经济数学习题(第2-6章)

第二节 函数极限

x1． 设f(x)3x1x3x3 ．作f(x)的图形，并讨论当x3时，f(x)的左右极限．

2． 证明f(x)x，当x0时极限为零．

xx3． 函数f(x)，回答下列问题：

（1） 函数f(x)在x0处有左右极限是否存在？ （2） 函数f(x)在x0处是否有极限？为什么？ （3） 函数f(x)在x1处是否有极限？为什么？

第三节 无穷大与无穷小

1．利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： （1）limxsinx021x； （2）limarctanxxx

第四节 极限运算法则

1．填空题：

（1）已知a，b为常数，limanbn22n12x3，则a ．

x21axb1，则a ，b ．（2）已知a，b为常数，lim

xx2．求下列极限：

3nn4n12211213121321n（1）limx （2）limx12 13n2（3）limx1n23n22n1 2n(n1 （5）limnn(n1)11

（4）limx112123n)n 3．求下列极限： （1）limx3x4x4222x2 （2）limxh02(xh)xh3033

（3）lim3x5x1x3x42x （4）lim(2x3)(3x2)(5x1)320x50

2x3x111（5）lim122 （6）lim 5xx4x2x7xx（7）lim3x1xx12x1 （8）limx111x3 31x3（9）limx1x1nmx1（m,n是自然数） （10）limx1x1x1

（11）lim(1x)(12x)(13x)1xx0 （12）lim((x2)(x1)x)

x4．求下列极限： （1）limx3x(x3)222x3 （2）limx23x43x

（3）lim(5x2x3)

x第五节 极限存在准则 两个重要极限

1．求下列极限 （1）lim（3）limsin2xsin5xx0 （2）limxcot2x

x01cos2xxsinxxsinxxsinxx0 （4）lim2sinnnx23n

（5）limx0 （6）limtanxsinxxx0（7）limsinxsinaxasin(xxa （8）limx33

12cosx)（9）lim(1x)tanx1x2

2．求下列极限 （1）lim(1x2xx)21 （2）lim(x02x22)x

2

（3）lim(xx1x1) （4）lim(1xx1x)x

2（5）lim(xx22x) （6）lim(13tanx)x02cotxx1

（7）limln(12x)sin3xx0 （8）lim{n[ln(n2)lnn]}

n3．利用极限准则证明： （1）limn(n1n21n221nn2)1

（2）数列x12,xn1

12(xn1xn)的极限存在

第六节 无穷小的比较

1．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）limsin(x)(sinx)mnx0 （m,n为正整数） （2）limsin2x(e1)tanx2xx0

（3）limln(12x)sin5xx0 （4）limtanxsinxsinx3x0

（5）limx0111

xsinxtanx第七节 函数的连续性

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： 12（1）f(x)x1x1x21x1 （2）f(x)2xx10x11x2

2．确定常数a，b使下列函数连续：

ln(13x)bxx02 （2）f(x)x0sinaxxx0x0 x0ex（1）f(x)xa

3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使化连续：

3

（1）yx4x5x62x145x22，x2，x3；

（2）yx1x1 ，x1．

4．求下列极根： （1）lim3x2x3 （2）lim(cos2x)

x2x04（3）lim

e2t1t1t （4）limxsinxx

2第八节 闭区间上连续函数的性质

1．试证下列方程在指定区间至少有一个实根： （1）x33x10，在区间(1,2)； （2）xex2，在区间(0,2)．

2．若f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb，则在[x1,xn]上至少有一点x0，使

f(x0)f(x1)f(x2)f(xn)n．

第三章 导数微分

第一节 导数概念

1． 设f(x)4x，试按定义求f(1)．

2． 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义求下列极限，指出A表示什么？ （1）lim（3）limf(x0x)f(x0)2xf(x)xA （2）limf(x0h)f(x02h)hA

2x0h0x0A，其中f(0)0且f(0)存在；

A，其中，为不等于零的常数．

（4）limf(x0x)f(x0x)xx03．求下列函数的导数：

4

（1）y5x （2）y2x3x32

x（3）yaxex （4）y1x2

xx （5）ylgx （6）y4．设函数f(x)可导，且f(3)2，求lim6f(3x)f(3)2x．

x05．求曲线ysinx上点,1处的切线方程和法线方程． 26．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性： x2 f(x)xx0x0 在x0处．

x37．设函数f(x)2xx0x0 ，求导函数f(x)．

axb8．设函数f(x)cosxx0x0 ，为了使函数f(x)在x0处可导，a，b应取什么值？

第二节 求导法则及基本初等函数求导公式

1．推导余切函数及余割函数的导数公式 (coxt)2 (csxcsxcc)cxsccx o2．求下列函数的导数： （1）y4x32x2sin1； （2）y5x23e；

3xx（3）yxcosx； （4）ytanxsecx；

3（5）yxlnx； （6）yx1x1exx2ln3；

（7）y

； （8）yxlnxcosx；

2（9）ecot； （10）uarcsinarctan

3．求下列函数在给定点处的导数： （1）y2sinx5cosx，求yx6和yx3；

5

（2）tan13sin，求

dd4；

（3）f(x)11xx33，求f(0)和f(2)．

4．求曲线yx2x2的切线方程，使该切线平行于直线xy30． 5．求下列函的导数：

（1）y(3x5)3 （3）ye2x3； （5）ycos2x； （7）ycot(x2)； （9）y(arcsinx)2； 6．求下列函的导数：

（1）yarccos(12x) （3）yex3sin3x； （5）y1lnx1lnx； （7）yarccosx； （9）yln(secxtanx)； 7．求下列函的导数：

2（1）yxarccos 2 （3）y1ln2x； （5）ysinnxcosnx； （7）y31cos2x； （9）ysin2(csc2x)； （2）ysin(24x)； （4）yln(a2x2)；

（6）ya2x2；

（8）yarctan(ex)； （10）ylnsinx （2）y1；

a2x2 （4）yarcsin1x；

（6）ycos3xx；

（8）yln(xx2a2)； （10）yln(cscxcotx) （2）ylncotx2；

（4）yearccotx；

（6）yarctan1x1x；

（8）y(lnx2)3；

（10）ysin(x2)sin2x

6

（11）ylnlnx； （12）yarcsineeeexxxx．

8．设函数f(x)和g(x)可导，且f2(x)g2(x)0，试求函数y数．

9．设f(x)是可导函数，f(x)0，求下列导数：

22f(x)g(x)的导

（1）ylnf(2x)； （2）yf2(ex) 10. 求下列函的导数：

（1）ye2x(x2x1) 2（3）yxarccot； 2（5）ysec2x2； cos21（7）yex； （9）yxarccosx24x2； 第三节 1．求下列函数的二阶导数： 2（1）yx1x （3）yx[sin(lnx)cos(lnx)]； （5）yx2e3x； （7）yln(xx21)； 2．求下列函数的导数值：

（1）f(x)(x310)4，求f(0)； （2）f(x)xex2，求f(1)；

（3）f(x)exx，求f(2)．

（2）ycos2xcos(x2)；

（4）ylnxx2；

（6）ylnsin1x；

（8）y3xx； （10）yarccost1t2

高阶导数

（2）y(1x2)arccotx；

（4）yln1x2；

（6）ylnxx2；

（8）ycos2xlnx；

7

3．设f(u)二阶可导，求

dydx22：

（1）yf(x2) （2）yln[f(x)]；

4．验证函数yC1cosxC2sinx（,C1,C2是常数）满足关系式：y2y0． 5．验证函数yexcosx满足关系式：y2y2y0．

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1．求由下列方程所确定的隐函数y的导数

dydx：

y4；

2x（1）y22xyb20 （2）x（3）ycosx12siny； （4）xye2siny；

（5）xyexy； （6）xyyx； 2．求由方程sin(xy)ln(yx)x所确定的隐函数y在x0处的导数

dydx22dydxx0．

3．求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数：

12（1）x2y24 （2）xysiny0；

（3）ytan(xy)； （4）y1xey． 4．用对数求导法求下列函数的导数：

（1）y(x1)(x2)x （2）y2326(2x1)32323x2；

(x3)1（3）yx； （4）y(1cosx)x． 5．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程． x2et（1） 在t0处； tyexacos3（2） 在处． 34yasinxx第五节 函数的微分

8

1．设函数yx3，计算在x2处，x分别等于0.1，0.01时的增量y及微分dy． 2．求下列函数的微分dy：

x1x（1）y （2）ylnsinx； 2（3）yarcsin1x2； （4）yexcos(3x)； （5）yx2e2x； （6）ytan2(12x2)； 3．求适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）d(（3）d()3dx （2）d()sin2xdx ； （4）d(11x2)5xdx ； )e3xdx ；

（5）d()dx ； （6）d()1x2dx ；

（7）d()sec4xdx ； （8）d()csc2xdx ；

第六节 边际与弹性

1．求下列函数的边际函数与弹性函数： （1）xe2x （2）

exx ；

（3）xeab(xc) ．

22．设某商品的总收益R关于销售量Q的函数为：R(Q)104Q0.4Q，求： （1）销售量为Q时总收入的边际收入；

（2）销售量Q50个单位时总收入的边际收入； （3）销售量Q100个单位时总收入对Q的弹性．

3．某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（单位：元）是日产量x（单位：吨）的函数

 CC(x)1000x750 x x[0,100 0（1） 求当日产量为100吨时的边际成本； （2） 求当日产量为100吨的平均单位成本．

9

4．某商品的价格P关于需求量Q的函数为P10（1）总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；

Q5，求：

（2）当Q20个单位时的总收益、平均收益和边际收益．

5．某厂每周生产Q单位（单位：百件）产品的总成本C（单位：千元）是产量的函数

2 CC(Q)100 1Q2Q如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量． 6．设巧克力糖每周的需求量Q（单位：公斤）是价格P（单位：元）的函数

1000(2P1)2QQf(P)

求当P10（元）时，巧克力糖的边际需求量，并说明其经济意义．

7．设某商品的需求函数为Q1005P，其中Q,P分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围． 8．某商品需求函数为QQf(P)12（1）求需求弹性函数；

（2）求P6时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？ 9．设某商品的供给函数Q45P，求供给弹性函数及P2时的代给弹性．

10．某企业生产一种商品，年需求量是价格P的线性函数QabP，其中a,b0，试求：（1）需求弹性；（2）需求弹性等于1时的价格．

P2：

第四章 中值定理及导数应用

第一节 中值定理

1． 验证下列各题，确定的值：

5（1）对函数ysinx在区间,上验证罗尔定理； 66（2）对函数y4x6x2在区间[0,1]上验证拉格朗日中值定理； （3）对函数f(x)x及g(x)x1在区间[0,1]上验证柯西中值定理．

10

32322．证明下列不等式：

（1）当ab0时，3b2(ab)a3b33a2(ab)； （2）当ab0时，

abalnababb；

（3）arctanaarctanbab； （4）当x1时，exxe．

3．证明恒等式：arctanxarccotx2，(x)．

4．证明方程x3x10有且只有一个正实根．

5．不用求出函数f(x)x(x1)(x2)(x3)的导数，试判别方程f(x)0的根的个数． 6．若函数f(x)在(,)内满足关系式f(x)f(x)且f(0)1．证明：f(x)ex．

第二节 洛必达法则

1．用洛必达法则求下列各极限： （1）limln(1x)xx0 （2）limeexxx0sinxsinaxtanbx5；

（3）limcosxcosaxaxa； （4）limx0；(b0)

53（5）limxlnsinx(2x)2； （6）limxaxatanxtan5x3；

xa2（7）limx0lntan3xlntan4x； （8）limx2；

2ln12ln(1x)x（9）lim； （10）lim；

xarccotxxx0secxcosx1（11）limxcot3x； （12）limxex；

x022x0312lim1（13）lim2； （14）； xx1xx1x1x（15）limxx0tanx1； （16）limx0xsinx．

11

2．验证极限limxsinxxsinx存在，但不能用洛必达法则求出．

x第三节 导数的应用

1．确定下列函数的单调区间：

（1）yarctanxx （2）f(x)xsinx； （3）y2x36x218x7； （4）y2x8；(x0) （5）yx2ex； （7）yx3x2x1； 2．证明下列不等式： （1）当x0时，112x1x；

（2）当x0时，ex1xx22；

（3）当0x2时，sinxtanx2x；xx3（4）当02时，sinxx6；

（5）当x4时，3xx3． 3．讨论下列方程的根的情况：

（1）sinxx； 4．求下列函数的极植：

（1）yx22x5 （3）y2x36x218x； （5）y2x2x46； （7）yexsinx； （9）yexex； 1（11）y52(x1)3； 5．求下列曲线的凹凸区间和拐点：

x （6）yln(x4x2)； （8）yxsin2x； （2）lnx13x．

（2）y2x33x26； （4）yxln(1x)； （6）yx1x；

1 （8）yxx；

2 （10）y2(x1)3；

（12）yxcosx． 12

（1）y3x2x2 （2）y11x；(x0)

（3）yx36x23x； （4）yxex； （5）y(x1)2ex； （6）yln(x21)． 6．利用函数图形的凹凸性证明下列不等式： xy（1）(x3y3)，(x,y0,2213xy)；

（2）

12(lnxlny)lnxyxy2xy2，(x0,y0,xy)； xy)．

（3）xeye(xy)e

，(x0,y0,第四节 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用

1．求下列函数的最大值、最小值： （1）y2x33x280，1x4； （2）yx48x2，1x3； （3）yx1x，5x1； （4）y2x36x218x，1x4． 2．讨论下列函数的最大值、最小值：

2（1）yx2x1，x；

2（2）y2x5x，x；

（3）yx（4）yx254x，x0；

x12，0x．

3．求下列经济应用问题中的最大值或最小值：

（1）假设某种商品的需求量Q是单价P的函数Q1200080P，商品的总成本C是需求量Q的函数C2500050Q，每单位商品需纳税2，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润；

（2）设价格函数P15e3（x为产量）求最大收益时的产量、价格和收益；

13

（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半）．问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？

（4）设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R(x)100xx2，总成本函数为

C(x)20050xx，问对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的

2情况下，总税额最大？

（5）设生产某商品的总成本为C(x)1000050xx2（x为产量），问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？

第五节 泰勒公式

1．按(x4)的乘幂展开多项式：f(x)x45x3x23x． 2．应用麦克劳林公式，按x的乘幂展开函数：f(x)(x23x1)3． 3．求函数f(x)tanx的二阶麦克劳林公式．

第五章 不定积分

第一节 不定积分的概念、性质

1．求下列定积分： （1）（3）dxx3 （2）x2； （4）xxdx；

dxx2xxdx；

x（5）dh2h； （6）mxdx（m,n为非零常数）；

n（7）5x4dx； （8）(x23x2)dx； （9）(x21)2dx； （10）(x2)2dx； （11）（13）x(x3)dx； （12）(x1)(x1)dx；

3(t1)t22dx （14）14

(1x)xdx；

（15）x221xdx； （16）3x3x2x1242dx；

3（17）21x3（19）2ex2xdx； （18）21x5x333xdx；

xdx； （20）exe1dx；

x（21）5xexdx； （23）dx； x2(1x2)（25）secx(secxtanx)dx；（27）cos2xsinxcosx； （29）dx1cos2x；

1．求下列不定积分：

（1）e5xdx （3）dx32x； （5）sintdt； t（7）xex2dx； （9）3x21x4dx； （11）dxsinxcosx； （13）sinxcos5xdx （15）sin2(t)dt； x （22）23x52x3xdx；

（24）e2x 1ex1dx；

（26）cos2x2dx； （28）cos2xsin2xcos2xdx；

（30）cot2xdx；

第二节 换元积分法

（2）(32x)3dx； （4）dx3；

23x （6）xsinx2dx；

（8）x；

23x2dx （10）tan8xsec2xdx；

（12）cos2(t)sin(t)dt； （14）cos3xdx；

（16）tan3tsectdt；

15

（17）sin2xcos3xdx； （18）cosxcosdx；

2x（19）sin4xsin8xdx； （20）1x94xdx3x12sinxcosx3sinxcosxdx；

（21）2dx； （22）x321xdx；

（23）； （24）x1x2dx(x1)(x2)；

（25）tan1x210arccosx2dx； （26）arctanxx(1x)1(arcsinx)dx；

（27）1xdx； （28）dx2；

21x（29）lntanxcosxsinxdx； （30）1lnx(xlnx)dxx2dx；

（31）xdx4xdx22； （32）；

x12（33）(x1)23； （34）x4xdxx2dx；

（35）dx11x2； （36）；

21x（37）dx12x； （38）dxx3； x1（39）1x1x11x1dx； （40）dxx4； x（41）1x1xdx； （42）dx3．

4(x1)(x1)2第三节 分部积分法

（1）xsinxdx （2）lnxdx； （3）arccosxdx； （4）xexdx； （5）x3lnxdx； （6）xcosdx；

316

x（7）xtan2xdx； （8）x2sinxdx； （9）x2arctanxdx； （10）xsinxcosxdx； （11）xcos2x2dx； （12）(x21)sin2xdx；

（13）xln(x1)dx （14）lnxx1322dx；

（15）(arcsinx)2dx； （16）exdx； （17）excosxdx； （18）excos2xdx．

第六章 定积分及其应用 第二节 定积分的性质

1．估计下列积分的值：

（1）(x1)dx （2）4(1cosx)dx；

144522（3）313xarctanxdx； （4）ex202xdx．

2．比较下列各题中的两个积分的大小：

（1）I1（2）I1（3）I1（4）I1（5）I11021431010xdx， I2xdx， I2lnxdx， I2xdx， I22210214343xd；x xd；x (lnx)xd；x

344ln(1xd)；x

1edx， I2x0． (1x)dx

第三节 微积分的基本公式

1．计算下列各导数： （1）

dxddxdx031tdt； （2）

2dxdxx4dt1t22；

（3）

cosxsinxcos(t)dt．

17

22．计算下列各积分：

（1）(3xx)dx； （2）(x2201a21x4)dx；

（3）01x(1x)dx； （4）01dx1x32；

1（5）20dx1x2； （6）3a02dxax42；

（7）10dx4xdx1x2； （8）013x3x2x122dx；

（9）2e1； （10）4tan2d；

020（11）2x0sinxdx； （12）f(x)dx，其中f(x)xx2x1x1

3．求下列极限

（1）limx0edtxt2x0； （2）limx0x0sintdt22x0；

tdt34．设f(x)

x0sintdt，求f(0)，f．

4第四节 定积分的换元积分法

1．计算下列定积分：

1dx（1）sinxdx； （2）； 323(94x)320（3）2sincosd； （4）(1cos2)d；

0（5）（7）20x2xdx； （6）x21x2dx；

02111xdx54x2； （8）41dx12； x（9）tetdt； （10）01dx1lnx；

118

（11）122dxx4x5； （12）22cosxcos2xdx；

（13）22cosxcosxdx； （14）301cos2xdx．

2．利用函数奇偶性计算下列定积分：

1（1）212(arcsinx)1x22dx； （2）55xsinx4223x2x1dx；

3．证明下列各题： （1）1xdx1x21x1dx1x2(x0)；

（2）xm(1x)ndx01010x(1x)dx；

nm（3）cos010xdx22cosxdx．

10第五节 定积分的分部积分法

1．计算下列定积分：

（1）xexdx； （2）xlnxdx；

011e（3）20xsinxdx； （4）30xcosx2dx；

（5）41lnxxdx； （6）xarctanxdx；

010（7）2e2xcosxdx； （8）sin(lnx)dx；

1e（9）ln(x1)dx； （10）1202sinxdx；

（11）1lnxdx．

ee第六节 广义积分与函数

1．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛计算广义积分的值： （1）1dxx3； （2）19

1dx3；

x（3）（5）0e4xdx； （4）dx0exsinxdx；

2x4x5； （6）10x1x2dx；

（7）20dx(1x)3； （8）21xx1dx．

2．用函数表示下列积分，并计算积分值已知（1）（2）（3）

000mx； xedx （m为自然数）

12：

xedx； xe5x2xdx．

第七节 定积分的几何应用

1．求下列各曲线所围图形的面积： （1）yx，yx；

（2）yex，x0，ye； （3）y3x2，y2x；

x2（4）y21xx，yx8（两部分都要计算）；

22（5）y与yx，x2；

x（6）ye，ye，x1；

（7）ylnx，x0，ylna，ylnb（ba0）

2．求下列各题中的曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：

3（1）yx，y0x2绕x轴、y轴；

（2）yx，xy绕y轴； （3）x(y5)16绕x轴；

222（4）xya，绕xbba0．

222220

第八节 定积分的经济应用

1．已知边际成本为C(x)725x，固定成为1000，求总成本的函数．

2．已知边际收益R(x)abx，求收益函数．

3．已知边际成本C(x)1002x，求当产量由x20增加到x30时，应追加的成本数． 4．已知边际成本C(x)304x，边际收益为R(x)602x，求最大利润（设固定成本为0）．

5．某地居民购买冰箱的消费支出W(x)的变化率是居民总收入x的函数，W(x)当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？

6．某公司按利率10%（连续复利）贷款100万购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入b万元；

（1）b为何值时，公司不会亏本？

（2）当b20万元时，求内部利率（应满足的方程）， （3）当b20万元时，求收益的资本价值．

1200x，

21