高三一轮复习数学(师生共用)复数基础知识导学案

基础知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当

(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）. ⑵曲线方程的复数形式：

①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.

③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的

方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.

④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.

高三数学总复习—复数

1

⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是

. z2z1（R，0）②z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是. z2z1（R，0）注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An. 3. 共轭复数的性质：

zz z1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi） zz|z|2|z|2

z1z2z1z2 z1z2z1z2 z1z2z1（z20） zn(z)n z2注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

zzz...4. ⑴ ①复数的乘方：znz(nN)

n②对任何z，z1,z2C及m,nN有

n③zmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nzn1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由

i2142(i)1121就会得到11的错误结论.

②在实数集成立的|x|x2. 当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1 inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,1i1ii,i 1i1i

高三数学总复习—复数

2

13若是1的立方虚数根，即i，则

22 1321,,,120,nn1n2

 .

5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①zRzz.

②若z0，z是纯虚数zz0.

0(nZ)

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：|z||z|.

6. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2根x1,2b；若=0，则有二相等实数2ab||ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.

2a2a

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

高三数学总复习—复数

3