四年级奥数教材

四年级奥数目录

①数列中的规律 ②图形中的规律

（一）找规律★★（观察力和计算能力的一个结合）

（二）数字谜★★★（运用简单的数字组成不同或相同的位数，使式子合理） ①横式字谜 ②竖式字谜

（三）定义新运算★★★（它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。）

&

（四）鸡兔同笼★★★（根据现实的例子，进行推理和计算） （五）行程问题★★★★（求路程的问题，公式的运用） ①追及问题与相遇问题 ②火车过桥

（六）植树问题★★★（植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的，每种方法不一）

（七）有趣的数阵图★★★（把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图）

（八）枚举法★★（通过推测将所有的可能写下来） （九）推理逻辑★★（根据已知的条件，推出合理的答案）

？

（十）倒推法的妙用★★★（加的倒推成减，减的倒推成加，以此更简单快速地计算出答案）

（十一）火柴棍游戏★★★（通过移动火柴变成另一个数字或图形） （十二） 巧求周长（一）★★★★（一些不规则的比较复杂的几何图形，求周长，可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后利用周长公式进行计算）

（十三）面积计算★★★★（解答比较复杂的长方形、正方形的面积计算的问题时，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧）

（十四）移多补少平均数★★★（将多的一方分出一部分给少的，使多的和少

的同样多）

（十五）一笔画★★（类似于走迷宫）

（一） 找规律

~

观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

① 数列中的规律

一、例题与方法指导

》

例1： 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1，4，7，10，（ ），16，19

思路导航： 在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：

10+3=13或16－3=13

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

】

例2： 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 1，2，4，7，（ ），16，22

思路导航：

在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。

经验证，所填的数是正确的。 应填的数为：7+4=11或16-5=11

例3： 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

\\

23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12

思路导航： 在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10

二、巩固训练

1. 先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

、

（1）2，6，10，14，（ ），22，26 （2）3，6，9，12，（ ），18，21 （3）33，28，23，（ ），13，（ ），3 （4）55，49，43，（ ），31，（ ），19 （5）3，6，12，（ ），48，（ ），192 （6）2，6，18，（ ），162，（ ） （7）128，，32，（ ），8，（ ），2

（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3

?

2. 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）10，11，13，16，20，（ ），31 （2）1，4，9，16，25，（ ），49，

（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2 （4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8 （5）81，，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1

\"

（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14 三、拓展提升

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ） （2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）

（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）

…

（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）

② 图形中的规律

我们通常会碰到一些图形，它们在某一方面，比如颜色，形状，大小，结构，位置或繁难等有些共同的特征或变化规律，你能通过观察找规律，并根据规律推断出结果吗？

;

一、例题与方法指导

例1. 下面哪个图形和其他几个不一样，你能找出来吗？

A思路导航：

BCD

题中几个图形的共同特征是：先连接各边中点，组成一个复合图形。所不同的是，B图形是一个三角形，而其他几个图形都是四边形，这样，只有B与其他几个不一样。

;

例2. 找出下组图形中不同的项。

A思路导航：

BCDE

题中只有D图形不是由A翻转过来的，其他图形都是在同一个平面内通过把A图形旋转而得到的。故不同的选项应该为D

例3. 在下面图形中找出一个与众不同的.

:

(1) (2) (3) (4) (5)

思路导航： 很容易看出题目图中(1)逆时针旋转90就是(4),但是这样一来,(2)、(3)、(5)都与它们不同了.题目上要求找出一个.所以放弃这种想法.

\"

图(2)顺时针旋转90,且大、小两个矩形颜色互换一下就得到(5).而图(1)与(3)的变化规律也是这样:顺时针旋转90,大小两部分颜色互换.因此(1)与(3)配对,(2)与(5)配对.

解:与众不同的是题目图中的(4).

例4.依照下面图中所给图形的变化规律,在空格中填图.

> @ 思路导航： 我们分花盆、花茎、花叶、花朵四个部分逐步观察.

(1)花盆:花盆的形状每一行都是由同样的三种形状组成,所以第三行所缺的形状便是应填的图案中的花盆形状;花盆的颜色在同一行中都是由黑、白、灰(画有斜线)三色组成,图中第三行已有白、灰二色，所以应填的花盆为黑色(如下图(1)); (2)花茎:如同上面一样的分析.花茎的形状为鱼钩状,方向向右(如下图(2)); (3)花叶:花叶数量为两朵,方向是向左、右平展(如下图(3)); (4)花朵:形状为圆形(如下图(4)).

￥

(1) (2) (3) (4)

解:依照所给图形的变化规律,空格中应填的图形如图(4).

二、巩固训练

。

1. 按顺序观察图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“?”的空格处应画什么样的图形?

分析 观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2;图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格(第一格除外)比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。

解：在图5—2的“?”处应是

2. 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。

分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：

|

① 仅由圆、三角形、正方形组成;

② 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。

因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。

解略。

3. 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“?”处填上合适的图形.

分析 显然，图(a)、图(b)中都是圆，而图(c)中却不是圆;同时，图(a)、(c)中都有3个图形，而(b)中只有两个.由此可知：图(a)到(b)的变化规律对应于图(c)到(d)的变化规律.再注意到图(a)到图(b)中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图(d)中的图形了。

：

解：在上图的“?”处应填如下图形.

4. 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“?”处填上适当

的图形.

分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“?”处的图形就不难得出。 解：图中，(b)、(f)、(h)处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.

：

小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其

变化规律，从而把复杂问题简单化。

（二） 数字谜

小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了

无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。

在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

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① 横式字谜

一、例题与方法指导

例1 □，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？

思路导航：150*3-8-97-5=340

所以3个数之和为3+4+5=12。

例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立： （1）6□□4÷56=□0□， （2）7□□8÷37=□1□， （3）3□□3÷2□=□17， （4）8□□□÷58=□□6。

。

分析：（1） 6104/56=109

（2）7548/37=204 （3） 3393/29=117 （4）8468/58=146

例3 在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后，

就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。

分析：40796/102=399...98。

例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学

在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161

%

例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。

思路导航： 这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a当a=1时，有6*8/2=24，8*9/3=24；

当a=2时，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。

例6 ① □×□=5□；② 12+□－□=□，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当6*9=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

…

1. 迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？ 分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛 的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445； 所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。 2. 迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的

数字。那么“迎+春+杯”等于多少？

分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：8+9*9=；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。 三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

】

(2)6×□＝3□。

(1)5×□=2□；

2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

(1)□÷□=□÷□；

(2)□÷□＞□÷□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

(1)448÷□□=□； (3)13×□□= 4□6。

(2)2822÷□□=□□；

4.在下列各式的□中填入合适的数：

(1) □÷32＝8……31；

\"

(2)573÷32＝□……29；

(3)4837÷□＝74……27。

②竖式字谜

一、例题与方法指导

例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？

分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。

—

例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能； （2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是965。

例3在图4-3所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．

分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相应的只能是0或1。但是“华”=1，所以，“人”就是0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大1，这样就说明“港”不是9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于9的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”大1，那么“爱”就等于8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相

加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，显然“港”=5，“回”=6，“归”=7。 这样，整个算式就是：9567+1085=10652。

、

例4 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？

分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。

二、训练巩固

1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少？

~

分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于

9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．

分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。

3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？

分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是19。

三、￥

四、

拓展提升

1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？

分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。

2. 某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？

分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；

4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是1025。 3. 在图4-7所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？

。

分析：同第10题一样，也是利用1/7的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有3和6可选：

好=3，则：142857*3=428571；好=6，则：142857*6=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。

（三） 定义新运算

定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×、÷、、>、<”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导

)

例1. 设 ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。

解5△6-5×4-6×3=20-18=2

6△5=6×4-5×3=24-15=9

说明 例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2. 对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。

思路导航：

先做括号内的运算。

,

解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95 5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79

说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。

例3. 已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.

计算（6△3）-（5△2）。

思路导航：

原式=6×7--5×6

~

=336-30

规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。

例4. 求1△100的值。已知x△10=75,求x.

思路导航：

（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050

（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75, 所以

|

10X+(1+2+3+…+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3

二、巩固训练

1. 若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。

】

2. 如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

{

三、能力提升

*

》

（四） 鸡兔同笼

?

鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中，已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题，在现实生活和生产中应用广泛，有着十分重要的使用价值。

鸡兔问题，也叫简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部的只数都是鸡或者是兔，算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

计算时的主要数量关系是： 1.如果假定全部是兔，则

鸡的只数=（每只兔的足数×总头数－总足数）÷（每一只鸡与兔足数的差） 简单理解就是：

鸡的只数=（4 ×总头数－总足数）÷2

!

兔的只数=总头数－鸡的只数 2.如果假定全部是鸡，则

兔的只数=（总足数－每只鸡的足数×总头数） ÷（每一只鸡与兔足数的差） 简单写就是

兔的只数=（总足数－2 ×总头数） ÷2 鸡的只数=总头数－兔的只数

一、例题与方法指导

》

例1. 鸡兔同笼，共有100个头，320只脚，问鸡和兔各是多少只？

思路导航：

鸡有2只脚，兔有4只脚，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，当成一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，当成一只脚，那么兔子和鸡一样，都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是100×2=200（只），但比实际320只脚要少320－200=120（只），为什么会少了120只脚呢？是因为每只兔子只算一只前脚，一只后脚，

而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚，一共少算了120只脚，所以兔子应该有120÷2=60（只）。

解法一：

解法二：

4×100=400（只）

2×100=200（只）

320－200=120（只） 400－320=80（只） 120÷2=60（只） 100－60=40（只）

{

80÷2=40（只） 100－40=60（只）

答：鸡有40只，兔有60只。

例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张，已知它们的总面值是940元，这两种纸币各多少张？

思路导航：

（1）假设200张纸币完全是2元，共值： 2×200=400（元） （2）比实际少：

940－400=540（元）

$

（3）2元换成5元，每张增加： 5－2=3（元） （4）5元纸币有： 540÷3=180（张） （5）2元纸币有：

200－180=20（张）

答：有180张5元、20张2元纸币。

(

例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多25只，脚数共176只，鸡、兔各多少只？

思路导航：

假设去掉多的25只鸡，则一共去掉2×25=50（只）脚，那么176－50=126（只）脚是鸡和兔一样多的脚的总数量，而一对鸡兔共有2＋4=6（只）脚，可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔，然后再加上去掉的25只鸡。

2×25=50（只） 176－50=126（只） 2＋4=6（只）

126÷6=21（对）‥‥‥鸡、兔各21只 21+25=46（只） ‥‥‥鸡的只数

#

答：鸡有46只，兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼，共有头90只，脚252只。鸡兔各多少只？

[

2.鸡兔同笼，共有头80只，鸡的脚数比兔的脚数多40只，鸡兔各多少只？

/

3.30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？

三、拓展提升 1.》

2.

鸡兔共100只，鸡的脚数比兔少40只，鸡兔各多少只？

3.46人去划船，一共乘坐10条船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少条？

|

4.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆，两种车轮总和96个，三轮车和自行车各多少辆？

]

（五） 行程问题

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：

三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间

牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。

① 追击及遇问题

一、例题与方法指导

例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间

2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间

这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

思路导航： 这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。

第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228

（米） 第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）=114（分钟）

第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）×114=82（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思

路更加清晰。

^

例2. 东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度

从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？ 思路导航：

从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙

车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。

解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）

（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米） （3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）

-

（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）

答：乙车每小时行30千米。

例3. 兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑

自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？

思路导航： 从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，

哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。

解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）

!

（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分） （3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米） 答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。

二、巩固训练

1. 两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。

甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？

<

2. 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？

-

3. 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？

'

三、拓展提升

1. 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？

~

2. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。

:

3. 两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？

…

② 火车过桥

过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的

总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：

~

过桥问题的一般数量关系是：

因为：

过桥的路程 = 桥长 + 车长

所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速

车速 = （桥长 + 车长）÷过桥时间

公式的变形：

桥长 = 车速×过桥时间 — 车长

车长 = 车速×过桥时间 — 桥长

后三个都是根据第二个关系式逆推出的。

$

火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。

一、例题与方法指导

例1. 一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？

思路导航：

从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。

（1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）

/

（2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）

答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。 例2.

一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这

列火车每秒行多少米？

思路导航： 要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。 （1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火车的速度：600÷30 = 20（米） 答：这列火车每秒行20米。

[

例3. 某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？

思路导航： 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。

（1）第一个隧道比第二个长多少米？ 360—216 = 144（米）

（2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？ 24—16 = 8（秒）

:

（3）火车每秒行多少米？ 144÷8 = 18（米） （4）火车24秒行多少米？ 18×24 = 432（米） （5）火车长多少米？ 432—360 = 72（米）

答：这列火车长72米。

二、巩固训练

、

1. 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道

用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？

2. 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？

|

3. 一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？ 三、:

四、

拓展提升

1. 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离

桥用了1分钟，求这座桥长多 少米？

|

2. 一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，

共用40秒钟，桥长150米， 问这条隧道长多少米？

3. 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度

开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？

]

4. 在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18

米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？

（六） ]

（七）

植树问题

只要我们稍加留意，都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察，这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系，我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题，一般又可分为封闭型的和不封闭型的（开放型的）。

封闭型的和不封闭型的植树问题，区别在于间隔数（段数）与棵数的关系： 1、不封闭型的（多为直线上），一般情况为两端植树，如下图所示，其路长、间距、棵数的关系是：

但如果只在一端植树，如右图所示，这时路长、间距、棵数的关系就是：

如果两端都不植树，那么棵数比一端植树还要再少一棵，其路长、间距、棵数的关系就是：

2、封闭型的情况（多为圆周形），如下图所示，那么：

\\

植树问题的三要素：

总路线长、间距(棵距)长、棵数．

只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个． 植树问题的分类：

⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题

一、例题与方法指导

*

例1 有一条公路长1000米，在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳，可种植垂柳多少棵?

思路导航：

每隔5米栽一棵垂柳，即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树，所以要种植的棵数比分成的段数多1，所以，可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?

思路导航：

在圆周上植树时，由于可栽的株数等于分成的段数，所以，可栽柳树=1350÷9=150株；由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃，而间隔数（段数）为150，所以栽夹枝桃的株数=2×150=300株；每隔9米种柳树一株，在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃，这就变成两端都不植树的情形，即2株等距离栽在9米的直线上，不含两端，所以，每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。

例3 一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？ 思路导航： @

16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为8×15＝120（米）；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；8×3=12×2=24，也就是说，每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个。

事实上，所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称，并不单指植树问题。例如，与之类似的还有爬楼（梯）问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以，植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

、

2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式，他们每5人一行，前

后每行间隔为2米，台长42米，他们以每分钟45米的速度通过台需要多少分钟?

？

3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形，它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段，每锯断一次要用5分钟，共需多少分钟?

>

三、能力提升

1 、一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园栽多少棵花？

[

2 、时钟4点敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

，

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车速度，测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少？

（八） 有趣的数阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.

}

一、例题与方法指导

例1. 在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

思路导航：

由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

—

例2. 将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有

证明：

思路导航：

设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。

根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到

'

3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），

3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c， d——c＋b＝d——a＋c，

2c＝a＋b， a＋b c＝2。

值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。

例3. 在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

;

思路导航：

由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。

例4. 在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

思路导航：

由例2知，右下角的数为

`

（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

二、巩固训练

1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.

。

2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.

—

3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.

~

4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.

5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.

<

!

练习

1. 把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等.

?

2. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.

;

3. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.

,

【

4. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.

÷ = = - = + &

× =

}

5. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.

（

6. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.

？

7. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.

\\

8. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.

|

9. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.

(

（九） 枚举法

一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。

一、例题与方法指导

】

例1. 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？ 思路导航：

解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、、65、66、67、68、69，共10个。

总共10+10=20（个）

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

例2. 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）

；

思路导航：

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C

第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C

'

第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。

例3. 印刷工人在排印一本书的页码时共用10个数码，这本书有多少页？ 思路导航：

（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：

2×90=180（个）

@

（3）还剩下的数码：

10-9-180=1701（个）

（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。

1701÷3=567（页）

（5）这本书的页数：

9+90+567=666（页）

二、】

三、

巩固训练

1. 如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要

使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？

2.从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大

于10，共有多少种不同的取法？

3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，

一共有多少种不同的支付方法？

,

4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？

5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。问一共有多少种不同的订法？

$

四、能力提升

1. 甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？

2. abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，

但彼此不同，例如2134。请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd来。

￥

3. 一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位

与百位数字的和恰好等于十位上的数字。问一共有多少个这样的数？

;

4. 3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件。现在25

个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。那么，甲穿的运动衣的号码是多少？

5. 甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先

胜三局谁赢，打到决出输赢为止。那么一共有多少种可能的情况？

$

（十） 逻辑推理

曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一起来看看是什么题呢。

在一条街上有5座颜色不同的房子，住着5个不同国家的人，他们抽着5种不同的烟，喝着5种不同的饮料，养着5种不同的宠物。有下面15个已知条件，求解。

1、英国人住红色房子。 2、瑞典人养狗。 3、丹麦人喝茶。

4、绿色房子在白色房子左面。 5、绿色房子主人喝咖啡。 6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。 8、住在中间房子的人喝牛奶。 9、挪威人住第一间房。

10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。 12、抽Blue Master的人喝啤酒。 13、德国人抽Prince香烟。 14、挪威人住蓝色房子隔壁。

15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。 问:哪个国家的人养鱼?

这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。

一、!

二、

例题与方法指导

例1. 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：

甲判断：不是铁，也不是铜。 乙判断：不是铁，而是锡。 丙判断：不是锡，而是铁。

经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？ 思路导航：

;

丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。

例2. 数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，

一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？ 思路导航：

小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。

（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。

（2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。

…

例3. 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、

丁进行了审问。四人分别供述如下：

甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”

乙说：“我没有做案，是丙偷的。” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。” 丁说：“乙说的是事实。”

经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？ 思路导航：

`

乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。

三、巩固训练

1. 小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。那么三人各是什么职业?

！

2. 甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不

懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？

`

3. 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们

都是象棋迷。

（1）车工只和电工下棋；

（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋； （3）徐师傅与电工下棋互有胜负； （4）陈师傅比钳工下得好。

问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

#

（十一） 倒推法的妙用

师说：“这里有10张纸牌，依次写着1-10，我闭上眼睛，你任意抽一张出来。”“好，已抽好了。”乙回答道。“嗯，把你的那张纸牌上的数乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告诉我得数是几。（可任意找学生抽卡片）

乙又说：“得数是23。”

|

那她抽的那一张是几呢？

这个数是9，我们怎么知道？同学们，你们都知道其中的奥秘吗？ 让这节课来告诉大家吧，

利用倒推法，倒推法是根据加法与减法、乘法与除法互相逆运算的关系，从最后的得

数出发。因为23是加上2后得到的，就要减去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要减去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一张一定是9。一些游戏，只要你知道其中的奥秘后，你就不会大惊小怪了。

一、例题与方法指导

例1. 喜迎奥运，猜年龄:刘翔的年龄除以4再减去2,乘25正好是100.你知道刘翔今几岁吗 ？

~

思路导航：

① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪个呢？ 倒推法的方法：从结果出发，从后向前运算，并且每个运算变成它的逆运算。正确答案③

例2. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？ 思路导航：

依题意，画图进行分析.

￥

解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2 ＝22（个）

答：篮子里原有梨22个.

例3. 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？ 思路导航：

解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.

!

解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克） ②第二天运进200千克后的一半是多少千克？ 600＋30＝630（千克）

③第二天运进200千克后有白菜多少千克？ 630×2＝1260（千克）

④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克） ⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）

，

答：菜站原来贮存大白菜2120千克. 综合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2 ＝2120（千克）

答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.

通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

(

②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.

③列式时注意运算顺序，正确使用括号

二、巩固训练

1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

*

2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

!

三、拓展提升

1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

、

2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

3.树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来有多少只鸟？

，

4. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？

5. 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

,

>

（十二） 火柴棍游戏 ① 摆图形游戏

一、例题与方法指导

例1. 用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆

出与这个正方形同样大小的图形吗？ 思路导航： 8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面的四个图形都符合题意。

(

例2. 用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。

思路导航：

4根火柴可摆出一个正方形，另4根火柴又可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。

：

② 移动火柴，变换图形游戏

一、例题与方法指导

例1. 右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改变方向。

思路导航：

如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。

；

例2. 在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。

思路导航：

因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。

例3. 在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个三角形，并且这3个三

角形的面积之和与原来的六边形面积相同。

￥

思路导航：

原图中有6个三角形，变化后剩下3个三角形，这3个三角形与原来的6个三角形的面积相同，必然有一个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示的4根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面积的4倍。

③ 去掉火柴，变换图形游戏

一、例题与方法指导

例1. 在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中不存在任何正方形。

思路导航：

#

拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上图，拿掉虚线处的4根火柴即可。拿法不唯一。

例2. 在左下图中，去掉4根火柴棍，使它变成两个完全相同的图形组合。

思路导航：

左上图的面积等于七个边长为1根火柴棍的小正方形的面积之和。要达到规定要求，必须去掉一个小正方形。剩下的部分划分成两个面积等于三个小正方形面积的图形。去掉右上图中虚线所示的火柴棍即可。

！

（十二） 巧求周长（一）

专题简析：

一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，

巧妙地求一些复杂图形的周长呢？

对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。

将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。

例题1 下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。

2米3米】

思路导航：如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把

每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。

2米3米

（2＋3）×2=10米。

练 习 一

1，下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？

2，如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？

【

学校AB

3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）

121230

例题2 下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？

60

思路导航：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：

这个长方形的长含有4个小正方形的边长，长为2×4=8厘米；宽含有2个小正方形的边长，宽为2×2=4厘米。这个长方形的周长为：（2×4＋2×2）×2=24厘米。

~

练 习 二

1，下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。

2，下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。

3，用24个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？

例题3 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？

`

思路导航：根据题意，画出下图。

当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的边就减少了2条，而已知两条边的和是6厘米，那么一条边长就是6÷2=3厘米。所以，原来正方形的周长是：3×4=12厘米。

练 习 三

1，把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少？

*

2，把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原

来正方形的周长增加28分米。原来正方形的周长是多少？

3，把边长是48厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长方形的周长是多少厘米？

—

例题4 一个正方形，边长是5厘为，将9个这样的正方形如下图一样拼成

一个大正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？

思路导航：从图上可以看出，9个小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3个小正方形组成。已知小正方形的边长是5厘米，所以大正方形的边长就是5×3=15厘米，大正方形的周长就是15×4=60厘米。

练 习 四

1，把16个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？

】

2，把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的

周长为多少厘米？

3，把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个大长方形的周长是多少？

例题5 将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？

思路导航：将边长36厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的和就比原来大正方形周长增加2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2个边长，一共增加2×2个边长。所以这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了36×4=144厘米。

-

练 习 五

1，将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么这4个小正方形周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？

2，把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？

3，将一个长为8分米，宽为6分米的长方形如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？

)

（十三） 巧求周长（二）

专题简析：

在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。

解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。

例题1 把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？

思路导航：把长130厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2厘米，可知围成的长方形的周长为130－2=128厘米。因为长方形的周长=（长＋宽）×2，所以长与宽的和为128÷2=厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差为18厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。

13-2=128厘米 128÷2=厘米

长：（＋18）÷2=41厘米 宽：（－18）÷2=23厘米

！

练 习 一

1，如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。

5厘米

2，小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？

3，一个周长为20厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？

例题2 一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形。这个长方形的宽是多少厘米？

思路导航：要求长方形的宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少，也就是这根铁丝余下的长度。

…

（1）正方形的周长：8×4=32厘米 （2）长方形的周长：80－32=48

厘米

（3）长方形的宽：48÷2－14=10厘米

练 习 二

1，一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？

2，一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？

$

3，一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长为12厘米、宽为10厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？

[

例题3 一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都是4厘米。长方形的长是多少厘米？

思路导航：根据长方形的周长是正方形的2倍，我们就应先求出正方形的周长，然后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。

（1）正方形的周长：4×4=16厘米 （2）长方形的周长：16×2=32厘米 （3）长方形的长：32÷2－4=12厘米。

练 习 三

1，一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。长方形长多少厘米？

/

2，一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米。长方形的长是多少厘米？

3，一张长方形纸，长28厘米，宽15厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少？

|

例题4 三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。

思路导航：要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成3份，其中的1份，根据正方形的周长是48厘米，可求出它的边长为48÷4=12厘米，那么长方形的周长是（12＋4）×2=32厘米。

练 习 四

&

1，四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为厘米，

长方形周长是多少？

2，六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每个长方形周长是多少？

3，明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。

例题5 一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的

正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周长是多少？

/

思路导航：根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。

28厘米第二次剪下第一次剪下15厘米

观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为15厘米的正方形，这时长边还剩下28－15=13厘米；第二次剪下的以长边剩下的13厘米为边长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是15－13=2厘米，长为13厘米，即周长是：（13＋2）×2=30厘米。

练 习 五

1，一张长为25厘米，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？

$

2，一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，

再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？

（十四） 面积计算

专题简析：

\\

我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，

正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？

思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。

4米3米

正方形的面积：3×3=9米。

练 习 一

1，把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？

%

2，把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？

3，将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？

：

例题2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？

思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。

练 习 二

1，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？

-

2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。

3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。

；

例题3 求下面图形的面积。（单位：厘米）

1423

思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：

1423

从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

所以，这个图形的面积为：8＋3=11平方厘米。

…

想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？

练 习 三

计算下面图形的面积。（单位：厘米）

40(1)20152(2)2111112(3)4130

53

例题4 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？

)

思路导航：如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是8×3×2=48平

方厘米，现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长3厘米的正方形，面积是3×3=9平方厘米，因此，这个图形的面积是48－9=39平方厘米。

练 习 四

1，两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面

884488被盖住的面积是多少？

2，求下图中阴影部分的面积。（单位：分米）

772255

3，一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）

9565

|

例题5 一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3

厘米，面积就减少18平方厘米。求原来长方形的面积。

3厘米18平方厘米10平方 厘米

从图上可以看出，长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，说明原来长方形的宽是10÷2=5厘为；宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米，说明原来长方形的长是18÷3=6厘米。所以，原来长方形的面积是：6×5=30平方厘米。

练 习 五

1，一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？

>

2厘米

2，一个正方形若边长都增加4厘米，面积就增加56平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？

3，一个长方形，若宽增加6分米就是一个正方形，面积就增加了66平方分米，求原来长方形的面积。

（十五）方程式解应用题

一、例题与方法指导

例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么还剩32个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?

例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？

间接设未知数

设鲨鱼身长x米。 身长=头长+尾长， 尾长= x÷2＋3 身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?

解答：假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练

1. 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?

2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？

（十六）移多补少平均数

在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。

要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”……也就是求平均数问题。 一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别有图书33本，42本，20本，53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？

思路导航：分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以5。

（33+42+20+53+32）÷5=36（本）

或取较为中间的一个数，如35作为基数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出来。将这些差相加减，多出的为加数，不足的为减数，所得的数除以5，再加上基准数35，得出的就是要求的平均数。 提出总数，份数，平均数

5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式： 平均数=总数÷份数 由此关系式可得出 总数=份数×平均数

份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，讲5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？ 分析1：知道前四次的语文平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总成绩，再用五次的总成绩减去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航：

68×4－70×5=78（分）

前四次平均为68分，要求平均分为70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12块乙拿走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？

思路导航：

因为甲乙两人带的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元） 二、巩固训练

1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最

大的人可能是多少岁？

2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数

是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？

3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？

三、拓展提升

1.一位小朋友的语文成绩是96分，数学成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门的平均分。

2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。

3.小明和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了

铅笔，小明买了12只，小红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？

4.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？

5.有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？

（十七）一笔画

有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。

所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？

当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。

一、例题与方法指导

例1 下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？

思路导航：

我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个

展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。

例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解

决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。

例2 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才

能使所走的行程最短？全程多少千米？

思路导航：

图有8个奇点，必须在8 个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。

例3 右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？

思路导航：

这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或

例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所

以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。

例4 在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？

思路导航：

许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D 却不能，因此E点的蚂蚁获胜。

二、巩固提高

1.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？

2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段

表示道路。邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？

3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？