课例 19直线的倾斜角和斜率

3.1.1 直线的倾斜角和斜率

(一)教学目标：

1.理解直线的倾斜角和斜率的定义；

2.充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于轴倾斜程度的两个量这一事实，理解数形结合的思想;

3.掌握直线的斜率公式，通过数与形的相互转化，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和思维品质.

（二）教学重点：

直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

（三）教学难点：

直线的斜率与它的倾斜角之间的关系 .

（四）教学方式

探索发现式、合作学习式

（五）教学过程

1．复习引入——创设情境

请两位学生分别回答下面两个问题： 一点能确定一条直线的位置吗？ 怎样描述直线的“倾斜程度”呢?

（在平面直角坐标系中，直线的位置可以由直线上一个点和直线的方向确定；x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，可以描述直线的倾斜程度）

2．新课学习——探索发现

①直线倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线ll向上方向之间所 成的角叫做直线l的倾斜角. ．．．探究1.在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗？

有。平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0°. 当直线l与x轴垂直时, = 90°.

倾斜角α的取值范围是 0°≤＜180°.

直线倾斜角的意义

直线上一个定点和它的倾斜角能确定一条直线.

. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．p和一个倾斜角．．．．．．

②直线的斜率

在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜 程度），即

坡度（比）= 升高量/前进量

如果我们使用“倾斜角”这个概念，那么这里的 “坡度（比）”实际就是“倾斜角的正切”。

直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常k表示，即 k＝tan（90）

探究2.在平面直角坐标系中，每一条直线都有斜率吗？ ③直线的倾斜角和斜率的关系

0

探究3.直线的倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度，它们之间有什么关系？ 提示：随着的变化，k有吗？

随着的增大，k一定增大吗？

有没有一个范围，使得增大，k也增大？ 利用casio图形计算器作出k＝tan（0≤＜且2）的函数图像

让学生亲自操作，让学生自己获得直线倾斜角和斜率的关系  的范围 00900 90 9001800 0 k的范围 k0 k 不存在 随  的增大，k的变化情况 随  的增大，k增大 k不存在 k0 随  的增大，k增大 ④直线两点的斜率公式 两点可以确定一条直线，给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率呢？

斜率公式:k

(1) 直线与x轴平行或重合时,此时斜率k=0, 直线的倾斜角00

(2) 直线与y轴平行或重合时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角900

y2y1x2x1x1x2

3.课堂练习——巩固新知

例1. 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),试判断直线AB, BC, CA的倾斜角是钝角还是锐角.

y 分析: 可从数和形两方面考虑，画出直线图像，可直观得到倾斜角是锐角还是钝角；x1x2，求出直线的斜率，通过斜率正负，判断倾斜角是锐角还是钝角。

kAB0， 所kAB 解析：由直线的斜率公式 ，因为

121437A B o c x 以倾斜角是锐角；

1121kBC0， 例1图 由直线的斜率公式k ，因为 BC 所以倾斜角是钝角；

0(4)42kCA1，因为 kAC0， 由直线的斜率公式 033 所以倾斜角是锐角

小结：直线的倾斜角和斜率的关系是解决本题的关键.

123例2 .在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线

l1,l2,l3,l4

分析： 已知直线上一定点和它的倾斜程度（斜率或倾斜角），可以确定一条直线,已知直线上两点可以确定一条直线。要画出经过原点的直线, 只要再找出直线上的另外一点，而这一点的坐标可以根据直线的斜率确定; 或者

ktan=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴

y A3l3l1x l4l2A4的正半轴为角的一边, 在x轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

解析：如图所示 例2图

小结：已知直线上两点，求该直线的斜率的公式，是解决本题的关键.

例3.已知点P（0，-1），点A（1，-2），点B（2，1），若经过点P 作直线l与线段AB总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。（教材90页B组6） 分析：可利用casio图形计算器作出图像，分析本题，然后找到直线的倾斜角和斜率的取值范围

4.课堂小结——凝练提升

（先学生，后教师，师生共同完善）

本节课利用数形结合的思想探究直线的倾斜角和斜率的关系，并学习了直线斜率的计算公式，旨在挖掘和提炼解析几何中所蕴涵的数学思想，使学生在数学知识的广度和思维的深度上有所收获，逐步掌握研究数学问题的思考方式和方法．

(六)课后作业

必修2(A版2007年6月版)p90 习题3.1练习题第1题，第3题p91 B组第6题

（本课例由北京陈经纶中学尹丽娜 设计）