第五讲 因数与倍数(奇数和偶数)
【知识概述】
整数可以分为奇数和偶数两类。
被2 整除的整数叫做偶数,如 0,2,4,6…都是偶数;不能被2 整除的整数叫做奇数,如 1,3,5,7…都是奇数。
奇、偶数有下面一些重要性质
(1) 奇数奇数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数.
(2)奇数个奇数的和(或差)为奇数;偶数个奇数的和(或差)为偶数；任意多个偶
数的和(或差)总是偶数 (3)两个奇数之积为奇数;一个偶数与一个奇数之积为偶数。
例题精学例 1+2+3+4+…+99 的结果是奇数还是偶数?
【思路分析】我们只要看这一个加法算式中奇数的个数就可以了(偶数不管是多少个,和总是偶数),每2 个数中有一个奇数,这个加法算式中有多少个奇数呢?这是解题的关键。 同步精练 1. 判断。
(1)一个自然数不是奇数就是偶数.( )
(2)五个连续的自然数中,必定有一个数是5 的倍数( ) (3)能被2 整除的数一定是偶数( ) (4)能被3 整除的数一定是奇数( ) 2. 填空。
奇数+奇数=( ) 偶数+偶数=( )
奇数+偶数=( ) 奇数×奇数=( ) 奇数×偶数=( ) 偶数×偶数=( ) ( )×奇数=偶数 ( )×奇数=奇数
例2 你能从下图中选出5 个数,使它们的和等于 30吗?为什么?
【思路分析】如果一一去找,去试算,无论你选择哪5 个数,它们的和总不等于 30。但是,你还不能马上断定(证明)这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解。因为奇数个奇数之和仍是奇数,表中 15个数全是奇数,从中选5 个数的和是怎样的呢?
同步精练
1. 小华买了一本共有 96 张纸的练习本,并依次将每张纸的正反两面编号(即由第1 页一直编到第 192页),小丽从这本练习本中撕下 25张纸,并将写在它们上的 50 个编号相加。试问小丽所加得的和能不能为1994?
2. 100 个自然数的和是 10000,在这些数里奇数的个数比偶数多,那么偶数最多会有多少个?
3. 一个数分别与另外两个与它相邻的奇数相乘,所得的两个积相差300,这个数是多少?
例3 在 30到 100 中所有3 的倍数的和是奇数还是偶数?
【思路分析】首先找出 30到 100中3 的倍数是哪些数:30,33,36,39···99。看这些数中有多少个奇数就可以了,其中的奇数是 33,39,45…99.这些奇数的个数是(99-33)÷6+1=12(个)。
同步精练
1. 有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…从第三个数开始,每个数都是前两个数的和。那么在前 100 个数中,有多少个奇数?
2. 有一串数,最前面的四个数依次是 1,9,8,7。从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字。问在这一串数中,会依次出现 1,9,8,8 这四个数吗?
3. 任意3 个整数中,至少有两个整数之和是偶数,这是为什么?
例4 试题 50道,规定答对一道得3分,不答得1 分，答错扣1分,阅卷的结果发现所有的得分都是偶数,这个是偶然的吗?
【思路分析】换个角度,从扣分来想,就比较简单了。如果全对,总分是150分;不答相当于是扣2分,答错相当于是扣4分,偶数减去偶数结果还是偶数。 同步精练
1. 某次数学竞赛,共 20 道题,评分标准是每道题答对给3分,不答给1分,答错扣1分。则参加竞赛学生总得分的奇偶性为（ ） A. 奇数 B. 偶数
C. 不能确定,与参赛学生数的奇偶性有关 D. 不能确定,与学生答对题的奇偶性有关
2.某班同学参加学校的数学竞赛。试题共 30道,评分标准是:答对一道得3分,不答得1分,答错倒扣1分。请你说明:该班同学得分总和一定是偶数。
3.在黑板上写出3 个自然数,然后任意擦去一个,换成其他两数之和,这样继续多次,最后得到 46,74,120,问原来写的三个自然数能否是3，5，7？
练习卷
一、填空
1. 下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这 12 个整数中,至少有几个偶数?
2. 五个连续奇数的和是 85,其中最大的数是( ),最小的数是（ ）。 3. 如果两个两位数的差是 30,下面第( )种说法有可能是对的。 (1)这两个数的和是 57。
(2)这两个数的四个数字之和是 19。 (3)这两个数的四个数字之和是 14。
4. 已知 a，b,c中,有一个是 1993,有一个是 1994,有一个是 1995,请你判断(a-1)×(b-2)×(c-3)的结果是( )数。(填“奇”或“偶”)
二、解决问题。
1. (1)2+4+6+…+200 是奇数还是偶数?
(2)1+3+5+…+199是奇数还是偶数?
2. 1+2+3+4+…+300+301 是奇数还是偶数?
3.任意取出连续的 2002 个自然数,它们的和是奇数还是偶数?
4.某班的 35 个小朋友举行乒乓球比赛,能不能让他们每个人恰与其他三个人比赛一次?
5.下式的和是奇数还是偶数?
1+2+3+4+…+1997+1998
6.能否在下式的( )中填上“+”或“-”,使得等式成立
1( )2 ( )3( )4( )5( )6( )7( )8( )9=66
7.能否从四个 3,三个 5,两个7 中选出5 个数,使这5 个数的和等于22?
