空间中线面角的求法

有网友碰到这样的问题“空间中线面角的求法”。小编为您整理了以下解决方案，希望对您有帮助：

解决方案1：

使用情景：空间中线面角的求法
解题步骤：

第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；
第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；
第三步 得出结论.
例3如图，四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， 与 交于点 ， 平面 .

（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

【分析】
（Ⅰ）要证 与平面 垂直，只要证 与平面内两条相交直线垂直，由已知 垂直于底面 ，有 垂直 ，另外可以在矩形 中证明 垂直于 （可用相似三角形证明角相等）；

（Ⅱ）求直线 与平面所成角的正弦，可用体积法求出 到平面 的距离 ，则 就是所求正弦值，而求棱锥 的体积可通过 来求得．

【解析】

（Ⅰ）证法1：

因为四边形 为矩形，

所以 ；

所以

又因为矩形 中， ，

所以 ，

在 中，

，

在 中，

，即

平面 ， 平面 ，

又 ， ， 平面 ，

面 .

证法2：（坐标法）证明 ，得 ，往下同证法1．
证法3：（向量法）以 ， 为基底，

， ，

∴ ，往下同证法1．

（Ⅱ）在 中， .

在 中，

在 中， ， ，

设点 到平面 的距离为 ，则

设直线 与平面 所成角的大小为 ，

则 .

【总结】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.

使用情景：空间中线面角的求法
解题步骤：

第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；
第三步 再利用 即可得出结论.
【例】 正四棱柱 中， ，则 与平面 所成角的正弦值等于（ ）
A．

B．

C．

D．
【答案】A

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则

， ， ， ，

， ，

设 为平面 的一个法向量，

则 ，即 ，

设 ，则

设 与平面 所成的角为 ，

则 .

【总结】：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.