(完整word版)经典截长补短法巧解

截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法.通常来证明几条线段的数量关系。 CFDEH截长补短法有多种方法.

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

(2）在长边上截取一条与某一短边相同

的线段，再证剩下的线段与另一短边相

等。……

补短法

（1)延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……

例:

GPBA

在正方形ABCD中,DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF,交AD于P，交CE延长线

于H，请问三条粗线DG,GH，CH的数量

关系

方法一（好想不好证）

CFDEHGPBA

方法二（好证不好想)

CFDEHGPBMA

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

1

(完整word版)经典截长补短法巧解

AB正方形ABCD中，点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF=45o。

FDEC请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?

（1)正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45o。 求证:EF=DE+BF

（1）变形c

AFEBjC(1）变形a

ABD

正三角形ABC中，E在AB上,F在AC上

EDC请问现在EF、EDF=45o.DB=DC，BDC=120o。BE、CF又有什么数量关系?

F

正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上，EAF=45o.

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

(1）变形d

ABFDEFABC（1）变形b

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上,EAD=15o，FAB=30o.AD=3 求AEF的面积

DCE

2

（1）解：（简单思路）

ABFGDCE

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以ADGABF（SAS）

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAF+FAB

=DAF+GAD=GAF

所以GAE=GAF—EAF

=90o—45o=45o

GAE=FAE=45o

又AG=AF

AE=AE

所以EAGEAF（SAS）

(完整word版)经典截长补短法巧解

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：(简单思路）

ABGEDCF

EF= BF—DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADE=ABG=90o

AD=AB

又DE=BG

所以ADEABG(SAS)

EAD=GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB

=DAG+EAD=GAE

所以GAF=GAE—EAF

=90o-45o=45o

GAF=EAF=45o

3

又AG=AE AF=AF

所以EAFGAF（SAS） EF=GF=BF—BG=BF-DE

变形b解：（简单思路)

FABDCEG

EF=DE—BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90o

AD=AB

又DG=BF

所以ADGABF（SAS)

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90o=DAG+GAB

=BAF+GAB=GAF

(完整word版)经典截长补短法巧解

所以GAE=GAF—EAF =90o—45o=45o

GAE=FAE=45o

又AG=AF AE=AE

所以EAGEAF（SAS） EF=EG=ED—GD=DE—BF

变形c解：（简单思路)

AFEBCGD

EF=BE+FC

延长AC到点G,使得CG=BE，连接DG。

由ABC是正三角形得

ABC=ACB=60o

又DB=DC，BDC=120o

所以DBC=DCB=30o

DBE=ABC+DBC=60o+30o=90o

ACD=ACB+DCB=60o+30o=90o

所以GCD=180o-ACD=90o

4

DBE=DCG=90o 又DB=DC,BE=CG

所以DBEDCG(SAS）

EDB=GDC

DE=DG

又DBC=120o=EDB+EDC =GDC+EDC=EDG 所以GDF=EDG-EDF =120o—60o=60o

GDF=EDF=60o

又DG=DE DF=DF

所以GDFEDF(SAS）

EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d解:（简单思路)

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG。前面如（1)所证，

ADGABF，EAGEAF

(完整word版)经典截长补短法巧解

GAD=FAB=30o，SEAG=SEAF

在RtADG中，GAD=30o，AD=3

AGD=60

o，AG=2

设EH=x

在RtEGH中和RtEHA中

AGD=60o,HAE=45

o

HG=33x,AH=x

AG=2=HG+AH=33x+x，EH=x=3-3

SEAF=SEAG=EHAG2=3—3.

(第5页题目答案见第6页）

ABOE（2）

DC

正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。 求证：AC/2=AD—EO

5

(2）加强版

NABFEDMC

正方形ABCD中,M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN,点E在BD上，NE平分DNM. 请问MN、AD、EF有什么数量关系？

(完整word版)经典截长补短法巧解

（2）解：（简单思路）

ABGOEDC

过E作EGAD于G 因为四边形ABCD是正方形

ADC=90o,BD平分ADC，ACBD

所以ADB=ADC/2=45o

因为AE平分DAC,EOAC，EGAD 所以EAO=EAG，

DGE=AOE=AGE=90o又AE=AE，

所以AEOAEG（AAS）

6

所以AG=AO，EO=EG 又ADB=45o，DGE=90o 所以DGE为等腰直角三角形 DG=EG=EO

AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2

（2)加强版解：（简单思路)

NQABPGFEDMC

MN/2=AD—EF

过E作EGAD于G，作EQAB于Q,过B做BPMN于P

按照（2）的解法，可求证，

GNEFNE（AAS） DGE为等腰直角三角形

AG=AD-DG=AD-EF,

因为四边形ABCD为正方形，

ABC=GAQ=BCM=90o

(完整word版)经典截长补短法巧解

BD平分ABC，BC=BA

ABD=ABC/2=45o,又EQB=90o

EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45o

因为GAQ=EGA=EQA=90o 所以四边形AGEQ为矩形， EQ=AG=AD—EF,EQ//AG

QEN=ENG

又ENG=ENF，所以QEN=ENF 由BC=BA,BCM=BAN=90o，CM=AN， 所以BCMBAN（SAS）

BM=BN，CBM=ABN

ABC=90o=ABM+CBM

=ABM+ABN=MBN，又BM=BN

所以MBN为等腰Rt三角形， 又BP斜边MN于P， 所以NPB为等腰Rt三角形。 BP=MN/2，PNB=45o。

BNE=ENF+PNB BEN=QEN+QEB

又QEN=ENF，PNB=QEB=45o 所以BNE=BEN BN=BE，

又PNB=QEB=45o=NBP=EBQ

7

(完整word版)经典截长补短法巧解

所以BEQBNP（SAS） EQ=BP

因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2 所以AD—EF=MN/2。

8