北京市顺义区2021年中考一模数学试卷(含解析)

2021年北京市顺义区中考数学一模试卷

一、选择题〔此题共30分，每题3分〕第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里〞问题，而且经济环保．2021年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为〔 〕 A．1886×10×10

4

8

×10×10

76

2．9的算术平方根是〔 〕 A．3

B．﹣3 C．±3 D．9

3．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，假设∠B=50°，∠D=20°，那么∠E的度数为〔 〕

A．20° B．30° C．40° D．50°

4．我国传统文化中的“福禄寿喜〞图〔如图〕由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔 〕

A． B． C． D．

5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如下图，假设实数b，d互为相反数，那么这四个实数中，绝对值最小的是〔 〕

A．a

B．b

C．c

D．d

﹣2〕•

的值是〔 〕

6．如果a﹣b=5，那么代数式〔A．﹣ B．

C．﹣5 D．5

7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是〔 〕

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

A． B． C． D．

8．如图，在3×3的正方形网格图中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色局部的图形构成一个轴对称图形的概率是〔 〕

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系x′O′y′中，如果抛物线y′=2x′2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为〔 〕 A．y=2〔x+2〕﹣2

2

B．y=2〔x+2〕+2 C．y=2〔x﹣2〕﹣2 D．y=2〔x﹣2〕+2

222

10．某公司在抗震救灾期间承当40 000顶救灾帐篷的生产任务，分为A、B、C、D四种型号，它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如下图：

根据以上信息，以下判断错误的选项是〔 〕 A．其中的D型帐篷占帐篷总数的10%

B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍

二、填空题〔此题共18分，每题3分〕

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．

12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式： ．

13．图1为北京城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是北京城市某女生从出生到12岁的身高统计图．

请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为 ，你的预测理由是 ．

14．小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶 cm．

15．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．那么m，n的大小关系是 ．

16．阅读下面材料：

在数学课上，教师提出如下问题：

：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上． 小凯的作法如下： 〔1〕连接AC；

〔2〕作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F； 〔3〕连接AE，CF． 所以四边形AECF是菱形．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

教师说：“小凯的作法正确．〞

请答复：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是 ．

三、解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27、28题每题5分，第29题8分〕解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：〔218．解不等式：

﹣π〕0﹣4cos60°+|

﹣2|﹣

．

≥7﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．如图，▱ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．求证：∠A=∠ABD．

20．关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根． 〔1〕求m的取值范围；

〔2〕当m为正整数时，求方程的根．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=mx〔m≠0〕与直线l2：y=ax+b〔a≠0〕相交于点A〔1，2〕，直线l2与x轴交于点B〔3，0〕． 〔1〕分别求直线l1和l2的表达式；

〔2〕过动点P〔0，n〕且平行于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D左方时，写出n的取值范围．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

22．某电脑公司有A、B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6 000元，B型电脑每台4 000元．学校方案花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购置A型、B型电脑各多少台？

23．：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC． 〔1〕求证：BD平分∠ABC；

〔2〕假设∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．

24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．〞它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经历的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春〞是指立春，为春季的开场，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开场，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，到达了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日．

日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温〔即4个气温相加除以4〕，结果保存一位小数．

如表是北京顺义2017年3月28日至4月3日的气温记录及日平均气温〔单位：℃〕 时间 3月28日

2时 6

8时 8

14时 13

20时 11

平均气温

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

3月29日 3月30日 3月31日 4月1日 4月2日 4月3日

7 7 8 8 11 13

6 9 10 7 7 11

17 15 19 18 22 21

14 12 13 15 16 17

a 12 14

根据以上材料解答以下问题： 〔1〕求出3月29日的日平均气温a；

〔2〕采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来； 〔3〕请指出2021年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日．

25．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=∠B． 〔1〕求∠P的度数；

〔2〕连接PB，假设⊙O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．

26．某“数学兴趣小组〞根据学习函数的经历，对函数y=究，探究过程如下，请补充完整：

〔1〕该函数的自变量x的取值范围是 ；

的图象和性质进展了探

〔2〕同学们先找到y与x的几组对应值，然后在以下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； 〔3〕结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

27．如图，抛物线y=ax2+bx+8〔a≠0〕与x轴交于A〔﹣2，0〕，B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC=2．

〔1〕求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；

〔2〕过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF〔含线段端点〕只有1个公共点．求m的取值范围．

28．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点． 〔1〕如图1，假设AB=1，DG=2，求BH的长； 〔2〕如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜测：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜测与同学们进展交流，通过讨论，形成了证明该猜测的几种想法：

想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；

想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG． …

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．〔一种方法即可〕

29．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=〔m＞0〕和双曲线y=〔n＞0〕，如果m=2n，那么称双曲线y=〔m＞0〕和双曲线y=〔n＞0〕为“倍半双曲线〞，双曲线y=〔m＞0〕是双曲线y=〔n＞0〕的“倍双曲线〞，双曲线y=〔n＞0〕是双曲线y=〔m＞0〕的“半双曲线〞，

〔1〕请你写出双曲线y=的“倍双曲线〞是 ；双曲线y=的“半双曲线〞是 ； 〔2〕如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线〞于点B，求△AOB的面积； 〔3〕如图2，点M是双曲线y=线交双曲线y=

〔k＞0〕在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直

的“半

的“半双曲线〞于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=

双曲线〞于点P，假设△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

2021年北京市顺义区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题〔此题共30分，每题3分〕第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里〞问题，而且经济环保．2021年全国共享单车用户数量达18860 000，将18860 000用科学记数法表示应为〔 〕 A．1886×104×108

×107×106

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． ×10． 应选：C．

2．9的算术平方根是〔 〕 A．3

B．﹣3 C．±3 D．9

7

【考点】22：算术平方根．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：9的算术平方根是3， 应选〔A〕

3．如图，AB∥CD，E是BC延长线上一点，假设∠B=50°，∠D=20°，那么∠E的度数为〔 〕

A．20° B．30° C．40° D．50°

【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【分析】根据平行线的性质，得出∠BCD=∠B=50°，再根据∠BCD是△CDE的外角，即可得出∠E．

【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠B=50°， 又∵∠BCD是△CDE的外角，

∴∠E=∠BCD﹣∠D=50°﹣20°=30°． 应选：B．

4．我国传统文化中的“福禄寿喜〞图〔如图〕由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔 〕

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误． 应选B．

5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如下图，假设实数b，d互为相反数，那么这四个实数中，绝对值最小的是〔 〕

A．a

B．b

C．c

D．d

【考点】2A：实数大小比拟；29：实数与数轴．

【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．

【解答】解：根据数轴上点的位置及b，d互为相反数，得a＜b＜0＜c＜d，且|c|＜|b|=|d|＜|a|，

那么绝对值最小的是c，

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

应选C

6．如果a﹣b=5，那么代数式〔A．﹣ B．

C．﹣5 D．5

﹣2〕•

的值是〔 〕

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，约分得到最简结果，把等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a﹣b=5， ∴原式=应选D．

7．手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是〔 〕

•

=

•

=a﹣b=5，

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是一个同心圆， 应选：A．

8．如图，在3×3的正方形网格图中，有3个小正方形涂成了黑色，现在从白色小正方形中任意选取一个并涂成黑色，使黑色局部的图形构成一个轴对称图形的概率是〔 〕

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

A． B． C． D．

【考点】P8：利用轴对称设计图案；X4：概率公式．

【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的位置，再利用概率公式求出答案． 【解答】解：如下图：当涂黑1，2位置时，黑色局部的图形构成一个轴对称图形， 故使黑色局部的图形构成一个轴对称图形的概率是： =． 应选：C．

9．在平面直角坐标系x′O′y′中，如果抛物线y′=2x′不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为〔 〕 A．y=2〔x+2〕﹣2

2

2

B．y=2〔x+2〕+2 C．y=2〔x﹣2〕﹣2 D．y=2〔x﹣2〕+2

222

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】由抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，相当于二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位，再根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减． 【解答】解：∵抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位， ∴相当于二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴此抛物线的解析式为：y=2〔x﹣2〕+2． 应选D．

10．某公司在抗震救灾期间承当40 000顶救灾帐篷的生产任务，分为A、B、C、D四种型号，它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如下图：

2

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

根据以上信息，以下判断错误的选项是〔 〕 A．其中的D型帐篷占帐篷总数的10%

B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍 【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．

【分析】由百分比之和为1可得D的百分比，分别求出单独生产A、B、C、D四种帐篷所需天数即可判断其余各选项．

【解答】解：A、D型帐篷占帐篷总数的百分比为1﹣〔45%+30%+15%〕=10%，此选项正确； B、单独生产B帐篷所需天数为

=2天，

∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误； C、单独生产A帐篷所需天数为

=4天，

∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确； D、单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项正确； 应选：B．

二、填空题〔此题共18分，每题3分〕 11．如果二次根式

有意义，那么x的取值范围是 x≥3 ．

=4天，单独生产D帐篷所需天数为=8天，单独生产C帐篷所需天数为

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数． 【解答】解：∵二次根式

有意义，

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

∴x﹣3≥0， ∴x≥3． 故答案为：x≥3．

12．如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式： a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕或〔a﹣b〕=a﹣2ab+b ．

2

2

2

【考点】4D：完全平方公式的几何背景；4G：平方差公式的几何背景． 【分析】根据阴影局部的面积的不同表示方法，即可求出答案，答案不唯一． 【解答】解：如下图，根据左图阴影局部的面积为a﹣b， 右图阴影局部面积为=〔a+b〕〔a﹣b〕， 可得：a﹣b=〔a+b〕〔a﹣b〕；

2

2

2

2

如下图，根据图中的阴影局部面积可以表示为：〔a﹣b〕2 图中的阴影局部面积也可以表示为：a2﹣2ab+b2 可得：〔a﹣b〕=a﹣2ab+b

2

2

2

故答案为：a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕或〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2．〔答案不唯一〕

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

13．图1为北京城市女生从出生到15岁的平均身高统计图，图2是北京城市某女生从出生到12岁的身高统计图．

请你根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为 170厘米 ，你的预测理由是 12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米 ． 【考点】V5：用样本估计总体；VD：折线统计图．

【分析】根据题目中的信息和统计图中的信息可以解答此题． 【解答】解：根据以上信息预测该女生15岁时的身高约为170厘米，

预测的理由是：12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米， 故答案为：170厘米，12岁时该女生比平均身高高8厘米，预测她15岁时也比平均身高高8厘米．

14．小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶 50 cm． 【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影．

【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度． 【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm，那么故答案为：50．

15．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．那么m，n的大小关系是 m＞n ．

=

，解得x=50cm．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕．

【分析】由三角形中位线定理求出m=4；由勾股定理求出AB=10，证明△BDF∽△BCA，得出对应边成比例求出DF即可． 【解答】解：如下图：

由折叠的性质得：DE是线段AC的垂直平分线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴m=DE=BC=4；

∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=

=10，

由折叠的性质得：AD=BD=AB=5，∠BDF=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDF∽△BCA， ∴解得：DF=∴m＞n； 故答案为：m＞n．

，即，即n=

， ，

16．阅读下面材料：

在数学课上，教师提出如下问题：

：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上． 小凯的作法如下：

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

〔1〕连接AC；

〔2〕作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F； 〔3〕连接AE，CF． 所以四边形AECF是菱形． 教师说：“小凯的作法正确．〞

请答复：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是 对角线互相垂直的平行四边形是菱形或有一组邻边相等的平行四边形是菱形或四条边都相等的四边形是菱形 ．

【考点】N3：作图—复杂作图；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质；LA：菱形的判定与性质．

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到FA=FC，EA=EC，再证明四边形AECF为平行四边形，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AECF是菱形．

【解答】解：由作法得EF垂直平分AC，那么FA=FC，EA=EC，再证明四边形AECF为平行四边形，从而得到四边形AECF为菱形．

故答案为对角线互相垂直的平行四边形是菱形或有一组邻边相等的平行四边形是菱形或四条边都相等的四边形是菱形．

三、解答题〔此题共72分，第17-26题，每题5分，第27、28题每题5分，第29题8分〕解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：〔2

﹣π〕﹣4cos60°+|

0

﹣2|﹣．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式〔24cos60°+|

﹣2|﹣

的值是多少即可．

﹣2|﹣

﹣π〕0﹣

【解答】解：〔2=1﹣4×+2﹣

﹣π〕0﹣4cos60°+|﹣3

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

=1﹣2+2﹣4=1﹣4

18．解不等式：≥7﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．

【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，相似化成1，即可求出不等式的解集． 【解答】解：去分母，得 15﹣3x≥2〔7﹣x〕， 去括号，得 15﹣3x≥14﹣2x， 移项，得﹣3x+2x≥14﹣15， 合并同类项，得﹣x≥﹣1， 系数化为1，得x≤1． 把它的解集在数轴上表示为：

．

19．如图，▱ABCD中，BE⊥CD于E，CE=DE．求证：∠A=∠ABD．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】由线段垂直平分线的性质得出BC=BD．由平行四边形的性质得出AD=BC．证出AD=BD．即可得出∠A=∠ABD． 【解答】证明：∵BE⊥CD，CE=DE， ∴BE是线段DC的垂直平分线． ∴BC=BD．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC． ∴AD=BD．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

∴∠A=∠ABD．

20．关于x的方程x﹣2mx+m+m﹣2=0有两个不相等的实数根． 〔1〕求m的取值范围；

〔2〕当m为正整数时，求方程的根． 【考点】AA：根的判别式．

【分析】〔1〕利用判别式的意义得到=〔﹣2m〕﹣4〔m+m﹣2〕＞0，然后解不等式即可； 〔2〕利用m的范围确定m的正整数值为1，那么方程化为x﹣2x=0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：〔1〕根据题意得△=〔﹣2m〕2﹣4〔m2+m﹣2〕＞0， 解得m＜2；

〔2〕m的正整数值为1， 方程化为x﹣2x=0， 解得x1=0，x2=2．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=mx〔m≠0〕与直线l2：y=ax+b〔a≠0〕相交于点A〔1，2〕，直线l2与x轴交于点B〔3，0〕． 〔1〕分别求直线l1和l2的表达式；

〔2〕过动点P〔0，n〕且平行于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D左方时，写出n的取值范围．

2

2

2

2

2

2

【考点】FF：两条直线相交或平行问题；F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】〔1〕利用待定系数法求直线l1，l2的表达式； 〔2〕直线在点A的下方时符合条件，根据图象写出结果．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【解答】解：〔1〕∵点A〔1，2〕在l1：y=mx上， ∴m=2，

∴直线l1的表达式为：y=2x；

∵点A〔1，2〕和B〔3，0〕在直线l2：y=ax+b上， ∴

解得：

，

∴直线l2的表达式为：y=﹣x+3；

〔2〕由图象得：当点C位于点D左方时，n的取值范围是：n＜2．

22．某电脑公司有A、B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6 000元，B型电脑每台4 000元．学校方案花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购置A型、B型电脑各多少台？

【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】设购置A型电脑x台，B型电脑y台，根据总价=单价×数量结合150000元购置了35台电脑，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设购置A型电脑x台，B型电脑y台， 根据题意得：解得：

．

，

答：购置A型电脑5台，B型电脑30台．

23．：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC． 〔1〕求证：BD平分∠ABC；

〔2〕假设∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【考点】KF：角平分线的性质；JB：平行线的判定与性质．

【分析】〔1〕根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明； 〔2〕过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可． 【解答】〔1〕证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠DAC=∠ABC， ∴∠DAC=∠ACB． ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD． 又∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD． ∴∠ABD=∠CBD． ∴BD平分∠ABC；

〔2〕解：过点O作OE⊥BC于E， ∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠B AC=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴OE=OA=1．

在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1， ∴OC=

．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

24．中国古代有二十四节气歌，“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连．秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．〞它是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌，流传至今．节气指二十四时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中国古代劳动人民长期经历的积累和智慧的结晶．其中第一个字“春〞是指立春，为春季的开场，但在气象学上的入春日是有严格定义的，即连续5天的日平均气温稳定超过10℃又低于22℃，才算是进入春天，其中，5天中的第一天即为入春日．例如：2014年3月13日至18日，北京的日平均气温分别为9.3℃，11.7℃，12.7℃，11.7℃，12.7℃和12.3℃，即从3月14日开场，北京日平均气温已连续5天稳定超过10℃，到达了气象学意义上的入春标准．因此可以说2014年3月14日为北京的入春日．

日平均温度是指一天24小时的平均温度．气象学上通常用一天中的2时、8时、14时、20时4个时刻的气温的平均值作为这一天的日平均气温〔即4个气温相加除以4〕，结果保存一位小数．

如表是北京顺义2017年3月28日至4月3日的气温记录及日平均气温〔单位：℃〕 时间 3月28日 3月29日 3月30日 3月31日 4月1日 4月2日 4月3日

2时 6 7 7 8 8 11 13

8时 8 6 9 10 7 7 11

14时 13 17 15 19 18 22 21

20时 11 14 12 13 15 16 17

平均气温

a 12 14

根据以上材料解答以下问题： 〔1〕求出3月29日的日平均气温a；

〔2〕采用适当的统计图将这7天的日平均气温的变化情况表示出来； 〔3〕请指出2021年的哪一天是北京顺义在气象学意义上的入春日． 【考点】VE：统计图的选择；W1：算术平均数． 【分析】〔1〕根据算术平均数的求法即可得到结论； 〔2〕根据题意绘制统计图； 〔3〕根据题意即可得到结论．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【解答】解：〔1〕a=

〔2〕如下图，

=11〔℃〕；

〔3〕2021年的3月29日是北京顺义在气象学意义上的入春日．

25．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=∠B． 〔1〕求∠P的度数；

〔2〕连接PB，假设⊙O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．

【分析】〔1〕根据切线的性质求出∠PAB=90°，求出∠P=∠B=∠OCB，即可得出答案； 〔2〕解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解：〔1〕∵PA切⊙O于点A， ∴PA⊥AB， ∴∠P+∠POA=90°． ∵∠POA=∠B+∠OCB， ∴∠P+∠B+∠OCB=90°， ∵OB=OC， ∴∠B=∠OCB．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

又∵∠P=∠B， ∴∠P=∠B=∠OCB． ∴∠P=30°；

〔2〕

∵在Rt△PAO中，∠APO=30°，OA=a， ∴PA=

，

a×〔a+a〕=

a．

2

∴△PBC面积是PA×AB=×

26．某“数学兴趣小组〞根据学习函数的经历，对函数y=究，探究过程如下，请补充完整：

〔1〕该函数的自变量x的取值范围是 x≠2 ；

的图象和性质进展了探

〔2〕同学们先找到y与x的几组对应值，然后在以下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；

〔3〕结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： 函数有最大值 ．

【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【分析】〔1〕分式的分母不等于零；

〔2〕根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可； 〔4〕观察图象即可得出该函数的其他性质． 【解答】解：〔1〕由y=故答案是：x≠2；

〔2〕如图

知，x﹣2≠0，即x≠2，所以变量x的取值范围是x≠2．

〔3〕该函数的一条性质是：函数有最大值〔答案不唯一〕．

27．如图，抛物线y=ax2+bx+8〔a≠0〕与x轴交于A〔﹣2，0〕，B两点，与y轴交于C点，tan∠ABC=2．

〔1〕求抛物线的表达式及其顶点D的坐标；

〔2〕过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m个单位，使抛物线与线段EF〔含线段端点〕只有1个公共点．求m的取值范围．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；T7：解直角三角形． 【分析】〔1〕由OC=8、tan∠ABC=2得点B坐标，将点A、B坐标代入求解可得；

〔2〕先求出直线CD解析式和点E、F坐标，设平移后解析式为y=﹣〔x﹣1〕2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF〔含线段端点〕只有1个公共点，求得临界时m的值，从而得出答案，

【解答】解：〔1〕由抛物线的表达式知，点C〔0，8〕，即 OC=8； Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×=4， 那么点B〔4，0〕．

将A、B的坐标代入抛物线的表达式中， 得：解得：

，

，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+8， ∵y=﹣x2+2x+8=﹣〔x﹣1〕2+9， ∴抛物线的顶点坐标为D〔1，9〕．

〔2〕设直线CD的表达式为y=kx+8， ∵点D〔1，9〕，

∴直线CD表达式为y=x+8．

∵过点A、B作x轴的垂线，交直线CD于点E、F， 可得：E〔﹣2，6〕，F〔4，12〕．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

设抛物线向上平移m个单位长度〔m＞0〕，

那么抛物线的表达式为：y=﹣〔x﹣1〕+9+m； 当抛物线过E〔﹣2，6〕时，m=6， 当抛物线过F〔4，12〕时，m=12，

∵抛物线与线段EF〔含线段端点〕只有1个公共点， ∴m的取值范围是6＜m≤12．

28．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点． 〔1〕如图1，假设AB=1，DG=2，求BH的长； 〔2〕如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜测：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜测与同学们进展交流，通过讨论，形成了证明该猜测的几种想法：

想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；

想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG． …

请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．〔一种方法即可〕

2

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】〔1〕先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；

〔2〕证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；

证法二、先判断出MN=BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN=90°．即可得出结论．

【解答】〔1〕解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG， ∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形． ∵AB=1，DG=2， ∴由勾股定理得BD=∵B、D、F共线， ∴BF=3

．

，DF=2

．

∵H是BF的中点， ∴BH=BF=

〔2〕证法一：

如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM， ∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线， ∴AB∥EF． ∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF， ∴△ABH≌△MFH． ∴AH=MH，AB=MF．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

∵AB=AD， ∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°， ∴△ADG≌△MFG． ∴∠AGD=∠MGF，AG=MG． 又∵∠DGM+∠MGF=90°， ∴∠AGD+∠DGM=90°． ∴△AGM为等腰直角三角形． ∵AH=MH， ∴AH=GH，AH⊥GH． 证法二：

如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N， ∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线， ∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=BD，DN=DF． ∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF． ∵H是BF的中点， ∴BH=BF． ∴BH=MN． ∴BH﹣MH=MN﹣MH． ∴BM=HN． ∵AM=BM=DM， ∴AM=HN=DM． ∴MD+DH=NH+DH． ∴MH=DN． ∵DN=GN， ∴MH=GN． ∴△AMH≌△HNG． ∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

∵∠HGN+∠GHN=90°， ∴∠AHM+∠GHN=90°． ∴∠AHG=90°． ∴AH⊥GH． ∴AH=GH，AH⊥GH．

29．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=〔m＞0〕和双曲线y=〔n＞0〕，如果m=2n，那么称双曲线y=〔m＞0〕和双曲线y=〔n＞0〕为“倍半双曲线〞，双曲线y=〔m＞0〕是双曲线y=〔n＞0〕的“倍双曲线〞，双曲线y=〔n＞0〕是双曲线y=〔m＞0〕的“半双曲线〞，

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

〔1〕请你写出双曲线y=的“倍双曲线〞是 y= ；双曲线y=的“半双曲线〞是 y= ；

〔2〕如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线〞于点B，求△AOB的面积； 〔3〕如图2，点M是双曲线y=线交双曲线y=

〔k＞0〕在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直

的“半

的“半双曲线〞于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=

双曲线〞于点P，假设△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围． 【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】〔1〕直接利用“倍双曲线〞的定义即可； 〔2〕利用双曲线的性质即可；

〔3〕先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标； 方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；

方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论． 【解答】解：〔1〕由“倍双曲线〞的定义 ∴双曲线y=，的“倍双曲线〞是y=； 双曲线y= 的“半双曲线〞是y=． 故答案为y=，y=；

〔2〕如图1，

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

∵双曲线y=的“半双曲线〞是y=， ∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1， ∴△AOB的面积为1．

〔3〕解法一：如图2，

依题意可知双曲线的“半双曲线〞为，

设点M的横坐标为m，那么点M坐标为〔m，∴CM=∴MN=

，CN=． ﹣=．

〕，点N坐标为〔m，〕，

同理PM=m﹣=． ∴S△PMN=MN•PM= ∵1≤S△PMN≤2， ∴1≤≤2． ∴4≤k≤8，

解法二：如图3，

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

.

依题意可知双曲线的“半双曲线〞为，

设点M的横坐标为m，那么点M坐标为〔m，∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点． 连接OM， ∵

，

〕，点N坐标为〔m，〕，

∴△PMN∽△OCM． ∴

∵S△OCM=k， ∴S△PMN=． ∵1≤S△PMN≤2， ∴1≤≤2． ∴4≤k≤8．

．

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。