12.1 全等三角形
【课题】：全等三角形(特色班)
【设计与执教者】：广州市增城市派潭镇第二中学， 【教学时间】：45分钟
【学情分析】：《全等三角形》是人教版八年级数学第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇，也是进一步学习其它图形的基础之一。在知识结构上，以后学习的几何图形很多要通过全等三角形来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以启迪和发展。因此，本小节的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。
本小节是在学过了线段、角、相交线、平行线、三角形的有关知识以及一些简单的说理内容之后来学习的，为学习全等三角形奠定了基础。通过本小节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。然而由于学生在图形识别能力上的不足，教材要求学生会确定全等三角形的对应元素也就成了学生有待突破的难点。
对于学习基础较好的尖子生来说，本节课采用以启发式、实验法为主，讨论法、阅读法为辅的教学方法。在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉和识图能力；学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得用数学的思想方法处理问题的能力。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。学生通过剪一剪、拼一拼、看一看等动手、动脑的活动，主动探索，发现规律；互相合作、解决问题；归纳概括、形成能力。 【教学目标】：
（1）知识与技能目标：了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。
（2）过程与方法目标：通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动，让学生在动手操作的过程中，感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律，以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。运用多媒体演示图形的位置变化，使学生认识到图形具有相对运动能力。变换两个重合的三角形的位置，使它们呈现各种不同的位置关系，让学生从中了解、体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。
（3）情感与态度目标：通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，在探究和运用全等三角形知识的过程中，认识生活和数学的关系，感受到数学活动的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：对全等三角形的性质，在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上，形成理性认识，理解并掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【教学难点】：正确寻找全等三角形的对应元素
【教学突破点】：通过学生动手操作，小组合作等方式，掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确指出两个全等三角形的对应元素，培养学习良好的学习方法与学习习惯。 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。 【课前准备】：课件、三角板 【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图 一、提 出 问 题 ， 创 设 情 境 观察思考：每组的两个图形有什么特点? 运用贴近学生 生活的图案激发学生探究的兴趣，使他们（1） （2） 能很快地投入 到学习的情境 中。 （3） 1、每组的两个图形形状大小都一样。 2、每组的两个图形平移后都可以重合。 那现实生活中能够完全重合的图形的例子? 如：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 图形全等在生总结：那么我们把（板书）能够完全重合的两个图形叫做全等形. 活中大量存师观察下面两组图形，它们是不是全等形？并指出它们的相同点与不在，创设这样同点。 的问题情境，（1） 引起学生有意 注意，激发学 生主动思考和 联想；引导学 生进一步联系生活，激发探究欲望。 （2） 图（1）里的两个图形都是八边形，但是它们的大小不相同。 图（2）中两个图形都是由三个大小相同的小正方形组合而成的，帮 他们大小相同，但形状不相同。 （板书）全等形的特征：全等形的形状和大小都相同 通过动手实（学生动手制作）（1）先做一个三角形，然后将取下来的三角形按在践，获得全等纸上做第二个三角形。（2）试着把手中的两个三角形叠放在一起看看，形的体验. 他们会怎么样？ AA1 BCB1C1 （板书）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 二、 讲 授 新 课 观察与思考： A A’ B C B’ C’ 实图操作：将△ABC沿直线BC平移得到△A’B’C’ （板书） 互相重合的顶点叫做对应顶点. 互相重合的边叫做对应边. 互相重合的顶点角叫做对应角 现在请同学认真观察指出图中的对应顶点、对应边、对应角。 交流总结得出： 对应顶点： A和A’、 B和B’ 、 C和C’ 对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’ 对应角：∠A和∠A’ 、∠B和∠B’、∠C和∠C’ 师：回答的很好。因为同学们的细心，所以才可以很全面的找出完整的答案。我们通常会把两个全等三角形（板书） 记作：△ABC ≌ △ A’B’C’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” 强调：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． [例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，•说出这两 通过学生动手尝试图形全等变换的过程，形成直观感觉。 通过学生动手操作实践、分析、总结出图形变换的本质，加深对图形变换的理解 个三角形中相等的边和角． COABD 问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，•思考通过怎样变换可以使两三角形重合？ 将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，•所以C和B重合，A和D重合． ∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB． 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，•指出其他的对应边和对应角． 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．根据位置元素来找：有相等元素，ABDEC它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE和∠CAD． 对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD． [例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成） 主要利用变式图形使学生掌握各种不同位置的图形中边、角的对应关系，突破本节课的难点。 培养学生对较复杂图形的识别能力，进一步加深学生对全等三角形性质的理解。 运用全等三角形的性质对较复杂图形进行C探究，初步培E养学生综合运O用全等三角形DB 性质的能力。 借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，•在两个三角形中∠A的对边分 别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合， 所以AB•与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再 根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠ AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应 角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED． 做法二：沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC•翻折180°后，它正让学生巩固所学知识，并学好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与会用所学的知识进行推理和DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED． 解决实际问 题。 A 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质， •并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课 加深对知识的大家要重点掌握的． 理解，促进学找对应元素的常用方法有三种： 生对课堂的反思。 （一）直观方法判断 1.一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 2.一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角 （二）从运动角度看 1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对 应元素． 巩固、提高、2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从反思。使各层次的学生得到而发现对应元素． 不同的发展。 3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素． （三）根据位置元素来推理 1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 四、概括采取师生互动的形式完成。 梳理，形即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知成系统 识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 （小结） 采取师生互动的形式完成。 五、布置作业 1、 课后作业。 2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。 课后练习 1、如图1，△ABC沿BC所在直线向右平移，得到△DEF，则△ABC ≌ △DEF，∠B=∠ DEC ，AC＝ DF ，BE= CF 。
2、如图2，△ACO绕点O旋转180°，得△BDO，则△ACO ≌ △BDO,OA = OB,OC= OD ，∠A= ∠B ,∠D= ∠C ,∠AOC与 ∠BOD 是对应角。
3、如图3，△ABC和△DEF是两个全等的三角形，顶点A与F，B与D、C与E能互相重合，则下面书写正确的是（ B ）。
（A）△ABC≌△DEF （B）△ABC≌△FDE
C E （C）△ABC≌△DFE （D）△ABC≌△FED A D D B O B E C F
图1 A C 图2 4、如图4，将△ABC绕点B顺时针旋转后得到△DBE，且点D在BC上，则图中的两个三角形的关系是 全等 ，这时，∠A= ∠EDB ,∠ABC=∠EBD ,若AB=3cm，BC=5cm，则CD= 2 cm。
5、如图5，将△AEB≌DFC，AE⊥CB，DF⊥BC，AE=DF，∠C=28°，则∠A= 62° , ∠B= 28° 。 6、如图6，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°∠C=20°，则∠D =20°，∠OAD= 95° 。 C A B O F D B A E E A C D B D C 图4 图6 图5 7、如图7，在△ABC中，∠BAC=100°，∠C=30°，将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转后得到△ADE，那么△ABC与ADE的关系是 全等 ,这时，∠DAE= 100°，∠D= 30°。 8、如图8，△ABC≌△EDC，且∠ACB=∠ECD=90°。 （1）写出对应边、对应角；（AC=EC BC=DC AB=ED；∠A=∠E ∠B=∠D） （2）∠BCD与∠ACE相等吗？请说明理由。（由∠BCD+∠DCA=∠EAC+∠ACD=90°易得∠BCD=∠ACE） 9、如图9，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=46°，求∠DAE的度数。
（由△ADE≌△AFE得∠DAE=∠EAF，又因为∠BAF=46°，故∠DA=22°） C D A A D E B B F A 图9 E B C 图107 △ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的长（由△ABD≌ △EBC得 AB=BE=3，DB=BC=5，10、如图图8 故DE=2）
D E C 图10
