一次函数中考数学复习专题含答案

A卷

1．大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是( )

A． B．

C． D．

【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断．

【解答】解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，

排除C，

乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，

排除A，

乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，

排除B，

D正确．

故选：D．

【点评】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

2．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发

前往C村，甲乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论： ①A，B两村相距10km； ②出发1.25h后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8km；

④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km． 其中正确的个数是( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可． 【解答】解：

由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，

当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，

当0t1.25时，易得一次函数的解析式为s8t10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确

当1.25t2时，函数图象经过点(1.25，0)(2，6)设一次函数的解析式为sktb 01.25kbk8代入得，解得

62kbb10s8t10

当s2时．得28t10，解得t1.5h 由1.51.250.25h15min

同理当2t2.5时，设函数解析式为sktb 将点(2，6)(2.5，0)代入得 02.5kbk12，解得 62kbb30s12t30

当s2时，得212t30，解得t由

7131.25h65min 3127 3故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确． 故选：D．

【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是读懂图象，根据图象的数据进行解题．

3．如图，过点A0(0,1)作y轴的垂线交直线l:y3过点A1作直线l的垂线，交yx于点A1，

3轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，，其面积分别记为S1，S2，S3，，则S100为( )

A．(33100) 2B．(33)100 C．334199 D．332395

【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn2n，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S100． 【解答】解：点A0的坐标是(0,1)， OA01，

点A1在直线y3x上， 3OA12，A0A13， OA24， OA38， OA416，

得出OAn2n， AnAn12n3，

3，

OA1982198，A198A199219813S1(41)33，

22A2A1//A200A199，

△A0A1A2∽△A198A199A200，

S100219832()， S13S239633332395 2故选：D．

【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．

4．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的

5快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略4不计）．两人之间相距的路程y（米)与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 2080 米．

【分析】设小明原速度为x米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为11x(2311)1.25x23x．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得：11x(1611)y，求出x、y的值即可解答． (1611)(1.25xy)1380【解答】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家

校距离为

11x(2311)1.25x23x．

11x(1611)y设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：．

(1611)(1.25xy)1380解得：x80，y176．

小明家到学校的路程为：80111.2580(2311)2080（米)．

故答案为：2080

【点评】本题考查一次函数的应用、速度、路程、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

5．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0m100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．

【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，

（2）①据题意得，y50x15000，

②利用不等式求出x的范围，又因为y50x15000是减函数，所以x取34，y取最大值， （3）据题意得，y(100m)x150(100x)，即y(m50)x15000，分三种情况讨论，①当0m50时，y随x的增大而减小，②m50时，m500，y15000，③当50m100时，m500，y随x的增大而增大，分别进行求解．

【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得

10a20b4000 20a10b3500a100解得

b150答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．

（2）①据题意得，y100x150(100x)，即y50x15000， 1②据题意得，100x2x，解得x33，

3y50x15000，500， y随x的增大而减小，

x为正整数，

当x34时，y取最大值，则100x66，

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．

（3）据题意得，y(100m)x150(100x)，即y(m50)x15000， 331x70 3①当0m50时，y随x的增大而减小，

当x34时，y取最大值，

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m50时，m500，y15000， 即商店购进A型电脑数量满足331x70的整数时，均获得最大利润； 3③当50m100时，m500，y随x的增大而增大，

当x70时，y取得最大值．

即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．

6．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，

22可通过构造直角三角形利用图1得到结论：PPy1)，P2(x2，y2)，12(x2x1)(y2y1)他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式：xx1x2yy2，y1． 22

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点M(2,1)，N(3,5)，则线段MN长度为 61 ；

②直接写出以点A(2,2)，B(2,0)， ； C(3,1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：拓展：（3）如图3，点P(2,n)在函数y4x(x0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，3请在OL、x轴上分别找出点E、F，使PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；

（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；

（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OROS2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PRPSn，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EPEM，FPFN，此时满足PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．

【解答】解：

（1）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， Q1Q2OQ2OQ1x2x1，

Q1Qx2x1， 2x2x1x1x2， 22OQOQ1Q1Qx1PQ为梯形PQ11Q2P2的中位线， PQPQyy211P2Q2， 122即线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式为x（2）①M(2,1)，N(3,5)，

x1x2yy2，y1； 22MN(23)2(15)261，

故答案为：61； ②

A(2,2)，B(2,0)，C(3,1)，

当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为(0,1)，

设D(x,y)，则x30，y(1)2，解得x3，y3，

此时D点坐标为(3,3)，

当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为(7,1)， 当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为(1,3)， 综上可知D点坐标为(3,3)或(7,1)或(1,3)， 故答案为：(3,3)或(7,1)或(1,3)；

（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，

又对称性可知EPEM，FPFN， PEPFEFMEEFNFMN，

此时PEF的周长即为MN的长，为最小，

4设R(x,x)，由题意可知OROS2，PRPSn，

3

466x2(x)22，解得x（舍去）或x，

35568R(，)，

5568(2)2(n)2n，解得n1，

55P(2,1)，

N(2,1)，

设M(x,y)，则

y18211x26，解得x，y， ，255525211M(，)，

5521185， MN(2)2(1)2555即PEF的周长的最小值为85． 5【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得OQ和PQ的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3）中确定出E、F的位置，求得P点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线l:y3x4与x轴、y轴分别交于点M，3N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上； （2）求出边A1C1所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

A1OH60，【分析】（1）如图作A1Hx轴于H．在Rt△A1OH中，由A1H3，

可得OHA1Htan303，求出点A坐标即可解决问题；

（2）利用待定系数法即可解决问题； （3）分三种情形讨论即可解决问题； 【解答】解：（1）如图作A1Hx轴于H． 在Rt△A1OH中，

A1H3，A1OH60，

OHA1Htan303， A1(3，3)，

x3时，y33343， A1在直线y33x4上．

（2）

A1(3，3)，C1(23，0)，

设直线Akxb，则有3kb31C1的解析式为y0，

23kb解得k36，

b直线A1C1的解析式为y3x6．

（3）M(43，0)，A1(3，3)，C1(23，0)，

由图象可知，当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时，3)，P2(53，3)，P3(3，3)．

P1(33，【点评】本题考查一次函数综合题．平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

B卷

1．在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米

)与行驶时间x（秒)的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为( )

A．39，26

B．39，26.4

C．38，26

D．38，26.4

【分析】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶301812秒，两车的距离为24米，可求速度和为24122米/秒，AB距离为18236米，在快车到B地停留3秒，两车的距离增加(b24)米，慢车的速度为：1812333秒的路程，故速度为

b24米/秒，而根据题意b米的距离相当于慢车行驶3bb24b米/秒，因此，，解得：b26.4米，从33333而可求慢车速度为：

b240.8米/秒，快车速度为：20.81.2米/秒，快车返回追至两3车距离为24米的时间：(26.424)(1.20.8)6秒，因此a33639秒． 【解答】解：速度和为：24(3018)2米/秒， 由题意得：

b24b，解得：b26.4， 333b240.8米/秒，快车速度为：20.81.2米/秒， 3因此慢车速度为：

快车返回追至两车距离为24米的时间：因此a33639秒． (26.424)(1.20.8)6秒，故选：B．

【点评】考查函数图象的识图能力，即从图象中获取有用的信息，熟练掌握速度、时间、路

程之间的关系是解决问题的前提，追及问题和相遇问题的数量关系再本题中得到充分应用． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3An在x轴上，B1、B2、B3Bn在直线y3x3上，若A1(1,0)，且△A1B1A2、△A2B2A3△AnBnAn1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3Sn．则Sn可表示为( )

A．22n3 【分析】直线yB．22n13 C．22n23 D．22n33 3可得OB2A230，，OBnAn30，x与x轴的成角B1OA130，

3根据等腰三角形的性质可知A1B11，B2A2OA22，OB1A290，，OBnAn190；B2B323，BnBn12n13，BnAn2n1；根据勾股定理可得B1B23，，，B3A34，

再由面积公式即可求解；

【解答】解：△A1B1A2、△A2B2A3△AnBnAn1都是等边三角形，

A1B1//A2B2//A3B3////AnBn，B1A2//B2A3//B3A4////BnAn1，△A1B1A2、△A2B2A3△AnBnAn1都是等边三角形， 直线y3x与x轴的成角B1OA130，OA1B1120， 3OB1A130， OA1A1B1， A1(1,0)， A1B11，

同理OB2A230，，OBnAn30， B2A2OA22，B3A34，，BnAn2n1，

易得OB1A290，，OBnAn190， B1B23，B2B323，，BnBn12n13，

1311，S222323，，Sn2n12n1322n33； S1132222故选：D．

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．

3．如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4，它是由过A1(0,0)，B1(4,4)，A2(8,0)组成的折线依次平移8，16，24，个单位得到的，直线ykx2(k0)与此折线有2n(n1且为整数）个交点，则k的值为 1 ． 4n

【分析】由点A1、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点An的坐标，再由直线ykx2与此折线恰有2n(n1，且为整数）个交点，即可得出点An1(8n,0)在直线ykx2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值． 【解答】解：

A1(0,0)，A2(8,0)，A3(16,0)，A4(24,0)，，

An(8n8,0)．

直线ykx2与此折线恰有2n(n1且为整数）个交点，

点An1(8n,0)在直线ykx2上，

08nk2，

解得：k1． 4n1． 4n故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平移，根据一次

函数图象上点的坐标特征结合点An的坐标，找出08nk2是解题的关键

4．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 甲 乙 进价（元/kg) m 售价（元/kg) 16 18 n （1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元．求m，n的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，

当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元)与购进甲种蔬菜的数量x(kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式；

（3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值，然后再根据题意，即可得到关于a的不等式，即可求得a的最大值，本题得以解决． 【解答】解：（1）由题意可得， 10m5n170m10，解得，， 6m10n200n14答：m的值是10，n的值是14； （2）当20x60时，

y(1610)x(1814)(100x)2x400，

当60x70时，

y(1610)60(160.510)(x60)(1814)(100x)6x880， 2x400(20x60)由上可得，y；

6x880(60x70)（3）当20x60时，y2x400，则当x60时，y取得最大值，此时y520， 当60x70时，y6x880，则y660880520， 由上可得，当x60时，y取得最大值，此时y520，

在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，



5202a6040a20%，

60104014解得，a1.8， 即a的最大值是1.8．

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0,2)，动点P在y3（不与O重合），x的图象上运动

3连接AP．过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ． （1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动的过程中，QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【分析】（1）作AHOP，由y的值即为AP的最小值；

（2）分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解；

（3）分OQPQ、POOQ、PQOP三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）如图1，作AHOP，则APAH，

3由三角函数得出AHx知：HOQ30，HOA60，

3

点P在y3x的图象上 3HOQ30，HOA60 A(0,2)

AHAOsin603

AP（2）

3 ①当点P在第三象限时，如图2，

由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四点共圆， PAQPOQ30

②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3 由QPAQOA90可得Q、P、O、A四点共圆 PAQPOQ180，又此时POQ150 PAQ180POQ30

③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，

由QPAQOA90可得APQAOQ180 Q、P、O、A四点共圆 PAQPOQ30

（3）设P(m,PQAP

33m6m)，则lAP:yx2， 33mkPQ3m23m3m

lPQ:y23m(xm)3m 34m23，0) 34161OP2m2，OQ2m23m

3993Q(444PQ2m23m

9934161①OPOQ时，则m2m23m

3993整理得：m243m30 解得m233

Q1(234，0)，Q2(234，0)

4444②当POPQ时，则m2m23m

3993整理得：2m23m30 解得：m当m3或m3 23时，Q点与O重合，舍去， 2m3

Q3(23，0)

③当QOQP时， 则

1621444m3mm23m 993993整理得：m23m0 解得：m3 Q4(23,0) 323,0)． 3点Q的坐标为(234，0)或(234，0)或(23，0)或(【点评】本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

6．如图1，已知ABCD，AB//x轴，AB6，点A的坐标为(1,4)，点D的坐标为(3,4)，点B在第四象限，点P是ABCD边上的一个动点． （1）若点P在边BC上，PDCD，求点P的坐标．

（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线yx1上，求点P的坐标．

（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）

【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为(3,4)；

（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；

（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可； 【解答】解：（1）CD6，

点P与点C重合， 点P坐标为(3,4)．

（2）①当点P在边AD上时，

直线AD的解析式为y2x2， 设P(a,2a2)，且3a1，

若点P关于x轴的对称点Q1(a,2a2)在直线yx1上， 2a2a1，

解得a3， 此时P(3,4)．

若点P关于y轴的对称点Q3(a,2a2)在直线yx1上时， 2a2a1，解得a1，此时P(1,0)

②当点P在边AB上时，设P(a,4)且1a7， 若等P关于x轴的对称点Q2(a,4)在直线yx1上， 4a1，解得a5，此时P(5,4)，

若点P关于y轴的对称点Q4(a,4)在直线yx1上， 4a1，

解得a3，此时P(3,4)，

综上所述，点P的坐标为(3,4)或(1,0)或(5,4)或(3,4)．

（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P(m,4)．

在RtPNM中，PMPM6，PN4，

NMMP2PN225，

在RtOGM中，OG2OM2GM2， 22(25m)2m2，

解得mP(65， 565，4) 565，4)也满足条件． 5根据对称性可知，P(②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM是正方形，边长为2，此时P(2,4)．

③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证MRGMGR，推出MRMGGM，设MRMGGMx．

直线AD的解析式为y2x2，

R(1,0)，

在RtOGM中，有x222(x1)2，解得x5P(，3)．

25， 265655点P坐标为(2,4)或(，3)或(，4)或(，4)．

552【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．