罗配明：基于ＬＱＲ的四轴飞行器控制算法设计
产业经济
基于ＬＱＲ的四轴飞行器控制算法设计
罗配明
（广东工业大学 自动化学院，广东 广州 ５１００００）
［摘 要］为有效解决四轴飞行器的稳定性控制响应慢、精度不高的问题，提出一种基于ＬＱＲ的反馈控制算法；重点描述了四轴飞行器的控制模型、ＬＱＲ的算法设计原理及稳定性判据、ＬＱＲ在四轴飞行器控制中的设计步骤，并通过Ｍａｔｌａｂ仿真验证了算法的可行性。
［关键词］ＬＱＲ算法；四轴飞行器模型；Ｍａｔｌａｂ仿真［ＤＯＩ］１０１３９３９／ｊｃｎｋｉｚｇｓｃ２０１７０９０６９
ＬＱＲ（ＬｉｎｅａｒＱｕａｄｒａｔｉｃＲｅｇｕｌａｔｏｒ）即线性二次型调节器，是现代控制理论中较为经典的控制算法，其设计的目标是寻找状态反馈控制器Ｋ使得二次型目标函数Ｊ
取得最小值。［１～２］四轴飞行器又称四旋翼飞行器，是一个能够在６个
活动自由度自由运行，但是控制自由度却只有４个的系统，因此也被称为欠驱动系统。研究四轴飞行器的控制算法，就是针对四轴欠驱动的本质，设计控制算法，使得飞行器能够很好地响应控制指令，并保持性能稳定。
［３］
基于以上原因，论文基于ＬＱＲ算法设计了四轴飞行器的控制回路，通过Ｍａｔｌａｂ仿真验证算法的可行性。
１ 四轴飞行器模型
四轴飞行器由十字交叉排列的４个电机提供升力，分别
为Ｆ１
、Ｆ２
、Ｆ３
和Ｆ４
，通过控制四个升力的大小并进行配合
控制，可分别实现四轴飞行器的上升、下降、前进、后退、左移和右移。其力学模型如图１所示。其中，ｙ１正向表示飞行器前进方向，φ为机体俯仰角，θ为滚动角，Ψ为横摆角，ｐ，ｑ，ｒ分别为φ，θ，Ψ的角速度。飞行器机体坐标系
为（ｘ［４１，ｙ１，ｚ１），地面坐标系为（ｘ２，ｙ］
２，ｚ２
）。图１ 四轴飞行器力学模型
根据图１可得，由机体坐标系到地面坐标系的变换公式为
Ｒｘ＝[１００
０ｃ
ｏｓφ－ｓｉｎφ０ｓｉｎφ
ｃｏｓφ
]ｃｏｓθ０ｓｉｎθＲｙ＝
[０
１
０
－ｓｉｎθ０ｃｏｓθ
]ｃｏｓψ－ｓｉｎψ０
Ｒｚ＝[ｓ
ｉｎψｃｏｓψ００
０
１
]组合变换为
[ｃｏｓψｃｏｓθ
ａｂＲ＝ＲｘＲｙＲｚ＝ｓ
ｉｎψｃｏｓθｃ
ｄ
－ｓｉｎθ
ｓｉｎθｃｏｓφｃｏｓθｃｏｓφ
]式中：ａ
＝ｃｏｓφｓｉｎθｓｉｎ－ｃｏｓｓｉｎφｂ＝ｃｏｓφｓｉｎθｃｏｓ＋ｓｉｎφｓｉｎｃ＝ｓｉｎφｓｉｎθｓｉｎ＋ｃｏｓφｃｏｓｄ＝ｓｉｎφｓｉｎθｃｏｓ－ｓｉｎｃｏｓφ
四轴飞行器通常使用电机作为驱动力，结合驱动力矩的方程，使用雅克比行列式表示四轴飞行器的状态方程为
００
０
０００００
００００
Ａ＝
００００００
１０００００
ｏｓφ－ｓｉｎφ０００
０ｃ
０ｓｉｎφｃｏｓφ
０００
参考张忠民［２］
提出的模型，令状态矩阵Ａ为
０
００
０００
０
０００００
Ａ＝
００００００
１０００００
００
９９５－００９９８０００
０００９９８０９９５
０００
０５６０５６０－５６０５６
５６０５６０－５６０５６０Ｂ＝－２８０２８２８０２８－２８０２８２８０２８
００００
由于系
００００００００统输入输出之间不存在直接联系，Ｄ＝０，输入矩阵Ｃ可设为
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１００００００１００００
Ｃ＝
００１００００００１００００００１００
００００
１
２ ＬＱＲ算法设计
ＬＱＲ算法的核心就是设计状态反馈系数Ｋ，假设四轴飞行器控制系统能用状态向量的形式表示成：
ｘ＝Ａｘ＋Ｂｕ
ｐｑ
ｙ＝Ｃｘ＋Ｄｕ＝ｒ
θφ
其中ｘ（ｔ）∈Ｒｎ，ｕ（ｔ）∈Ｒｍ
，初始条件为ｘ（０），且系
统所有的状态变量都是可以测量到的。
设计ＬＱＲ控制器，即设计一个能量函数，最优的控制轨迹应该使得能量函数最小，通常取能量函数为
∞
Ｊ＝
１∫
ＴＴ
２ｘＱｘ＋ｕＲｕｄｔ０
其中，Ｑ为设定的半正定矩阵，Ｒ为正定矩阵。根据反馈控制系统的结构，ｕ＝－Ｋｘ，代入得到Ｊ＝１∞
２∫
ｘＴ（Ｑ＋ＫＴ
ＲＫ）ｘｄｔ０
选择系数Ｑ和Ｒ，解方程
ＡＴＰ＋ＰＡ＋Ｑ－ＰＢＲ－１ＢＴ
Ｐ＝０
求出Ｐ，计算Ｋ＝Ｒ－１ＢＴ
Ｐ
３ Ｍａｔｌａｂ仿真
Ｍａｔｌａｂ中带有计算Ｋ的函数，按如下方式输入矩阵：Ａ＝［００００００；００００００；００００００；１０００００；００９９５－００９９８０００；０００９９８０９９５０００］；Ｂ＝［０５６０５６０－５６０５６；５６０５６０－５６０５６０；－２８０２８２８０２８－２８０２８２８０２８；００００；００００；００００］；Ｃ＝［１０００００；０１００００；００１０００；０００１００；００００１０；０００００１］；Ｄ＝［０］；
Ｑ＝［１０００００；０１００００；００１０００；０００１００；００００１０；０００００１］；Ｒ＝［１０００；０１００；００１０；０００１］；
［
ｋ，ｐ，ｅ］＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）；Ａｃ＝［（Ａ－Ｂｋ）］；Ｂｃ＝［Ｂ］；Ｃｃ＝［Ｃ］；Ｄｃ＝［Ｄ］；
［
ｙ，ｘ，ｔ］＝ｓｔｅｐ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ）；ｙ１＝ｙ（：，４）；ｙ２＝ｙ（：，５）；ｙ３＝ｙ（：，６）；ｐｌｏｔ（ｔ，ｙ１，＇ｒ：＇，ｔ，ｙ２，ｔ，ｙ３），ｇｒｉｄｘｌａｂｅｌ（＇Ｔｉｍｅ／ｓ＇，＇ＦｏｎｔＳｉｚｅ＇，１４）
中国市场 ２０１７年第９期（总第９２８期）
ｌｅｇｅｎｄ（＇ｙ１＇，＇ｙ２＇，＇ｙ３
＇）通过ｐｌｏｔ函数可绘制出ｙ１，ｙ２，ｙ３的曲线，也就是φ
，θ
，Ψ的值，通过图２可知，这三个变量最终稳定。图２ 输出值
最终可得到Ｋ值为０
０７１６０５０８８００７５３５
－０４２６９ｋ＝
０
７１６００５０８８０７０７１－００４９９０４９７５
０－０７１６－０５０８８０
－０６５２７－０５６８１
－０７１６００５０８８
－０７０７１－００４９９０４９７５
反馈控制中，通过设置Ｋ值，即可得到稳定的控制
系统。
４ 结 论
ＬＱＲ是现代控制领域的经典算法，通过选择合适的Ｑ和Ｒ，就可以使用Ｍａｔｌａｂ来求解状态反馈系数Ｋ的值，使用Ｍａｔｌａｂ还可以很好地观察系统的性能曲线，从而可以可以判断系统能否达到稳定的状态。
后续的工作可以继续研究的Ｑ和Ｒ的值的取值规律，以便得到性能更好的曲线，还可以研究离散控制情况下，如何使用ＬＱＲ算法，以便适应飞行器离散控制的特点。
参考文献：
［１］刘丽丽，左继红四旋翼飞行器的力学建模及ＬＱＲ控制算法研究［Ｊ］．机械管理开发，２０１６（１０）：１－２，２３
［２］张忠民，丛梦苑基于线性二次调节器的四旋翼飞行器控制［Ｊ］．应用科技，２０１１（５）：３８－４２，６０
［３］宋西蒙倒立摆系统ＬＱＲ—模糊控制算法研究［Ｄ］．西安：西安电子科技大学，２００６
［４］王晓侃，冯冬青基于ＭＡＴＬＡＢ的ＬＱＲ控制器设计方法研究［Ｊ］．微计算机信息，２００８（１０）：３７－３９
檶檶檶檶檶檶檶檶檶［作者简介］罗配明（１９８７—），女，瑶族，广西贵港人，硕士，实验员。研究方向：无线传感器网络。
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