[基础保分练]
πx2y2
1.(2019·绍兴模拟)倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B
4ab→→
两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( ) A.
3223 B. C. D. 2323
x2y2
2.过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2
ab＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.
3311
B. C. D. 2323
3.(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( ) A.1－
3－13
B.2－3 C. D.3－1 22
x2y2
4.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆
ab于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF，则椭圆的离心率为( )
2A.
531033
B. C. D. 53510
2
2
2
2
x2y2
5.已知圆C1：x＋2cx＋y＝0，圆C2：x－2cx＋y＝0，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，若圆C1，
abC2都在椭圆内，且圆C1，C2的圆心分别是椭圆C的左、右焦点，则椭圆离心率的取值范围是( )
1122，1 B.0， C.，1 D.0， A.2222
x2y21
6.设F1，F2分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，离心率为，M是椭圆上一点且MF2
ab2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为( ) 1133
A.± B.± C.± D.±
2448
7.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为M，N，左、右顶点分别为A1，A2，若△F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上且直线TA2斜率的取值
11
范围是8，4，那么直线TA1斜率的取值范围是( ) A.[1,2] C.[－4，－2]
11
－，－ B.42D.[－2，－1]
8.已知点A(－1,0)，B(1,0)，P(x0，y0)是直线y＝x＋2上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过点P.记椭圆的离心率e关于x0的函数为e(x0)，那么下列结论正确的是( ) A.e与x0一一对应
B.函数e(x0)无最小值，有最大值 C.函数e(x0)是增函数
D.函数e(x0)有最小值，无最大值
x22
9.已知椭圆2＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1关于直线y＝－x的对称点P仍在椭
a圆上，则△PF1F2的周长为________.
x2y2
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，
ab上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________.
[能力提升练]
x2y2
1.若AB是过椭圆2＋2＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐
ab标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM等于( ) c2b2c2a2A.－2 B.－2 C.－2 D.－2 aabb
x2y22.(2019·金华一中模拟)已知椭圆E：＋＝1，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，
2412111
OB的斜率存在并分别记为kOA，kOB且kOA·kOB＝－，则＋的最小值为( )
2|OA||OB|A.
2122 B. C. D. 6332
cx2y2
x－2＋y23.已知F是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆3abb2→→
＝相切于点Q，且PQ＝2QF，则椭圆C的离心率等于( ) 9A.
5221 B. C. D. 3322
x2y2
4.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使
abac
＝，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
sin∠PF1F2sin∠PF2F1A.(0，2－1) C.0，
2 2B.2
2，1
D.(2－1,1)
x2y2
5.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，
ab若以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是____________________.
x2y21
6.如图所示，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，离心率为，ab2点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PFA∶S△PFF＝2∶1，则直线PF1的斜率为________.
112
答案精析
基础保分练
1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.22＋2 10.能力提升练 1．B
x2y2
2．C [点A，B在椭圆＋＝1上，由椭圆的对称性不妨设A(26cos θ，23sin θ)，B(26
2412cos φ，23sin φ)， 1
因为kOA·kOB＝－，
2ππ
所以不妨设0<θ<，<φ<π，
2223sin θ23sin φ1所以·＝－，
226cos θ26cos φπ
所以tan θtan φ＝－1，所以φ＝＋θ，
2
5－1
2
所以A(26cos θ，23sin θ)， B(－26sin θ，23cos θ)，
所以|OA|2＋|OB|2＝(26cos θ)2＋(23sin θ)2＋(－26sin θ)2＋(23cos θ)2＝36， 所以36＝|OA|2＋|OB|2≥2|OA|·|OB|，
11所以≥(当且仅当|OA|＝|OB|＝32时取等号)．
|OA|·|OB|1811＋≥2 |OA||OB|≥21
|OA|·|OB|
12
＝(当且仅当|OA|＝|OB|＝32时取等号)．] 183
3．A [记椭圆的左焦点为F′，
cb
x－2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE. 圆39
2
c2c∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，
33→→PQ＝2QF， ∴∴
|EF|1|QF|
＝＝，∴PF′∥QE， |F′F|3|PF|
|QE|1
＝，且PF′⊥PF. |PF′|3
b
又∵|QE|＝，∴|PF′|＝b.
3由椭圆的定义知|PF′|＋|PF|＝2a， ∴|PF|＝2a－b.∵PF′⊥PF， ∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2， ∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2， 2(a2－c2)＋b2＝2ab， 2a
∴3b2＝2ab，∴b＝，c＝3
a2－b2＝
5c5a，∴＝， 3a3
∴椭圆的离心率为
5.] 3
|PF2||PF1|
4．D [根据正弦定理得＝，
sin∠PF1F2sin∠PF2F1ac
所以由＝，
sin∠PF1F2sin∠PF2F1ac可得＝，
|PF2||PF1|即
|PF1|c
＝＝e， |PF2|a
所以|PF1|＝e|PF2|， 又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2| ＝|PF2|(e＋1)＝2a， 2a
即|PF2|＝，
e＋1
因为a－c<|PF2|c2c即1－<<1＋，ae＋1a2所以1－e<<1＋e，
e＋1
1－e1＋e<2，即
2
2<1＋e，
21－e<2，所以
2<1＋e或1＋e<－2，
又02 2解析 因为点P为椭圆C与y轴的交点，以F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，所以∠F1PF2≤90°，所以tan∠OPF2≤1，cc21c2222,22
所以≤1，c≤b，c≤a－c2c≤a，2≤，即≤，
ba2a2又02. 2c1
解析 由＝，得a＝2c.
a2设直线PF1的斜率为k(k>0)， 则直线PF1的方程为y＝k(x＋c)． 因为S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1， 即S△PF1A＝2S△PF1F2， |kc－b|1
即·|PF1|· 22
k＋11|2kc|＝2×·|PF1|·，
22
k＋1
所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或b＝5kc. 又因为a2＝b2＋c2，即a2＝25k2c2＋c2， 3
所以4c2＝25k2c2＋c2，解得k2＝，
25又k>0，所以k＝
3. 5
