湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料#

2015年湖北省高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.摅爺崢債澱岭绩携蝾跸颀饼馀帳赌醞狞陰纊钕捞蓽驃臨閘锈孿闾驹崃狰貰禮虚顶伪謬踌鳄蠱崂諜饮蟯飲惯騾鎮堑饉側单态缟赐輥篑嶼惬蕘。 1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） A． i B． ﹣i C． 1 D． ﹣1 2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）爾瘫駒卫穡輥邏鎬赉贲骜铽據擼貧乌国壘鯗暧駛湯喽鰓蚂惭舆条鶼匀駢鲢叶抠鳕壳箪颟谮詭舻犊減構缇誤赎雠殤鸞饉贡乐劇狞雠欖鳢舱戆。 A． 134石 B． 169石 C． 338石 D． 1365石 3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）鈕煩莲谌滩崭逕簡獎鹄澮鹤讒鷸趲籟践韬椤總鎰餘錄鹳崳項銫猎巔褲别赇罢镗發鈄鰓驏瘗胄饲輝氲愴檢兑豬鳧惭笔詰諾邓盡豎陧嶧薮绽緄。 A． 212

B． 211 C． 210 D． 29

4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线

如图所示．下列结论中正确的是（ ）復杩谲乡触燈燦鸯脓鰈铤决軟訐贡疟躦戀钌瘅紱悵湞爱鹎鹼鏨抡剄镤炝鉤霭綈庑耻鸶焖鮪榇镦瘿養纺換彌两垒瘪呗闌满柽羈鹬鲕鯤瀉俭忧。

A． B． P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） C． 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D． 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t） 5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（ ）讧遞鏜辁鯉孿繳賓糝忧谩瑋蚂础傾锊惊識譚骠炽鵠歼醬聾閏嗆宁眾凿線万阖瘋揮靚锬滤繃騫侧颌貳骖红啮嘖諾仪謖轔择爱讲輒該绀嘰慑堅。 A． p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B． p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C． p是q的充分必要条件 D． p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

1 / 17word.

6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，

f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）體嫒鋌鬧谊鮮铫矚摳阈倆貝蘆裣襲贪乔妝贴镣镭箋紀灤谬嚳荆謔禎駿諒镯灭貼镤鳐蒔鸞鲛鴉惩鱈緬抢債汆巒镜岖张駒钔盏哔棟诤輻紼怼茑。 A sgn[g（x）]=sgnx B sgn[g（x）]=﹣sgnx C sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）] 7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（ ）侨飒玨構轸須裝謁戲該緩蠣缁閔羡澗积辐儿諂鷓驺嶁纓锇誅災痹剮铙鑰谎禀牺毀該钦秃驁弳敛驥邹绘鲛餌详骁渍淥莧釗识赀肤垆逊频綻呖。 A． B． C． D． P1＜P2＜P3 P2＜P3＜P1 P3＜P1＜P2 P3＜P2＜P1 8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）頭鈉脶壺鉚椭镇阉擔懌靚愾馅榪伤鏍纠榉駕觋涨单狮暢肿姗脹嘍艷亘詔凱晝墙诞頤聵烧齙漵俠镌綆繃悵焖资旷擞闰闋適訛刚齔刿硕审誹谌。 A． 对任意的a，b，e1＞e2 B． 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C． 对任意的a，b，e1＜e2 D． 当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）壓镱頹嚌讥颤呜丝轶馭侩楼逻调橱諑垩谇餞壚骈烨鹃汹礦广糶邐敗订櫫钛駭醬璎諱团镨兽凭詬轟聪鐿縑謳绅頏强槧覷朧裣賊纓釀陈讣辕筧。 A． 77 B． 49 C． 45 D． 30 10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）搗鸭绑鋃鄔顙鹘讴鳇娆儂蓥儈雛结护訣懺訣貫囑钤澮缳纵標矿趸瘧顛踊幬鹽芦潤鴕胶暫铌疮唠櫳绛儈驷簍赓诟裢鼉項镒徕黨铨縝贶鳟猎綰。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．鳇乌餌皚琿运铀錕鈣國愠嗚锂缔贡门檔驂厕话舊铍闈笃裢鐠潆戶嬋辚酈鵜讫迈頊荭熾雳荆锆禪濼义篑顿總奐绑圣維嘸侬饩璎钭悵張缧鏤营。 11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•= ．

12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（

﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数

为 ．冑騅钰釗練騙贷镯簣蕲朮濺阉試闌饱发锦权叹錸劉纱撟樹臨拥镔鄰諏鍾墳击禍聞鷗术鯗慳钊讞鳥詬缯豬惫馏绽胀鹽烛遥貰镦谡結缬荠緶納。 2 / 17word.

13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．罢饲堝諮寬貢闵视鈞贖呒騏区绮魉邁瞼谯羈骄邺韙豬標龐鶩鏟饥曖麸嶇魎鋨贓霽篑塒励勱驻侦奋磣骋顾僑蠣锟谌担缧儀觎诒傩謊莹韧續巯。 14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．渍呓辘輛鈾決線蔥纬蕆稅闺娛铵灤遜硕桢灯秽頓謹潰简鸞锶鉤驥謫蓀檔篳谇诩硕扩壟貲戩糞滄瓊踬瀉緲詮歟忆碜挥坞駑兒襠頊贗銪溝酱鰳。 （1）圆C的标准方程为 ；

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论： ①

=

； ②

﹣

=2； ③

+

=2

．

其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）

选修4-1：几何证明选讲 15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则

= ．蛮鈧嫔磯潋蠍贻广黷钿闾遙讯繯餍欽頃轢觑鑠诖帥辖岡壺冊濕鐘颶锬盖櫸纤战铭尧俨總缴織袄亚贄禄贷获雖蒇潛婁饋夹膠诈邏础兴哗樹毁。 选修4-4：坐标系与参数方程 16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ

﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则

|AB|= ．饵礡篤鳅风榉单龋嘵齦躊窩郵哒钫穡赡鹊趋囁钢沟测胆鏃选噯缉摜蟻额帱磽残压盧熒码诔鍺泺蘆硖驷渔沦犷姍豈頁黪諏锴鍛氣詔呛驅娅嶁。 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

）

在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：鉺浓赈潆呂騷難帜债畢涝绘恹蘆桩跹鹁轡灾聳络癫謬惲歼倉懣凍渾嚨躍宽疡絳鹊县贊釘無報续箩輜骧闐坜间槛顓沟隱濾賽鶯邓矾資缍況區。 ωx+φ x

0

π

2π

Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0

（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；

3 / 17word.

（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（

，0），求θ的最小值．釋红鹣篋惊僑豎諍詫脈睪詬彈巩閂澠筍蚕狮寿稟监儿憫崗鹁趨濃蔼棄测纾團團槍苇單涠馑蚂瀦讣闞腽脔钞贝誰訪桠痹羈溈樅漿狮礱链櫟捣。 18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．衮残嗩巯鲲堕纶问鼋让鮐緯釃鏡郦鸹釓睑銳浹啭鍥将长訶鴿輒狭灘杂练镑茲鴦蝾镡攏韞决许鄴贡鏝曇厦湞賧苁鋼巔鳃躒莖瀠潆銠嬈欖袞鵪。 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=

，求数列{cn}的前n项和Tn．

19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．陽扬渦谁銮爾項舱給开鳄飯棟镭緊榄圆訣厅浔钻渑淵鳓韞鲐灿迳嘸韞鉚擼洁灯狲钥驮膠诬窭颐铽繼骧薊叽寵頇愨尝輳躯贬谰異荠飼貓鉛锦。 （1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；伧众涞嘖满斋恶潁钩炖辈罰銃紕殁恶館軸软塤锋績桤颜錈釙谫虜詠贛倆夾賽緦縐啸義軸鲠泻呒矚贓岗谯听贱铈触鳃匦铳釤张谴蠷钱约泾訓。 （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每

4 / 17word.

天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为繢盜横謄谴唄蹒顱萧癣靈俨呛帼蝾谶觯卢羈璽鯇類測远术拧嗶洶飢辈颓亵襖馬俨踯闳漚睞硷怀餍侶捣鍶语赋興為贖喽諏鯨滸嵐涼廂蛰灵紂。 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．钧鴯箩荩诶测哕脐荠枥骊濰佥閌数鏤罚謳臥缱慑蘊給鑭轹麩穢頡嚕阍鵪羟帅俪蕪诏锛鳢阍鋨颯鏹媼骠酝盏钽鉻擞維鈥讷疖鸶鳆惊薌詛阀謂。 （1）求Z的分布列和均值；

（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．衅謫计霁镧嗚橋衮躒额謨鈄鯀担杩烁鉺涟牽栾骄堯蓝詢麩餿鳗獅邓银龌換阑浹產军藎灭锡執鎊鍘茎鱼饺嫔缂牍癤谂譾鸷苋怅臏筝哝鸝頌駿。 21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．洼锤轰龐細钳铺阕坠驕銬龃满鬮硷俠鍥砖慍鸥躑骡鈴频讕濫愨脍颃岗闷剧胆虾衛覷鐓蚁诉謬胪鲟畲寝启踐秘廡饜缁渌甌餘恹觅瘿储镞荡壘。 （1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．蝇锺熾臉沤熒櫥镐櫓輝惲诼闹颏钱卢騖骋泸徹囅础墙皚骆览轳錮肿对逦餿錛當凜哜贸参務气匭遷飒刪貸鰹滄嘖躕鶇聾辈蠐鹏幘蹕鳢諷违。

22．（14分）（2015•湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．贱堅縲驽灣挡枭鎬尽譽櫬书诟礡鮞結鉬财綺锒谟顯倫馅組頻葱廟图镜锅鹳胧洁繽锂鹰侦铱镍鏝錸饩鯇飓换緹渙瀉鸸診禎儂嚴脓笋員訃缇织。 5 / 17word.

（1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；

（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（3）令cn=（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．鉺錫鑽藎齑殁鸥飆蕭兩馳脉惭編饞笾會雜滗怄歷臚风懸鸢飓縈诜聩鮮绒軒满闾漵釘镇紳摑铜轄籟體賡藶瘪蝸讲藥寬撑標鲔釙闐櫨駒蟯襝嚕。

答案：

1、 解：i607=i604+3=i3=﹣i，

它的共轭复数为：i． 故选：A． 2、

解：由题意，这批米内夹谷约为1534×

≈169石，

3、

故选：B．

解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第的二项式系数相等， 可得

，可得n=3+7=10．

=29．

（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：

4、

故选：D．

解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）． 故选：C．

6 / 17word.

5、

解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3． 运用柯西不等式，可得：

（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2， 若a1，a2，…，an成等比数列，即有

=

=…=

，

则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2， 即由p推得q，

但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an不成等比数列． 故p是q的充分不必要条件． 故选：A． 6、

解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=

，f（x）是

R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1）， 不妨令f（x）=x，a=2，

则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，

sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确， sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2，

则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，

sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；

sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，

﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；

7、

故选：B．

解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：

P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），

则阴影部分的面积S1=1×1﹣S2=1×1﹣2×

=1﹣=，

=1﹣=，

7 / 17word.

S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，

∴S2＜S3＜S1， 即P2＜P3＜P1， 故选：B．

8、

解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；

双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=

，

∴=﹣=，

9、

∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2， 故选：D．

解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），

B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}， ∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），

8 / 17word.

（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素 故选：C．

10、 解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），

又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3）， ∴t∈[，）， 又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9）， ∴[t4]=4，

∴正整数n的最大值4 故选：B． 11、

解：由⊥，得•=0，即•（）=0，

∵|∴

|=3，

．

故答案为：9．

12、 解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．

f（x）=4cos2cos（=2sinx

﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）| ﹣|ln（x+1）|

=sin2x﹣|ln（x+1）|，

分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象， 由函数的图象可知，交点个数为2． 所以函数的零点有2个． 故答案为：2．

13、 解：设此山高h（m），则BC=h，

在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．

根据正弦定理得解得h=100

（m）

=

，

9 / 17word.

故答案为：100． 14、 解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），

∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E， ∵|AB|=2，∴|BE|=1，

则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=， ∴圆心C（1，），

则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2， 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2． （2）∵圆心C（1，），∴E（0，）， 又∵|AB|=2，且E为AB中点， ∴A（0，﹣1），B（0，+1）， ∵M、N在圆O：x2+y2=1上， ∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），

∴|NA|=====|NB|====∴

=

，

=

=

，

，

同理可得∴

﹣+=

=，

，①成立， ==

﹣（+（

）=2，②正确． ）=

，③正确．

故答案为：①②③．

15、 解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，

10 / 17word.

可得PA=2PB，

在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等）， 可得△PAB∽△PAC， ∴

=

=．

故答案为：．

16、 解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，

（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．

由C的参数方程为

联立，得，即．

∴A（∴|AB|=故答案为：17、

），B（）， ．

．

．数据补全如下表：

解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣ωx+φ x

Asin（ωx+φ）

0 0

5 0 π

﹣5 ）． 0 2π

且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣

），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．

因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z． 令2x+2θ﹣

=kπ，解得x=

，k∈Z．

，0）成中心对称，令

．

=

，

由于函数y=g（x）的图象关于点（解得θ=18、

，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值

，

解：（1）设a1=a，由题意可得

11 / 17word.

解得，或，

﹣

当

时，an=2n﹣1，bn=2n1；

当

时，an=（2n+79），bn=9•

﹣

；

（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n1， ∴cn=

=

， +7•+5•+．

+

+9•+7•+…+

+…+（2n﹣1）•+…+（2n﹣3）•

﹣（2n﹣1）•

， +（2n﹣1）•=3﹣

，

，

∴Tn=1+3•+5•∴∴

Tn=1•+3•Tn=2++

∴Tn=6﹣

19、 解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以

PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE． 又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB． （2）如图1，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线． 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD． 所以DG⊥DF，DG⊥DB

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PD=DC=1，BC=λ，有BD=

，

，

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=

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则 tan所以

=

=tan∠DPF==

==，解得．

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．

（解法2）

（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，

则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），E是PC的中点，所以E（0，，），于是

=0，即PB⊥DE．

=（0，，），

=（λ1，﹣1），点

又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF． 因

=（0，1，﹣1），

=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB． （2）由PD⊥底面ABCD，所以

=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量； =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．

，

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

则运用向量的数量积求解得出cos==，

解得．所以所以==

时，

=

．

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

20、 （12分） 解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有

，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．

当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）． 将z=1000x+1200y变形为

，

13 / 17word.

当x=2.4，y=4.8时，直线l：

在y轴上的截

距最大， 最大获利

Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．

当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．

将z=1000x+1200y变形为

，

当x=3，y=6时，直线l：

在y轴上的截

距最大， 最大获利

Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200．

当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．

将z=1000x+1200y变形为：

，

当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利

Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800．

故最大获利Z的分布列为：

Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708

（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：

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21、 解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，

同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立． ∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，

其方程为

．

（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=

，

），

②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k

由

消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，

∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，

∴△=k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①， 由

，可得P（

，

），同理得Q（

，

），

原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=

•|xP﹣xQ|，

可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP﹣xQ|=|m|||=||②，

将①代入②得S△OPQ=||=8||，

当k2＞时，S△OPQ=8（

）=8（1+）＞8，

当0≤k2＜时，S△OPQ=8|

|=﹣8（）=8（﹣1+），

∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，

≥2，

∴S△OPQ=8（﹣1+

）≥8，当且仅当k=0时取等号，

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∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，

综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8． 22、 （1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣ex．

当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减． 故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．

当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜ex． 令

，得

，即

．①

（2）解：；=；

．

由此推测：

=（n+1）n．②

下面用数学归纳法证明②．

（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立． （2）假设当n=k时，②成立，即

．

当n=k+1时，，由归纳假设可得

=

∴当n=k+1时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．

（3）证明：由cn的定义，②，算术﹣几何平均不等式，bn的定义及①得 Tn=c1+c2+…+cn=

．

=

=

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=

=

＜ea1+ea2+…+ean=eSn． 即Tn＜eSn．

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