满足sinABC所对的边分别为a，b，

(1)求角A；

bcosC. a(2)若bc4，△ABC的外接圆半径为32，试求△ABC的边BC上的高.

24.如图，已知四棱锥PABCE中，平面PAB平面PBC，且AB1，PA平面ABCE，

BC2，BE22，点A在平面PCE内的射影恰为△PCE的重心G.

(1)证明：BCAB；

5

(2)求直线CG与平面PBC所成角的正弦值.

25.如图，矩形ABCD中，AB23，BC4，点M，N分别在线段AB，CD(含端点)上，P为AD的中点，PMPN，设APM.

(1)求角的取值范围；

(2)求出△PMN的周长l关于角的函数解析式fa，并求△PMN的周长l的最小值及此时的值.

6

长沙市名校新高二入学考试数学模拟

数学参

一、选择题

1 D

2 A 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 A 10 B 11 B 12 C 二、选择题

13 ACD 14 AB 15 BC

三、填空题

16.i

17.2

18.3 319.1,0 4 20.

33

23

四、解答题

21.【解析】(1)如图示：区间80,90频率最大，所以众数为85，

平

均

数

为

：

x650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510.75.

(2)日销售量60,90的频率为0.5250.8，日销量60,100的频率为0.8750.8， 故所求的量位于90,100.

由0.8-0.025-0.1-0.40.275，得90故每天应该进98千克苹果.

22.【解析】(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，

7

0.27598， 0.035

B，C为互斥事件，

PABPAPB59根据已知，得PBCPB2PC3，

PABCPAPBPC1PA13解得PB29，

PC49所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49. (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间有36个样本点，

其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，

于是，两个球同色的概率为

31636518， 则两个球颜色不相同的概率是15131818.

23.【解析】(1)由sinA＋BbacosC，

得sinCcosCba，即asinCacosCb，

由正弦定理，得sinAsinCsinAcosCsinBsinAcosCsinCcosA，即sinAsinCsinCcosA. 又sinC0，所以sinAcosA， 即tanA1. 又0A， 所以A4.

(2)由正弦定理得a62sin46，

由余弦定理得a2b2c22bccosAbc222bc36，

8

所以bc1022， 设△ABC的BC边上的高为h， 因为△ABC的面积S11bcsinAah， 22bcsinA所以△ABC的边BC上的高ha24.【解析】(1)过A作ADPB于D，

因为平面PAB平面PBC，平面PAB∴AD平面PBC， ∵BC平面PBC， ∴ADBC.

10226252213.

平面PBCPB，AD平面PAB，

又PA平面ABCE，BC平面ABCE， ∴PABC， 又PAADA，

∴BC平面PAB， ∵AB平面PAB， ∴BCAB.

(2)连结PG并延长交CE于M，连结AM，以B为原点，

分别以BA，BC所在的直线为x，y轴，以过B且与平面ABCE垂直的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则B0,0,0，A1,0,0，设Ex,y,0， C0,2,0，∵AG平面PCE，CE平面PCE， ∴AGCE，同理PACE， 又AGPAA，

∴CE平面PAM， ∴CEAM， 又G是△PCE的重心， ∴M是CE的中点，

∴ACAE，由(1)知，BCAB，

9

∴ACAE5，BEx,y,0，AEx1,y,0，

22x2xy8∴，解得， 22y2x1y5∴E2,2,0，

设APa，则P1,0,a，故G1,4a,， 33∴AG0,4a2a,，CG1,,， 33338a20， ∴AGGC099∴a22， ∴P1,0,22，

∴BP1,0,22，BC0,2,0，CG1,222， ,33x22z0BPn0设平面PBC的法向量为nx,y,z，则，

BCn02y0令z1，则n22,0,1， 设

直

线

CG与平面

PBC所成角为

，则

sinCGnCGn220223442，

632133442. 63故直线CG与平面PBC所成角的正弦值为

25.【解析】(1)由题意，当点M位于点B时，角取最大值，此时tan3，

因为02，所以3，

当点N位于点C时，DPN取得最大值，角取最小值，

10

由对称性知此时DPN3，所以min236，

所以角的取值范围是,.

63(2)在直角△PAM中，cos所以PMPA且PA2， PM2， cosPDsin且PD2， 2PN在直角△PDN中，cosPDNcos所以PN2， sin444， cos2sin2cos2sin2在△PMN中，由勾股定理得MN2PM2PN2因为,， 63所以sin0，cos0， 所以MN2，

cossin所以f21sincos222，,， sincossincossincos63令tsincos2sin，

4因为57,，可得,， 412126331所以t2sin,2，

42t21又由sincos，

2可得ft2t14， 2t1t12因为函数ft在区间31,2上单调递减，

211

当t2时，ftmin442121，

此时t2sin2，解得，

44所以当

4时，△PMN的周长l取得最小值，最小值为421.

 12