2022版新高考数学一轮复习专题限时练习：24 任意角、弧度制及任意角的三角函数 (含解析)

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有( ) A．－75°角是第四象限角 B．260°角是第三象限角 C．475°角是第二象限角 D．－675°角是第一象限角

ABCD [－75°＝－360°＋285°，是第四象限角，故A正确； 260°＝0·360°＋260°，是第三象限角，故B正确； 475°＝360°＋115°，是第二象限角，故C正确； －675°＝－2×360°＋45°，是第一象限角，故D正确． 故选ABCD.]

2．(多选)下列说法错误的是( )

A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度 π

B．若tan α≥0，则kπ≤α≤2＋kπ(k∈Z)

4

C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝5 π

D．当2kπ＜α＜4＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α

π

ABC [对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为3弧度，故A错误；对于π

B，若tan α≥0，则kπ≤α＜2＋kπ(k∈Z)，故B错误；对于C，若角α的终边过点

4π

P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝±，故C错误；对于D，当2kπ＜α＜

54＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α，故D正确．]

3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2，若α＝π

4，则点P的坐标为( )

A．(1，2) B．(2，1) C．(2，2)

D．(1,1)

D [设P(x，y)，则sin α＝y2

＝sin π

4，∴y＝1. 又cos α＝

x2

＝cos π

4，∴x＝1，∴P(1,1)．] 4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝3

5，则m等于( ) A．－3 B．3 C．163 D．±3

B [sin θ＝

m16＋m2

＝3

5，且m＞0，解得m＝3.]

5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( A．2 B．4 C．6

D．8

C [设扇形的半径为R，则1

2×4×R2＝2， ∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.] 6．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A．小于0 B．大于0 C．等于0

D．不存在

A [∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.] 二、填空题

) 7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 120°或－240° [因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z， 令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]

8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

(－2,3] [由cos α≤0，sin α＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负3a－9≤0，半轴上．则有解得－2＜a≤3.]

a＋2＞0，

9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积1

＝2(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中

“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π

3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．

2ππ

43＋2 [由题意可得∠AOB＝3，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝3，∠π11π3

DAO＝6，OD＝2OA＝2×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin3＝4×2＝23，11

可得弦＝2AD＝43.所以弧田面积＝2(弦×矢＋矢2)＝2×(43×2＋22)＝43＋2.]

三、解答题

10．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．

[解] (1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

1

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－5； 1

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝5. π3

(2)当a＞0时，sin θ＝5∈0，2，

4π

cos θ＝－5∈－2，0，



34则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 5·sin－5＜0；

3π

当a＜0时，sin θ＝－5∈－2，0，

π4

cos θ＝5∈0，2，



43则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos－5·sin 5＞0.



综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； α

(2)求2终边所在的象限；

ααα

(3)试判断tan 2sin 2cos 2的符号．

[解] (1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为

3π

α2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z

2



. 

3π

(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋2，k∈Z， πα3π

故kπ＋2＜2＜kπ＋4，k∈Z，

πα3πα

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋2＜2＜2nπ＋4，n∈Z，即2是第二象限角．

3πα7α

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋2＜2＜2nπ＋4π，n∈Z，即2是第四象限角， α

综上，2的终边在第二或第四象限． α

(3)当2是第二象限角时， ααα

tan 2＜0，sin 2＞0，cos 2＜0， ααα

故tan 2sin 2cos 2＞0，

αααα

当2是第四象限角时，tan 2＜0，sin 2＜0，cos 2＞0， ααα

故tan 2sin 2cos 2＞0， ααα

综上，tan 2sin 2cos 2取正号．

1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )

A．(－2，2) C．(－1，3)

B．(－3，1) D．(1，－3)

B [由题意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))， 因为－2 010°＝－360°×6＋150°， 3所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－2， 1sin(－2 010°)＝sin 150°＝2. 所以Q(－3，1)，故选B.] 2．(多选)下列命题中正确的是( )

A．若角α的终边上有一点P(0，－3)，则角α不是象限角 200π

B．9和1 711°均是第一象限角

C．若某扇形的面积为2.5 cm2，半径为r cm，弧长满足2r＋l＝7 cm，则扇形4

的圆心角的弧度数是5

π2π

D．若θ∈(0，π)，且角θ与角7θ的终边相同，则θ的值是3或3

AD [对于A，因为点P在y轴上，所以角α的终边在y轴负半轴上，所以角α不是象限角，故A正确．

200π2π2π200π

对于B，9＝22π＋9，因为9为第一象限角，所以9为第一象限角，由于1 711°＝4×360°＋271°，且271°不是第一象限角，所以1 711°不是第一象限角，故B错误．

l＋2r＝7，

对于C，因为1

2lr＝2.5，

l4

为r＝5或5，故C错误．

r＝5

2，

解得l＝2，

r＝1，或所以圆心角的弧度数l＝5，

kπ

对于D，因为角θ与角7θ的终边相同，所以7θ＝θ＋2kπ，k∈Z，所以θ＝3，kππ2π

k∈Z，所以0＜3＜π，k∈Z，所以k＝1,2，所以θ＝3或3，故D正确，故选AD.]

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

4

(1)若点B的横坐标为－5，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； 2

(3)若α∈0，3π，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

43

[解] (1)由题意可得B－5，5，

y3

根据三角函数的定义得tan α＝x＝－4.

(2)若△AOB为等边三角形， π

则∠AOB＝3，

故与角α终边相同的角β的集合为

π

ββ＝＋2kπ，k∈Z

3



. 

211

(3)若α∈0，3π，则S扇形＝2αr2＝2α，

11

而S△AOB＝2×1×1×sin α＝2sin α， 故弓形AB的面积

211

S＝S扇形－S△AOB＝2α－2sin α，α∈0，3π.

